修改后勾股定理教案.doc

第十四章 勾股定理
14.1.11.直角三角形三边的关系（一)
教学目标
1.知识与技能：掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法。
2.过程与方法：通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理的活动，试图让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展同学们数与形结合的数学思想。
3.情感、态度与价值观：在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的良好学习习惯，了解数学史，激发学生热爱祖国的思想感情，培养他们的民族自豪感。
教学重难点
1.重点：掌握勾股定理，并能用它来解决一些简单的实际问题。
2.难点：勾股定理的发现。
教学过程
一、创设情景，导入新课：
在2002年北京召开的国际数学家大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标。那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图。（请同学们看图）为什么称为弦图呢？我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以这个图称为弦图，它标志着中国古代的数学成就。（介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献。）
在△ACB中，∠C=90°，找一位学生答出图中的勾、股、弦各指哪边。（老师把图画在黑板上）如果AC=3，BC=4，那么AB的长会是多少呢？下面我们就来探讨直角三角形三边的关系。
二、自学提纲：
阅读课本48——50页的内容，完成以下问题：
1.你从图14.1.1中得出什么结论？
2.完成49页的填空。从中你发现了什么规律？
3.用三角尺画出两直角边分别为3cm和4cm的直角三角形，并量出斜边的长度。两直角边与斜边之间具有怎样的关系？
4.猜想：两直角边分别为6cm、8cm的直角三角形的斜边长度会是多少？画出图形，并量出斜边长度验证一下你的猜想。
5.我们这节课是探索直角三角形三边数量关系．至此，你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？
6.勾股定理的内容是什么？勾股定理揭示了 的关系。
三、合作交流：
1.在图14.1.2中，正方形P、Q的面积你是怎样得出的？正方形R的面积如何计算？你有几种方法？
（把图形进行“割”和“补”，即把不能利用网格线直接计算面积的图形转化成可以利用网格线直接计算面积的图形，让学生体会将较难的问题转化为简单问题的思想）

图1
图2

2.图3和图4是两个直角三角形，完成下面的填空：
c
a
b
b
a
在图3中，（ ）2+（ ）2=（ ）2
c
在图4中，（ ）2+（ ）2=（ ）2
在图3中:若 a=3,b=4,
则c=( )
在图4中：若a=13,b=5,
则c=( ) 图3 图4
3.课本51页练习1.
总结：在运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边。通过对勾股定理的基本应用，让学生知道已知直角三角形三边中的任意两边，可以求出第三边．）
四、知识应用：
1.学习例1.
2.完成51页的练习2。（可以让学生合作交流，老师指点。）
3.如图5，要在一块长约80 m、宽约60 m的长方形草坪中，
沿对角线修一条小路，请问小路长为多少？
4.错例辨析：△ABC的两边为6和8，求第三边
解：由于三角形的两边为3、4
所以它的第三边的c应满足
即：
辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题△ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。
(2)若告诉△ABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足，题目中并为交待C 是斜边，综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得.
五、测评：
1.勾股定理的内容是：
2.一个正方形的面积是25，则它的对角线长为
3.一个直角三角形的三边长分别是6、8、x,则x=
六、小结：
通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？你认为还有什么要继续探索的问题？
这节课我们通过具体的实例验证了直角三角形三边之间的关系，实际上，勾股定理在我国古代早已被发现和运用，今天我们只不过做了粗略的探讨。通过本节课的学习，同学们一方面要掌握勾股定理的内容，另一方面要能用它来计算直角三角形边的长度。
七、布置作业：
1. 课本55页2、3题。
2.选做题：55页4题。
教学反思

14.1.1.直角三角形三边的关系（二）
教学目标
1.知识与技能：进一步理解勾股定理的探究方法，掌握定理的简单应用。
2.过程与方法：通过同学们非常熟悉的几何拼图进一步理解勾股定理，学会简单的合情推理与数学说理。
3.情感、态度与价值观：通过适当训练，培养学生参与的积极性，体验数学说理的重要性，养成数学说理的习惯。
教学重难点
1.重点：勾股定理的应用。
2.难点：用几何拼图进一步理解勾股定理。
教学过程
b
c
一、创设情景，导入新课：
a
1.勾股定理的内容是
如右图的直角三角形中，三边长a、b、c之间的关系表示为：
2. 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。下面我们就来学习几种勾股定理的证明方法。
二、自学提纲：
阅读教材51——52页的内容，解答下列问题：
1. 在图14.1.6中，大正方形的边长是 ，面积表示为 ；大正方形的面积还可以看成是由四个全等的直角三角形与一个边长为c的正方形面积的和，这样大正方形面积就可表示为 。
于是， = ，化简得 = ，即得出勾股定理的结论。
2.通过图14.1.7来完成勾股定理的证明（仿照上题的方法）。
3.学习例2.
4.在Rt△ABC中，，AB=41,AC=9，则BC= 。
三、合作交流：
1.交流自学提纲的问题。
2.等腰△ABC的腰长，底，则底边上的高为 。
3．在Rt△ABC中，，，，则。
4.53页练习的1、2.
四、测评：
1.求未知边x的长度：

2.一个矩形的周长是14，长为4，则它的对角线的长为 。
五、小结：
1.你学会了几种证明勾股定理的方法？
2.在运用勾股定理时，只能是在直角三角形中才可以 ，还要分清斜边和直角边。
六、布置作业：
54页习题1.
62页复习题1.
选做：55页5.
教学反思

14.1. 2.直角三角形的判定
教学目标
知识与技能：掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用。
过程与方法：通过实验操作探索三角形的判定条件，理解勾股定理的逆定理。
情感态度与价值观：激发学生解决的愿望，培养敢于实践，大胆创新的精神。
教学重点难点
重点： 探索并掌握直角三角形的判定条件。
难点：直角三角形判定条件的灵活应用。
教学过程
一、 情景导入：
大约公元前2700年，文明古国埃及创造了世界闻名的七十多座大大小小的金字塔，这些塔基都是正方形。我们知道，当时的生产工具很落后测量技术也不是很高明。那时没有直角三角板，更没有任何先进的测量仪器。金字塔塔基的正方形的每一个直角古埃及人是怎样确定的呢？这的确是个谜！你能解开这个谜吗?
二、自学练习：
1.画出边长是下列各组数的三角形（单位：cm）
（1）a=3 b=4 c=5
（2）a=4 b=6 c=8
（3）a=6 b=8 c=10
1.用量角器分别测量一下所画出的三角形的最大角的度数。
2.算一算：上述每个三角形最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。
3.猜一猜：
一个三角形的三边长满足什么关系时，这个三角形才可能是直角三角形？
三、交流：
如果三角形的三条边满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形吗？
这个结论与前面学过的勾股定理有什么关系？
归纳：如果三角形的三条边a、b、c满足__________,那么，这个三角形是直角三角形。这个结论实际上是勾股定理的逆定理，用它可以判定一个三角形是否是直角三角形。
四、知识应用：
例1、很久很久以前，古埃及人把一根长绳打成等距离的十三个结，然后用木桩钉成一个三角形，如图：
。
。
。
。
。
。
。

。
。

。
。

你知道这个三角形是什么形状吗？
说明理由。
分析：一根长绳打上等距离的13个结，由图可知三角形的判别方法，可判定这个三角形是直角三角形。
解：这个三角形的边长分别是3、4、5。
∵ 32+42=52
∴ 由直角三角形的判别方法知道这个三角形是直角三角形。
例2、设三角形的三条边分别为下列各组数：试判定各三角形是否是直角三角形
1. 7 、24、 25
2． 12、35、 37
3． 13、11、 9
解：∵252=72+242
372=352+122
132≠112+92
所以，以一二两组数为边长的三角形是直角三角形，而第三组不是。
测评
1.判定如下以a、b、c为边长组成的三角形是否为直角三角形？如果是，那么哪一条边所对的角是直角？
A a=12 、 b=16 、 c=20
B a=7 、 b=24 、 c=25
C a=4、 b=5 、 c=6
D a:b:c=3:4:5
2.在三角形ABC中，a=15 b=17 c=8,求此三角形的面积。
课堂小结：
1.总结勾股定理及逆定理的区别 和联系
联系（1）都与直角三角形有关（2）都与三角形三边关系a2+b2=c2 有关
区别：勾股定理以__________为条件，进而得到三边关系__________
逆定理是直角三角形的判定方法，以__________为条件，进而得到这个三角形是

教学反思

14.2 勾股定理的应用

教学目标
知识与技能：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题
过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件
情感态度与价值观：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情。
教学重难点
重点：勾股定理及逆定理的应用
难点：勾股定理的 正确使用
A
B
C
D
教学过程
一、提出问题、创设情景
一圆柱体的底面积为20cm，高为4cm，
BC是上底面的直径，一只蚂蚁从A点出发，
沿着圆柱的侧面爬行到C点，你能求出它
爬行的最短路程吗？
二、自学练习：（动手试一试）
（1）自制一个圆柱，尝试从A点到C点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为那条线
最短呢？
A
B
C
（2）沿AB点将圆柱的侧面剪开，展开成一个长方形。
从A点到C点的最短路线是什么？你画对了吗？
( 3）蚂蚁从点A出发到C点，它沿圆柱侧面爬行的
最短路程是多少？

教师点拨：引导学生动手操作。通过感性认识来突破学生空间想象的难点。让学生在自制的圆柱侧面上寻找最短路线，提醒学生将圆柱侧面展开成长方形，1此时学生发现“两点之间线段最短”这个结论，进而解决问题。
三、合作交流：
沿AB将圆柱侧面剪开，展开成一个长方形，如图，则⊿ABC是__________三角形AB=_________,BC=_________AC=___________ .
四、应用：
1、见课本58页例2.
学生交流，讨论解决本例：
厂门宽度足够，卡车能否通过关键是卡车位于厂门正中间时，其高度是否小于CH ，O为AB中点，OD=0.8米 ，CD⊥AB ,与地面交于H处， OCD是直角三角形，OC=1米 ，运用勾股定理求出CD ,进而求出CH.
A
B
再和卡车高度2.5米比较
测评：
1. 从电线杆离地面5米处向地面拉一条
7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线
杆底部B的距离。

2.求出下图中字母所代表的
81
144
B

225
400
A

小结：
由学生分小组进行总结，教师从几个方面给予知识点的补充:
1.勾股定理及逆定理
2.定理的应用方法
3.本节所用到的教学思想方法A
N
D
C
.
B

作业：
P60页1 、3题
选作：
有一块砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ,CD上的点B
距地面BD=8cm ，地面上A处的一只小虫子到B处吃食物，需爬行的最短路程是多少？
教学反思
14.2勾股定理的应用（二）
教学目标
1．准确理解勾股定理及其逆定理。
2．掌握定理的应用方法，体会数学的数行结合思想和应用价值。
3．培养学数学的兴趣。
教学重点难点
1．正确选用勾股定理及其逆定理。
2．从实际问题中找出可应用的直角三角形。
教学过程
问题引入：
在一棵树的10米高的D处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃到池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
思考问题：如图1，错误！未找到引用源。、其中一只猴子从D→B→A共走了30米，另一只猴子从D→C→A共走了30米。
错误！未找到引用源。、树身垂直于地面，于是这个问题可转化为直角三角形，用勾股定理解决。
错误！未找到引用源。、可设DC为X米，则BC为(10+X)米,AC为（30—X）米，根据勾股定理AB2+BC2=AC2可得：202+(10+X)2 =(30—X)2。
解之得：X=5
所以这棵树高BC=BD+DC=15米。
快乐合作：
1、 如课本P59例3，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
错误！未找到引用源。、从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点上，且长度为2√2
错误！未找到引用源。、画出所有的以错误！未找到引用源。中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数。
错误！未找到引用源。、交流方法：本题利用了勾股定理，关键看哪一个以格点为顶点的矩形的对角线或直角三角形的斜边满足要求。

解（1） 图14.2.6中ＡＢ长度为22．
（2） 图14.2.6中△ＡＢＣ、 △ＡＢD就是所要画的等腰三角形
比一比（谁解说的更好）：在5×5的正方形网格中，画出以格点为顶点的等腰三角形，它的边长分别是多少？
2、 如课本P59例4，已知CD=6m,AD=8m, ∠ADC =90°，BC=24m,AB=26m,求图中阴影部分的面积。
思考问题：错误！未找到引用源。、图中阴影部分的面积是一个不规则的图形面积，首先考虑如何转化为规则图形面积的和、差的形式，即S阴影=△ABC的面积—△ADC的面积。
错误！未找到引用源。、由∠ADC =900，CD=6m,AD=8m，易求出Rt△ADC的面积，且根据勾股定理可求出AC=10m。
错误！未找到引用源。、知道了△ABC的三边长，根据勾股定理的逆定理，ＡＣ＋ＢＣ＝１０＋２４＝６７６＝ＡＢ可以判断出它是直角三角形，∠ACB是直角，就可以求出△ABC的面积。
所以S阴影=96m2
解 在Rt△ADC中，
AC＝ＡＤ＋ＣＤ＝６＋８＝１００（勾股定理），
∴ AC＝１０．
∵ ＡＣ＋ＢＣ＝１０＋２４＝６７６＝ＡＢ，
∴ △ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形），
∴
＝1/2×１０×２４－1/2×６×８＝９６（m）．
总结：一、求不规则图形的方法是“将不规则转化为规则”；二、已知三角形的三边长求其面积，应先考虑其特殊性。
想一想：勾股定理与勾股定理的逆定理的书写格式有什么不同？
三、练习：
1、在△ＡＢＣ中，如果AC=3，BC=4,AB=5,那么△ＡＢＣ一定是 三角形，且∠ 是直角；如果仅使AB的长度增加到5.1，那么原来的∠C被“撑成”的角是 角。
2、在△ＡＢＣ中，如果a=10,b=24,c=26,则△ＡＢＣ的面积为 。
3、为了作出长为的线段，可以作一个直角三角形，使其一条直角边的长为1，则另一条直角边的长为 。
4. 利用勾股定理，分别画出长度为厘米和厘米的线段．
5、若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x，试求出x的所有可能值．
6、在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1m,一阵风吹来,红莲吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2m,求这里的水深是多少米? （提示:画出图形建立直角三角形）
四、课堂小结
教学反思