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初三数学复习公开课的案例及分析
一、背景介绍
教师在有效课堂教学中，更多的应成为学生学习的引导和合作者，当学生陷入困惑时适时搭建
“脚手架”，在整个教学过程中一直与学生保持平等关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽
容氛围中受到激励和鼓舞，得到指导和建议。同时近年来，“公开课”引起了人们不少的非议，有
人甚至认为公开课中有许多的“作秀”的成分，有不少的功利因素，应当废止……而笔者认为：“公
开课”作为一种常见的教研活动形式是功不可歼的，而且它还会继续发挥其独特的作用。不过，我
们应该以新的理念重新审视公开课教学，总结经验，吸取教训，使它有崭新的“公众形象”。本文
是笔者在教学过程中的一则初三数学复习公开课的案例及其分析。
二、情景描述
这节课按我的预先设计是复习全等三角形和相似三角形，精选了 5 道例题，其中一道例题为：
若等腰三角形顶角 A=108°，BC=a，AB=b，BD 平分∠B 交 AC 与 D，则
AD=
。（这道题没有给出图形）
课堂上，学生 A 给出了下述解法：在 BC 上截取 BE=BA，连结 DE（图 1）
∵∠ABD = ∠DBE，BD = BD
∴△ABD≌△EBD
∴∠BAD =∠BED =108°
∵AB=AC，∴∠ABC =∠C =36°
∵∠CED =72°，∴ ∠CED =∠CDE =72°
∴CD =CE =a-b，
∴AD =AC-CD =b-（a-b）=2b-a

教师：除了这种方法外，还有另外方法吗？我开始引导学生，除了在较长线上截取之外，能否
把短的线段延长呢？经这以点拨，学生的思维马上活跃起来。
学生 B：我还有一种方法，延长 BA 到 F（图 1），使 BF=BC，连结 DF，则
∵△BDF≌△BDC
∴CD =FD,∠C =∠F =36°
∵∠BAC =108°，∴∠DAF =72°
∴∠ADF =∠DAF =72°
∴DF =AF =a-b
∴AD =b-(a-b)=2b-a
我的教学目的就是利用角平分线构造全等三角形，通过此例的两种证法，可以说达到了教学目
的。当我准备将例题 2 时，没有想到突然有一位学生 C 举手。是让学生说呢，还是不管他按计划讲
下面一道题呢？下面坐着那么多的听课老师，又是学校的一堂公开课。正当我犹豫不决时，教学感
觉提醒我，“课堂要以学生为本，以学生为主体”，我示意让学生 C 讲。
学生 C：如图 2，过点 A 做 AE∥BC，交 BD 的延长线与 E 点，则∠E=∠CBD。
∵∠ABE =∠ACBE，∴∠E =∠ABE
∴AB =AE =b
∵AEBC ，∴■=■
∴AD =■
∴■=■
整个证明过程没有一点错误，但同一道题有两种不同的结果，这也超出了我的预料。我说：“两
个方法都没有错，但结果却不一样，这是怎么回事？”

学生 D 说：既然两个方法都正确，那么△ABC 的边 a 和 b 应该有关系。
教师：应该有怎样的关系呢？
学生 D：只需证 2b-a =
■即可。
教师：我们来化简一下，得 b2=a2-ab.我们找出了 a 和 b 的关系。
趁学生的兴趣正浓时，我预感到上述结论还有别的证法，于是我接着说：“我们还有没有别的
方法来证明这个结论呢？”
考虑到问题相对复杂，我先让学生自主探索，再进行合作交流，同时开展小组之间竞争。小组
成员共同努力，相互合作，教师则观察各组的活动，对小组所遇到的困惑感及时引导、鼓励，对差
一点的小组直接参与合作，整体把握各组的进展情况。交流的气氛是积极的，不久学生得出了结论：
学生 E：在 BC 上截取 BE=BA，连结 AE。
∵AB =AC,∠BAC =108°
∴∠B =∠C =36°
∵BE =BA =b，∴∠BAE =72°
∴EA =EC =a-b
∴∠EAC =∠B =36°
∴ ■=■
∴△ABC 相似△EAC
即■=■
b2=a2-ab

学生 F：我还有另一种证法，就是延长 CA，截取 CF=BC，连结 BF，可证∠F=∠FBC=720。从而
可得△FAB∽△FBC。
∴
■=■，即■=■,
b2=a2-ab
教师：这两位同学想出了很好的证明方法，
下形如 的证明方法。把式子化为 b2=a（a-b），即
角形，即可得证。
我们应该学习他们的求新精神。我们总结一
■ =■ ，然后构造出一对适当的相似三
我想借此机会把这道题再探掘一下，让学生对这道题有更深的印象。
教师：同学们，借助上述结论你能求出 cos36°的值吗？请同学们讨论一下。
学生 G：如图 5，作 AM⊥BC 于 M，则 BM=MC=■ a.由上述结论 b2=a2-ab ，得
a2-ab-b2=0，
b
则 a=
b
而 a＞0，
∴a=
∴ cos36°=■=■=

下课以后，学生们意犹未尽，有一个学生跟我说他可以求出 sin36°的值。
三、案例分析
纵观整节课，虽然我没有完成事先预定的教学计划，但是我和我的学生在这节课上都有较大的
收获。学生从中学习了提出问题、探究问题和解决问题的方法。对这节课我有下面几点反思：
1、公开课不一定要按照自己预先设置好的环节节节推进上成花架子课，通过这节课的实践，
自己认识到公开课要上真实课，不上虚假课；要上实在课，不上花架子课；要上明白课，不上盲目
课；要上“全”课，不上“独”课；要上活力课，不上死板课；要上教学研究课，不上样板模仿课。
有一个比较敏感的问题是：执教公开课的教师应该如何对待最后的结果？我觉的一堂好的公开课应
该是以学生能力发展、知识提高为检验标准的。
2、课堂应该是学生的天地，任何教学活动只有学生这个主体的积极参与才能发生作用。充分
相信学生，其实就是对教育主体——学生的充分尊重，我们教学对象是一个个活生生的、发展中的
人，因此这种信任和尊重，其实是师生关系平等的体现，而教师"教"应该放在为学生"学"服务的地
位。
3、课堂上要使学生主动学习必须营造一种民主、平等、和谐的课堂气氛，使学生肯于思考，
乐于参与。良好的师生关系有利于学生学习兴趣的提高。教学中建立良好的师生关系，教师尊重学
生、关心学生、热爱学生，学生反过来也会给教师以相应的情感回报，会更深深地热爱教师，敢于
和善于在教师面前发表自己的看法，在学习上表现更积极主动的探索精神。
4、教师在教学过程中要善于针对学生个性特点和当时的情境，随机应变地对意象不到偶发事
件进行迅速处理。一个观察能力、应变能力、业务能力和创新能力都比较强的教师，才能够对学生
施以有效的影响，使之养成较强的求新能力。
5、《标准》明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主
探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”因此在本节课的教学中，我适当采用了这种新的学
习方式，从学生发言的积极性、讨论的热烈度、所得结论的多样性等来看，他们实实在在地进行着
观察、猜测、验证、推理与交流等数学活动，这对提高学生从事数学活动的能力，促进自身的整体
发展有着很大的帮助。但在欣喜之余也存在很多担忧，可以说学习困难生的参与是不积极的，往往
出现“能者多劳”的现象，这样会导致两极分化。如何让弱势群体的学习变得更主动，是我面临的
一个较大的也急需解决的难题。
总之，新课程提出：学生是学习的主体，是发展的主体。在教学中，倡导学生亲身经历数学知

识的形成与应用过程，是符合新课程的理念的。数学教学过程化的关键是正确把握教学中的一些两
难问题。只有善于思考，勇于探索，并持之以恒，才能不断提高自我的教学水平

下课以后，学生们意犹未尽，有一个学生跟我说他可以求出 sin36°的值。
三、案例分析
纵观整节课，虽然我没有完成事先预定的教学计划，但是我和我的学生在这节课上都有较大的
收获。学生从中学习了提出问题、探究问题和解决问题的方法。对这节课我有下面几点反思：
1、公开课不一定要按照自己预先设置好的环节节节推进上成花架子课，通过这节课的实践，
自己认识到公开课要上真实课，不上虚假课；要上实在课，不上花架子课；要上明白课，不上盲目
课；要上“全”课，不上“独”课；要上活力课，不上死板课；要上教学研究课，不上样板模仿课。
有一个比较敏感的问题是：执教公开课的教师应该如何对待最后的结果？我觉的一堂好的公开课应
该是以学生能力发展、知识提高为检验标准的。
2、课堂应该是学生的天地，任何教学活动只有学生这个主体的积极参与才能发生作用。充分
相信学生，其实就是对教育主体——学生的充分尊重，我们教学对象是一个个活生生的、发展中的
人，因此这种信任和尊重，其实是师生关系平等的体现，而教师"教"应该放在为学生"学"服务的地
位。
3、课堂上要使学生主动学习必须营造一种民主、平等、和谐的课堂气氛，使学生肯于思考，
乐于参与。良好的师生关系有利于学生学习兴趣的提高。教学中建立良好的师生关系，教师尊重学
生、关心学生、热爱学生，学生反过来也会给教师以相应的情感回报，会更深深地热爱教师，敢于
和善于在教师面前发表自己的看法，在学习上表现更积极主动的探索精神。
4、教师在教学过程中要善于针对学生个性特点和当时的情境，随机应变地对意象不到偶发事
件进行迅速处理。一个观察能力、应变能力、业务能力和创新能力都比较强的教师，才能够对学生
施以有效的影响，使之养成较强的求新能力。
5、《标准》明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主
探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”因此在本节课的教学中，我适当采用了这种新的学
习方式，从学生发言的积极性、讨论的热烈度、所得结论的多样性等来看，他们实实在在地进行着
观察、猜测、验证、推理与交流等数学活动，这对提高学生从事数学活动的能力，促进自身的整体
发展有着很大的帮助。但在欣喜之余也存在很多担忧，可以说学习困难生的参与是不积极的，往往
出现“能者多劳”的现象，这样会导致两极分化。如何让弱势群体的学习变得更主动，是我面临的
一个较大的也急需解决的难题。
总之，新课程提出：学生是学习的主体，是发展的主体。在教学中，倡导学生亲身经历数学知

识的形成与应用过程，是符合新课程的理念的。数学教学过程化的关键是正确把握教学中的一些两
难问题。只有善于思考，勇于探索，并持之以恒，才能不断提高自我的教学水平