山西省四校高三数学第三次联考试题-文.doc

2012届高三年级第三次四校联考
数学（文）试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则满足的集合的个数是
A．2 B．3 C．4 D．8
2．已知复数的实部为，虚部为，则(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的
横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
A． B．
C． D．
4．在空间内，设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是
A．，则 　
B．，则
C．，则
D．，则或
5．下列有关命题的说法正确的是
A．命题“若”的否命题为：“若”；
B．“”是“”的必要不充分条件；
C．命题“”的否定是：“”；
D．命题“若”的逆否命题为真命题；
6．已知数列的前项和，则数列的奇数项的前项和为
A． B． C． D．
7．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为4，则的取值范围
A． B．
图1
C． D．
8．设实数满足约束条件,
若目标函数的最大值
为13,则的最小值为
A．2 B．4
C．6 D．8
9．在(为原点)中，，
，若＝－5，则的面积=
A． B． C．5 D．
10. 定义在上的函数满足, ,若且, 则有
A． B．
C． D．不确定
11．若是双曲线：和圆：的一个交点且其中是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．3
12．在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点不重合），若的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是____________．
14．已知是曲线上的一点，若曲线在处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，则实数的取值范围是 ．
15．已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为_________．
16．设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围为 　　　　．
三、解答题：本大题共70分．
17．（本小题满分12分）已知函数
（1）求函数的最大值和最小正周期；
（2）设的内角的对边分别且,，若求的值．
18．（本小题满分12分）如图，菱形的边长为，,．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥 ,点是棱的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．

偏低
正常
偏高
女生（人）
100
173

男生（人）

177

19．（本小题满分12分）调查某高中1000名学生的
身高情况，得下表：已知从这批学生中随机抽取
1名学生，抽到偏低男生的概率为0.15。

（1）求的值；
（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随 机抽取50名，问应在偏高学生中抽多少名？
（3）已知，，求偏高学生中男生不少于女生的概率．
20．（本小题满分12分）已知椭圆：的上顶点为右焦点为直线与圆：相切． 高考资源网
（1）求椭圆的方程；
（2）若不过点的 动直线与椭圆交于两点，且．高求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
21．(本小题满分12分) 设函数．
（1）求函数的最小值；
（2）设，讨论函数的单调性；
（3）斜率为的直线与曲线交于、两点，
求证：．
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22．（本小题满分10）选修4-1：几何证明与选讲
如图，已知与圆相切于点，经过点的割线交圆于点，的平分线分别交于点．
（1）证明：；
（2）若,求的值．
23．（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
已知点，参数，点Q在曲线C：上．
（1）求点的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求点与点之间距离的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．

2012届高三年级第三次四校联考数学（文）试题参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．A 4．D 5．D 6．C 7． D 8． C 9． D 10．B 11． B 12．D
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解析：（1）……………．3分
则的最大值为0，…………………………………………………．4分
最小正周期是………………………………………………5分
（2）则

…………………………………………………．．7分
由正弦定理得①………………………………9分
由余弦定理得
即②……………………………………………………11分
由①②解得 ………………………………………12分
18．(1) A
B
C
M
O
D
证明：由题意，,
因为,所以，．…3分
又因为菱形，所以．
因为,所以平面，
因为平面，所以平面平面． ……………6分
(2)解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积． ………8分
由（1）知，平面，
所以为三棱锥的高． ……………9分
的面积为，
所求体积等于． ……………12分
19．解：（1）由题意可知，，∴＝150（人）； ……………4分
（2）由题意可知，偏高学生人数为（人）。设应在偏高学生中抽取 人，则，∴（人）
答：应在偏高学生中抽20名。 ………………………………8分
（3）由题意可知， ，且，，满足条件的
（，）有（193，207），（194，206），…，（207，193），共有15组。
设事件A：“偏高学生中男生不少于女生”，即，满足条件的（，）
有（193，207），（194，206），…，（200，200），共有8组，所以
。
答：偏高学生中女生少于男生的概率为。 ………………12分
20．解：（Ⅰ）圆的圆心为,半径
由题意知, ,得直线的方程为
即
由直线与圆相切得高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
,
故椭圆的方程为 ……………4分
（Ⅱ）由知，从而直线与坐标轴不垂直，……………5分
故可设直线的方程为，直线的方程为
将代入椭圆的方程，整理得
解得或， ……………7分
故点的坐标为
同理，点的坐标为 ……………9分
直线的斜率为= w。w-w*k&s%5￥
u直线的方程为，即高
直线过定点 ……………12分
21． 解，令，得 ……………1分
当
． ……………3分
．
……………4分
； …………5分

综上，当时，在上是增函数；
当时，在上单调递增，在上单调递减． …………8分
(3) 证：．
要证，即证，等价于证，令，
则只要证，由知，故等价于证 (*)．
① 设，则，故在上是增函数，
∴ 当时，，即．
② 设，则，故在上是增函数，
∴ 当时，，即．
由①②知(*)成立，得证． ……………12分
22． 解：(1)∵ PA是切线，AB是弦，
∴ ∠BAP=∠C，………………………………2分
又 ∵ ∠APD=∠CPE, ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,
∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,
∠AED=∠C+∠CPE, 4分
∴ ∠ADE=∠AED． 5分
(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,
∴ △APC∽△BPA, ∴, 7分
∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,
∵ BC是圆O的直径，∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,
∴ ∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°． 9分
在Rt△ABC中，=, ∴ =． 10分
23． 解(1)由得点P的轨迹方程 (x-1)2+y2=1(y≥0), 2分
又由=，得=,　∴　=9．
∴曲线C的直角坐标方程为 x+y=9． 5分
(2)半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的圆心(1，0)到直线x+y=9的距离为4，所以｜PQ｜min=4-1． 10分
24解：（1）由题设知：，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
，或，或
解得函数的定义域为；…………………………．5分
（2）不等式即，
时，恒有，
不等式解集是R，
的取值范围是………………………………………………10分

用心 爱心 专心