管理类联考强化班数学讲义 第一章 算术--第九章 概率和基本统计.pdf
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1、邵老师编制目录第一章算术.1第一节实数.1第二节绝对值和平均值.5第三节比和比例.10第四节习题.12第二章 整式、分式和函数.16第一节整式.16第二节分式.23第三节集合与函数.24第四节习题.27第三章方程和不等式.34第一节简单方程(组卜不等式(组).34第二节一元二次函数、方程、不等式.37第三节特殊函数、方程和不等式.43第四节习题.45第四章应用题.49第一节各类题型.49第二节习题.58第五章数列.64第一节数列的概念与性质.64第二节等差数列.67第三节等比数列.73第四节习题.78第六章平面几何与立体几何.84第一节平面几何.84第二节:立体几何.93第七章解析几何.96第
2、一节 点、直线与圆的基础知识.96第二节平面几何的综合问题.102第三节习题.110第八章排列组合.116第一节各类题型.117第二节习题.123第九章概率和基本统计.127第一节古典概型.127第二节独立事件和伯努利公式.132第三节习题.1351邵老师编制第一章算术【大纲考点】1.整数整数及其运算;整除、公倍数、公约数;奇数、偶数;质数、合数;2.分数、小数、百分数;3.绝对值与平均值;4.比与比例;【本章比重】本章约考2个题目,计6分。第一节实数一、质数与合数1.质数:如果一个大于1的正整数,只能被工和它本身整除(只有工和其本身两个约数),那么 这个正整数叫做质数(质数也称素数).2.合
3、数:一个正整数除了能被1和本身正除外,还能被其他的正整数整除(除了 1和其本身之外,还有其他约数),这样的正整数叫做合数.3.质数和合数的特点(1)质数和合数都在正整数范围,且有无数多个.(2)2是唯一的既是质数又是偶数的整数,即是唯一的偶质数.大于2的质数必为奇数.质数中只有 一个偶数2,最小的质数为2.()(3)若正整数。力的积是质数p,则必有。或6=2(4)1既不是质数也不是合数.()(5)如果两个质数的和或差是奇数,那么其中必有一个是2;如果两个质数的积是偶数,那么其中也 必有一个是2.(十)(6)最小的合数为4,任何合数都可以分解为几个质数的积,能写成几个质数的积的正整数就是合 数.
4、二、奇数与偶数L奇数:不能被2整除的数.如-3-1,1,3.2.偶数:能被2整除的数.注意,0属于偶数.如-2,O 2.3.奇数和偶数的加减乘除:奇数土奇数=偶数,偶数土偶数=偶数,奇数土偶数=奇数,奇数x奇数=奇数,偶数x偶数=偶数,奇数x偶数=偶数。【题型一】质数合数、奇数偶数的运算【思路点拨】质数中只有2是唯一的一个偶数。熟练掌握奇数偶数的加减运算。【例1.1】已知p,q均是质数,且满足llx p 29x 9=129,那么px q=().A.32 B.34 C.64 D.75 E.86【例1.2正整数1531除以某质数,余数得13,则这个质数的各数位之和为().A.7 B.2 C.4 D
5、.5 E.8三、有理数与无理数1邵老师编制1.有理数:有理数包含整数和分数,有理数是一个正整数a和一个正整数b的比,其中整数可以 看作是分母为1的分数。2.无理数:无限不循环的小数,不能写作两个整数的比值。如:兀,。3.有理数与无理数的运算:有理数士有理数=有理数,无理数土无理数=有理数或无理数,有理数土无理数=无理数。有理数x有理数=有理数,无理数x无理数=有理数或无理数,有理数x无理数=0或无理数。【题型二】有理数和与无理数的运算【思路点拨】熟练掌握有理数无理数的定义和运算,在运算中灵活进行整式运算。【例2.1已知x是无理数,且例+1)(%+3)是有理数,则(1)公是有理数;Q)(x-l)
6、(x-3)是无理数;(3)(x+l)2是有理数(4)(x-厅是无理数,以上命题正确的有()个。A.O B.l C.2 D.3 E.4【例2.2若x,y是有理数,且满足(1+2月)%+(1-2+56=0,贝I x,y的值分别为().A.1,3 B.-l,2 C.-l,3 D.1,2 E.1,5【例2.3】(07-10)m是一个整数(1)若!=,其中p,q为非零整数,且病是一个整数。qD 2777+4(2)若0!=上,其中P,q为非零整数,且一一 是一个整数。7 3四、分数与小数1.分数:将单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数.2.小数:实数的一种特殊的表现形式.所有分数都可
7、以表示成小数,小数中的圆点叫做小数点,它是 一个小数的整数部分和小数部分的分界号3.循环小数化分数:0彘=殴;。.薪此99 999【题型三】循环小数化分数【思路点拨】熟练掌握循环小数化简成分数的运算。【例3.1】纯循环小数0晶;化简成最简分数时,分子和分母的和为58,则这个纯循环小数 为().a-0.567 b-0.537 c0.51 7 d-0.567 e-0.562【例3.2】纯循环小数o Z】在小数点后的I。位上,各个数字之和为4664,且数字a,b,c 中有两个数字是相等的,则a x bx c=().A.72 B.76 C.64 D.56 E.84 2邵老师编制五、整除、倍数、约数1数
8、的整除:当整数a除以非零整数b,商正好是整数而无余数时,则称a能被b整除或a能整除b 倍数,约数:当a能被b整除时,称a是b的倍数,b是a的约数.2.公约数:如果一个整数c既是整数a的约数,又是整数b的约数,那么c叫做a与b的公约数.3.分解质因数:把一个合数分成几个质数相乘的形式,其中每个质数均是这个合数的因数。如:30=2x 3x 5 o【题型四】分解质因数的应用【思路点拨】(1)合数可以分解为多个因数的乘积,其中还可以分解成负数X负数的形式。几个数的乘积一定时候,差越小和越小,差越大和越大。【例 4.1四个不同的正整数 a,b,c,d 满足(a-7)(b-7)(c-7)(d-7)=4,则
9、 a+b+c+d=()A.14 B.18 C.24 D.28 E.32【例 4.2(2009-10)a+b+c+d+e 的最大值是 133a,b,c,d,e是大于1的自然数,且a bcde=2700(2)a,b,c,d,e是大于1的自然数,且a bcde=2000【例4.3 a+b+c+d+e的最小值是 a,b,c,d,e是大于1的自然数,a,b,c,d,e是大于1的自然数,23且 a bcde=2000且 a bcde=2400【例4.4】某机构向12位教师征题,共征集5种题型的试题52道,则能确定供题教师的人 数。(1)每位供题老师提供的试题数相同。(2)每位供题教师提供的题型不超过2种。
10、4.最大公约数:两个数的公约数中最大的一个,叫做这两个数的最大公约数,记为(。/).若仅向=1,则称a与b互质.5.最小公倍数:几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公 倍数.数学上常用方括号表示,如12,18,20即12、18和20的最小公倍数.6.短除法求最大公约数和最小公倍数.7.两个整数的成积等于他们的最大公约数和最小公倍数的成积.【题型五】最大公约数和最小公倍数的应用【思路点拨】两个数的乘积等于最大公约数乘以最小公倍数。熟练使用短除法解最大公约数和最小公倍数的问题。【例5.1】两个正整数的最大公约数为6,最小公倍数为90,满足条件的两个正整数组成的大数
11、 在前的数对共有()对。A.O B.l C.2 D.3 E.4【例5.2设a与b是正整数,且a+b=33,最小公倍数a,b=90,则最大公约数(a,b)=()A.l B.3 C.ll D.9 E.133邵老师编制【例5.3一次参会有三种饮料,在参会结束后一共用了 65瓶,并且每两人喝了一瓶A饮料,每三人喝了一瓶B饮料,每四人喝了一瓶C饮料,则参会的人数为().A.36 B.40 C.60 D.72 E.84【例5.4】一个盒子装有不多于200颗糖,每次2颗,3颗,4颗或6颗的取出,最终盒内 都只剩下一颗糖,如果每次以11颗的取出,那么正好取完,则盒子里共有m颗糖,m的各 个数位之和为().A.
12、8 B.10 C.4 D.12 E.6六.完全平方数1.定义:对于任意一个正整数a,其平方/称之为完全平方数【题型六】完全平方数的应用【思路点拨】注意两个完全平方数,可以将其相减然后使用平方差公式。【例6,1能确定小明的年龄。(1)小明的年龄是一个完全平方数。(2)20年后小明的年龄是一个完全平方数。七、常见整除的特点(*)1.能被2整除的数:个位为0,2,4,6,8.上2.能被3、9整除的数:各数位数字之和必能被3、9整除.3.能被4整除的数:末两位(个位和十位)数字必能被4整除4.能被5整除的数:个位为0或5.A5.被6整除:同时满足能被2和3整除的条件.6.被7整除:方法1将整数个位数字
13、去掉,剩下的数字减去个位数字的2倍,是7的倍数;(适用 于大数).方法2 整数后三位减去后三位之前的数是7的倍数.7.被8整除:末三位(个位、十位和百位)数字必能被8整除.8.被10整除:个位必为0.9.被11整除:从右向左,奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被11整除(包括0).10.被12整除:同时满足能被3和4整除的条件.4邵老师编制第二节绝对值和平均值一.绝对值1.定义:正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值还是零.3.几何意义:一个实数a在数轴上所对应的点到原点的距离值.4.绝对值的性质(1)对称性:|-即互为相反数的两个数的绝对值相等.(2)等价性:=|t z|
14、,|2=|a21=a2(a e 7?)(3)自比性:|a区a I,推而广之,|X|X fl,X 0,x|x|-l,x 0.(4)非负性:即|a巨0,任何实数a的绝对值非负.()(5)推广:具有非负性的数还有正偶数次方(根式),如下,/,.,八,标,【题型一】非负之和为0【思路点拨】多个非负之和如果等于0,那么每个非负数均是为0.【例 1.11 设 13x+y-z+2|+(2x+y-z)2 4x+y-2018+-J2.018 x y,则x+y+z的值为().4030 B.4034 C.4032 D.4036 E.4040【例 1.2羽y,z满足条件|/+4切+5/则(4%5=()B V2【例 1
15、.3(09-10)2x+y+2a+b=1 7.(1)a,b,x,y y+-x-/3|=1 +y/3b.(2)a,b,x,y x-3+y/3b=y-l-b.2二、绝对值的不等式运算5邵老师编制1.基本不等式x a-a x 0),|x|t z x a(a 0)2.三角不等式()a-ba+ba+b.a-ha-hn B.mn c.m=n D.mn E.无法确定【例2.3(充分性判断)区5.(1)|x+3 区 4,|y+3 区 1.(2)|x-3|1,|-3|4.【例2.4(13-1)已知。力是实数,则区1,|昨1.(1)a+bl.(2)a-bl.【题型三】多个绝对值的加减【思路点拨】类型一:两个绝对值
16、相加:丁=卜一4+,一耳,(6)在 e(Q,6)之间取到最小值,最小值为b-ao函数图像为平底锅型。【例3.1】若不等式|3%|+,一2|。的解集是空集,则。的取值范围是At zl B.6Zl D.al E.以上结论都不正确【例3.2不等式,+2|+卜4|a的任意x成立(1)a=6(2)a 66邵老师编制【思路点拨】类型二:多个绝对值相加(l)y=|x 4+|%4+,一,(。bc),则当 x=b 时-,y 取到最小值。y=k-4+k-耳+k-d+k-4,(a 6 C 2,【思路点拨】类型三:两个绝对值相减:y=x-a-x-b,(ab)当e(co,a)的时候,y有最小值为a-b。当工(仇8)的时
17、候,y有最大值为b-a。函数图像为Z型。【例3.6】已知Q 丫 1 1 y 1:一一l 2 B.w 2 C.m 1 D.m 1 E.1 m 1.,4A.-4 x 或 x 4c 4B.-2 x 一或 43,4C.-4%0【例 4.2(11-1。)使已知 g(x)=0,x)=1l1-g(x)1x+l|+|x-21+|x+2|,则是与X无关的常数.(l)-lx 0.(2)l x 0再)2%(,0,/=1,).n当且仅当X=X2=X”时,等号成立.4.定理的应用()(1)当=2时,正数为,吃的几何平均值痈称为x15x2的比例中项(2)a+h 2ab(a,b 0).a+2(a 0),即对于正数而言,互为
18、倒数的两个数之和不小于2,且当。=1时取得最小值2.【题型五】不等式的应用【思路点拨】注意不等式的成立条件-均为正数,其和或者乘积是否能为定值,以及等号成立条 件。1/-【例5.1】求函数I=%+2._)2 a 1)的最小值.A.立2D.4 E.5【例5.2】求函数y=%2(l 一%),(%0)的最大值.8邵老师编制【例5.3】已知x je H,且x+y=4,则3*+3)的最小值是().A.3-V2 B.18 C.9 D.2V2 E.76【例5.4】若0/0,且尢+2丁=4,则Igx+lgy的最大值是().A.1g 2 B.21g2 C.-lg2 D.31g2 E.lg32【例 5.5】(09
19、-10)H H ya+y/h+y/c a b c(l)a bc=l(2)a bc为不全相等的正数9邵老师编制第三节比和比例一、比1.定义:土其中a叫做比的前项,b叫做比的后项.相除所得的商叫做比值,记作入?=&-在实 际应用中,常将比值表示成百分数,成为百分比.2.比例:相等的比称为比例,记作a:6=C:d或f=三.其中a和d称为比例外项,b和c称为比 b d例内项.当a:b=6:c时,称b为a和c的比例中项.当。也c均为正数时,b为a和c的几何平 均值.3.正比:若y=区(k不为零),则称y与x成正比,k称为比例系数.【注意】并不是x和y同时增大或减小才称为正比.比如当左 0时,x增大时,v
20、反而减小.4.反比:若y=k/x(k不为零),则称y与x成反比,k称为比例系数。【题型11考查正反比问题【思路点拨】正反比问题要引入比例系数来分析,注意比例系数1 3【例1.1已知V=%一%,且必与二二成反比例.为与二成正比例.当=0时,V=-3,2x x+2又当=1时,=1,那么丫和乂的关系式是().A.y=3x23x+2B.y=3x2-6x+2C.y=3x2 H-x+22D.y 二3x2 一下2+-x+2E.y=-3x23x+2二、比例的基本性质与定理1.性质:a:b=c:d Q ad=be.2 a:b=c:d o b:a=d:c Q b:d=a:c o d:b=c:a.。:6=ma:mb
21、.2.重要定理-a c ah更比7E理:一=一O 一=一 b d c d反比定理:=.b d a ci o邵老师编制a c a+b c+d合比定理:()=o-=-(采用两边加1,通分推导)b d b d分比定理:()2=9 0 土心=土=色(采用两边减1,通分推导)b d b d,一 a c,a+b c+d合分比定理:()=-wlo-=-.b d a-b c-da c e a+c+e,八、等比定理:()1=7=7=7-(b+d+f O).b a j b+a+j3.增减性变化关系a r a+m a(1)若一1,则-.b b+m b八 a,a+m a(2)若 0一.b b+m b【题型二】比和比例
22、的应用【思路点拨】(1)熟练使用比和比例的公式;(2)注意比例中分母不为0。【例2.1】丝处也0=8,八 _ a+b-c(1)abc w 0,且-a+6+ca-b+c b(2)abc W 0,a _b _c2 3-41 1 1 c【例2.2】设一:一:一=3:4:5,则使得x+y+z=94成立的y的值是().x y z74A 24 B36 C-D30 E 263例2,3 若非零实数a,b,c,d满足等式-=-=-b+c+da a+c+d8 a+b+dcd-二,则n的值为(a+Z?+cdli邵老师编制第四节习题1、已知0%1,那么在了,4,竟无3中,最大的数是().XA.x B.C.y/x D.
23、x1 E.x3x2、已知实数X和满足条件满足条件(x+y)99=-l和(X-y)i=l,则”_/”=()A.-l B.O C.l D.2 E.-23、已知,夕都是质数,且满足llx 29x q=415,那么,x q=()A.32 B.33 C.64 D.75 E.864、若a,,均为质数,且/+方=2003,则a+6=()A.1999 B.2000 C.2001 D.2002 E.20035、已知3个质数的倒数和为给,则这三个质数的和为()1986A.334 B.335 C.336 D.338 E.3396、已知为三个连续奇数且q6c,他们均为质数,那么符合条件的a,b,c有()组A.O B.
24、l C.2 D.3 E.无穷多组7、7知非零实数a,b 满足悟a 4|+4+2|+J(a 3):+4=2a,则 a+6=().A.-1 B.0 C.1 D.2 E.-28、9121除以某质数,余数得13,这个质数是A.7 B.ll C.17 D.23 E.299、把无理数石记作。,它的小数部分记作6,则a-9=().bA.l B.-l C.2 D.-2 E.31 110、1 J的算术平均数是2,几何平均数也是2,则方=+丁=().yj y311设4x=5p=6z,则使x+z=lll成立的值是()A.24 B.36 C.35 D.111/3 E.111/2 12、两个正整数的最大公约数为12,最
25、小公倍数为144,满足条件的两个正整数组成的大数在 前的数对共有()对。A.O B.l C.2 D.3 E.4 13、已知x是无理数,且(1+1)2是有理数,则(1)尤2是无理数;(2)(%_1)(X+3)是无理数;(3)(x-Ip是无理数(4)(x-2)(x+4)是无理数,以上命题正确的有()个。12邵老师编制A.0B.1C.2D.3E.414、若x,y是有理数,且满足(1+2省)+(1.逝)y_2-6=0,则x,y的值分别为()A.1,3 B.-l,2 C.-l,3 D.1,1 E.1,515、某机构向15位教师征题,共征集7种题型的试题68道,则能确定供题教师的人数。(1)每位供题老师提
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