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数学竞赛中立体几何解题策略
桂林十八中 欧阳群壮
一、化归为平面问题
空间图形的主要元素往往可集中在某一特征平面（截面）上，若能结合题目条件或结论的特征，构造或者确定一个数量关系比较集中的平面逐步将题目的条件及其由条件推得的结论应用在该平面，并加以重点分析，从而将空间问题化归为平面问题去解决.
例1：设d是任意四面体相对棱之间距离的最小者，n是该四面体高的最小者，
求证：. (第24届全苏数学竞赛)
【证明】：如图1，为确定起见，不妨设四面体A—BCD中过顶点A所引的高，棱AB和CD之间的距离为d.

在平面BCD内，过B作直线，过H作于F，交于E.设FG、EK是的高，易知，所以，又，故FG是F到面AEB的距离，又，所以FG为异面直线CD与AB间的距离.同理，EK等于四面体A—BCD过顶点B的高，由已知，及得，
而
即.

例2：正四棱锥内接于半径为R的球，且外切于半径为r的球，求证：.
(1985年苏州市竞赛题)
【证明】：设h为棱锥的高，2a为底面边长，则R是等腰的外接圆的半径（如图2、3）

，
∴，
r是等腰的内切圆的半径（如图4），

又，
，
∴

令，
∴，
∴

例3：在单位正方体ABCD—A1B1C1D1内，作一个内切球O，再在正方体的八个角上各作一个小球，使它们都 与球O外切，并且分别与正方体的三个面相切，求小球的半径.
【解】：⑴由对称性可知，八个小球均相等，正方体的对角面ACC1A1通过5个球心和10个切点及正方体的棱和对角线，包含其主要元素，把这个对角面解剖出来（如图5），即可化归为平面几何问题去解.
⑵利用位似可知A、O1、O、O2、C1五点共线，，数量关系集中在直角梯形OMNO1中，设小球半径为x，则
，

即，
∴.

例4：正三棱锥P—ABC的底面边长为1，高，在这个棱锥的内切球上面堆一个与它外切，并且与棱锥各侧面都相切的球，按照这种方法继续把球堆上去，求这些球的体积之和.
【解】：⑴过侧棱PA及高PH的截面通过球心的切点，包含正三棱锥的主要元素，把它解剖出来（如图6），化归为平面几何问题去解.

⑵设内切球O1、O2、O3、…的半径分别为R1、R2、R3、…，由正三棱锥底面边心距，斜高
，
有

，
在直角梯形O1MNO中，
，
同理，，…
∴
.
【点评】：例3和例4这两个多球相切的问题，都是把数量关系集中在其特征截面上，化归为平面几何问题，最后在以两球心、两切点为顶点的直角梯形中得到解决.

二、 巧用空间变量公式
空间度量公式包括各种体积公式、四面体的正弦定理、余弦定理、射影公式等等.若能灵活巧妙运用度量公式，常会发现空间几何量之间的数值关系，使问题获得简捷解.
例5：中，，，AC=2，M是AB的中点，将
沿CM起，使A、B两点间的距离为，求三棱锥A—BCM的体积.
(1998年全国高中联赛题)

【解法一】∵M是直角三角形ABC斜边AB上的中点（如图2-1），
∴MA=MB=MC，
∴三棱锥M—ABC的项点M在面ABC上的射影是底面的外心.
又在三棱锥M—ABC中，易知，
∴底面是直角三角形，其外心为斜边BC的中点O（如图2-2），
易知点M到平面ABC的距离MO=1，
∴

【解法二】如图2-3，过点A在面ABM内作交BM延长线于D，连结DC，
∵AM=BM=CM=AC=2，

，，
∴，
∴，
又，∴，
AB是三棱锥B—ACD的面ACD上的高.在中，
易知，，
又在中，易得，
∴， ∵CM=2，∴CD=2.
∴，∴，
∴M在面ACD的射影为AD的中点N，，且.
∴

.
【点评】：上述两种解法是解决这类题题型→求三棱锥体积的通法.解法一是变换顶点法，由；解法二是体积分类分割法.

例6：正三棱柱ABC-A1B1C1底面的边长及高都是2cm，过AB作一截面，截面与底面ABC成角，求截面面积. (1995年“希望杯”竞赛题)
【解法一】先作出符合题意的截面ABQP，如图2-4，取PQ中点R，AB中点M，连C1R延长交A1B1于H，则H必为A1B1中点，连CM，作于N，则N必在CM上，且有，
∴，
从而，，

.
∴，
于是由，
得，
H

∴

【解法二】如图2-5，设平面ABQP与侧棱CC1交于D，则
，
在中，，
，
∴
又，
∴.
故.
【点评】：解法一由题意作出截面，运用三角函数求解；解法二巧妙运用面积射影公式：，即及面积组合（面积割补）求解，两种方法均佳.

例7：求证：对于任意一个四面体，下列不等式成立：，其中，a、b是两条异面直线的长度，r是内切球的半径. (第22届全苏数学奥林匹克)
【证明】：四面体的内切球的半径，其中V为四面体的体积，S是其表面积，结合史坦纳定理，知，其中d为对棱a、b间的距离，为a、b的夹角.
另一方面，由四面体的棱b的端点到棱a的端点的距离都不小于d，且其中必有一个大于d.于是，四面体的两个与棱a相邻的侧面面积之和大于ad.类似地，四面体的另外两个侧面面积之和大于bd，于是，.
所以，.

例8：在中，，，AC=2，M是AB的中点，将沿CM折起，使A、B两点间的距离为，此时三棱锥A—BCM的体积等于________.
(1998年全国高中联赛)

【解】：折起后的三棱锥A—BCM，如图2-6所示，取CM的中点D，连结AD，易知，在中，作交BC于点E，连结AE，可知，则，，
在中，
∵AC=2，，，
∴.

故，
又，
由射影定理知
，且.
由，，
从而，.
所以，.
三、空间向量解析法
建立空间坐标系，将几何问题转化为代数问题，这样简化推理，转化成坐标运算，是近几年高考和竞赛的热点内容.
例9、 正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则 .(2010全国联赛)
解法一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.
设分别与平面、平面垂直的向量是、，则

由此可设 ，所以，
即.
所以 .
解法二：如图， .
设与交于点 则 .
从而平面 .
过在平面上作,垂足为.
连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.
在直角中，,即 .
又 .
.

四、 构造辅助图形法
根据具体题目的特点，若能通过特殊点相连或割补等方法，构造出一种简单、特殊、直观的几何体，常可使问题化难为易，化复杂为简单.

例10：如果空间三条直线a、b、c两两成异面直线，那么与a、b、c都相交的直线有（ ）
(A)0条； (B)1条 ；(C)多于1的有限条； (D)无穷多条；
(1997年全国高中联赛)
【解】：无论a、b、c的位置关系是怎样的，总可作一个平行六面体ABCD-A1B1C1D1，使AB在直线a上，B1C1在直线b上，D1D在直线c上，如图3-1

再在DD1的延长线上任取一点M.由M与a确定一个平面，平面与直线B1C1交于点P，与直线A1D1交于点Q，则.于是，在平面内，直线PM不与平行，PM必与交于一点N，这样直线MN就同时与直线a、b、c相交.由于点M的取法有无穷多种，因而同时与a、b、c都相交的直线有无穷多条，故选(D).

例11：把四个相等的小球摆在桌面上，使球心的连线成正方形，每边两球相切，并在这四个球上面放一个与它们都相切的等球.已知上面一个小球的最高点与桌面的距离为a，求小球的半径x.
【分析】：以五个球心为顶点，所构成的正四棱锥
图3-2
A—BCDE的棱长均为2x（如图3-2），高，再往上、下各伸长小球的半径x，就是上面小球的最高点P到桌面的距离，则，解得.

例12：在一个半径为2R的圆柱形圆筒内，有6个直径均为2R，且处于稳定状态的小球，往圆筒内注水，问水面至少多高才能把这6个小球浸没？这时筒内水的体积是多少？
图3-3

【解】：⑴圆柱底面直径是4R，球的直径是2R，为使小球处于稳定状态，6个小球分成三层，第一层两球心连线AB//底面，第二层两球心连线CD//底面，且（如图3-3）.关键是求AB与CD间的距离，转化为棱长为2R的正四面体ABCD对棱间的距离：.
⑵第三层两球心连线EF//底面，，且EF与CD间的距离也等于.考虑到最上、最下两层尚须各占小球的半径R，故水面至少的高.
此时，筒内水的体积.

例13：求证：若四面体相对棱间的距离分别为d1、d2和d3，则四面体的体积V不小于. (第48届莫斯科数学奥林匹克)
【证明】：如图3-4，设四面体A—BCD三组对棱分别为AB与CD，AD与BC，AC与BD，过四面体的三组对棱分别引三对相互平行的平面，得平行六面体.它的各面的一条对角线刚好是四面体ABCD的棱，各相对面的距离分别等于四面体三组对棱的距离.易知该平行六面体的体积正好是四面体A—BCD体积的3倍.
图3-4

在平面A`DB`C中，作，，，则EF不小于平面A`AC1C与平面DD1BB`的距离，即，又，所以， .
又平面A`DB`C与平面AD1BC1的距离为d1,因此，
，
所以，.

★ 同步训练
一、选择题
1. 设点E、F、G分别是正四面体ABCD的棱AB、BC、CD的中点，则二面角C—FG—E的大小是（ ）
(1998年全国高中联赛)
(A).；(B).；(C).；(D).；
2. 在正方体的8个顶点，12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（ ）
(A).57；(B).49；(C).43；(D).37；
3. a、b是两条异面直线，它们所成的角为，过空间任一点P作直线，使与a、b所成的角均为，这样的共有（ ）条
(A).1；(B).2；(C).3；(D).4；
4. 设四面体四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，它们最大值为S，记，则一定满足（ ）
(1992年全国高中联赛题)
(A). ；(B). ；(C). ；(D). ；
二、填空题
1. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为________.
(1995年全国高中联赛)
2. 已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于，，那么，三棱锥S-ABC的体积为________.
3. 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________.
(1996年全国高中联赛)
三、解答题
1. 已知正三棱锥S-ABC的高SO=3，底面边长为6，过点A向它所对的侧面SBC作垂线，垂足为O`，在AO`上取一点P，使，求经过点P且平行于底面的截面的面积.
(1989年全国高中联赛题)
2. 一个四面体恰有一棱比1大，试证明：该四面体的体积.
(第9届IMO)
3. 在四面体A1A2A3A4中，A1所对的的面积为S1，以A1A2为棱的二面角为，其余类推.求证：.
图3-5

参考解答
一、D；B；C；A
二、1. 8:27；2. ；3. 3；
三、1.解：如图3-5，因为S-ABC是正三棱锥，所以点O是的重心.连结AO，并延长交BC于D，因为点D是BC的中点，BC⊥平面SAD，而AO`⊥BC，所以AO`在平面SAD上，
从而，点O`必在DS上.于是，，，
而，则
,
设过点P且平行于底面的截面与SD的交点为，
则，即，
.
故所求截面的面积为.
2.证明：设四面体V-ABC中，，如图3-6所示，作四面体的高VH，于E，于F，设，则四面体的体积

图3-6

，
∵，
∴CF和BE中至少有一个不小于，
又∵，，
∴，
同理，，于是，

.
其中，，，
∴
3.证明：由四面体的面积射影定理，有，
据Cauchy不等式有，

，
∴，
同理还有其它几个式子.这四式相加，得
，
记，有，则

.
整理即得欲证不等式.
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