高中数学解题三境界初探.doc

高中数学解题三境界初探
南漳县第一中学邹国富 徐云飞
摘要：数学教学有大部分时间都在训练学生做题，但老师在收放之间，尺度深浅之中，小结提高之际，该如何掌控，怎样才能做到有的放矢，游刃有余？必须深入题海，炼就一身过硬本领，先度已后度人，一般来说从不会到会，从生到熟，从浅到深，需要经历三个境界。
又是一年高三复习时，老师与学生们都忙得不亦乐乎，忙着深入题海，寻找知识上的遗漏点，方法上的缺陷点，精神上的懈怠点，心态上的平衡点，解题、选题之余，掩卷沉思，题目千万道，如何才能做到眼到心到，心到手到，手到分到呢？解题过程是一种炼心的过程，只有经历三境界方能产生质的飞跃。
第一层境界：模仿
人在初接触一类新事物、新题目时，需要进行模仿训练，模仿题型，模仿知识呈现形式，模仿题目的结论形式等等，这一过程要求老师强调例题讲述过程，如何引导学生堆砌条件，完成充分条件的罗列，最终把结果推导出来；学生需要侧重的是弄清例题要解决哪一类问题，需要哪些知识储备作支撑，用什么理论去推导。拿函数这一章内容来说，2009年山东出了一道高考题:“定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上为增函数，则（　　）.
A.f(-25)<f(11)<f(80). B.f(80)<f(11)<f(-25).
C.f(11)<f(80)<f(-25). D.f(-25)<f(80)<f(11).
这一题专门考查函数三性质——单调性，奇偶性，周期性，把三性质辅以图像加以考查，在解题过程中，通过恒等变换，得出周期为8，x=-2为对称轴，这样，函数草图就呼之欲出了，三数大小关系立即判了出来。相应地，２０１４年琼海市高三模拟试题也出了个相应问题：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x),当0<=x<=1时,f(x)=x/2,则满足f(x)=-1/2的x的值是（ ）。（n是正整数）。　
A.2n. B.2n-1. C.4n+1. D.4n-1.
另外，山东淄博检测有题：已知f(x)在实数集R上具有下列性质：(1)直线x=1是函数的一条对称轴，(2)f(x+2)=-f(x),(3)1<=x1<x2<=3,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,则f(2011),f(2012),f(2013)从小到大的排列顺序是（ ）。　　　　
　　只要把第一例题讲透弄明，后两个题就依葫芦画瓢就可以了。
第二境界：融合
融合，就是把不同章节知识点综合考查，这一层次讲求知识熟练，能融会贯通。这一过程对老师来说要强调知识点的跳跃与衔接，概念的拓展与转换；对学生要求较高，侧重于知识的回顾与概念迁移、重塑及方法技巧的积累。
拿平面向量来说，湖南省有一道高考题，设三个向量a,b,c满足a,b模长为1，向量a与向量b的积为-1/2，向量a-c与向量b-c所成的角为60度，求向量c的最大值=（ ）。
A.2 B. C. D.1
向量的出现是为了解决解析几何问题的，把几何问题数字化，数形结合是它常用的解题方法，由向量a,b的模长相等为1联想到单位圆，夹角为120度，而由圆内接四边形对互补，画出图形即可得出答案。　　　　。
再如讲解导数定积分时，引入了几何意义，这就为有些题解决提供了新思路，如：若f(x)=　求的值。直接借助几何意义就可算出来了。
再如，讲三角函数时，有题目“若cosa+2sina=-,则tana=（ ）。A.1/2. B.2 C.-1/2. D.2.　　　　　　　
当有同学局限于三角函数基本关系式求解时，有些学生就看出了柯西不等式的影子，利用(1cosa+2sina)<=()(),取等号时要=,得出现答案;还有学生发现f(x)=cosx+2sinx=sin(x+),能取最小值-,必有(x)=-sinx+2cosx=0,也轻松求解。
任何问题，多法的求解，必基于知识的娴熟和思维的跳跃，即要对知识技能加以融合，方能达到这一境界。
第三境界：构造
当学生经历了前两层境界的磨砺后，一些基础知识娴熟了，一些基本解题技巧通透了，但遇到位一些爬坡题时，仍会头皮冒汗。怎么突破这一瓶颈呢？还需要在构造创新上下功夫，解题只知模仿不会独立，只知融合流于奔波，只有精于构造方能自我突破，上升一个层次。
２０１１年辽宁高考压轴题，设f(x)=x+a+blnx,　　曲线y=f(x)过点P(1,0)且在P点处切线斜率为２（１）求a,b.（２）证明:f(x)<=2x-2.　　　　。
最后一问构造F(x)=f(x)-(2x-2),通过导数论证函数　　最大值小于等于０即可。
相似地，２０１２年湖北高考压轴大题：设f(x)=a(1-x)+b,(x>0),n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1,(1)求a,b.(2)求f(x)最大值。（3）证明：f(x)<　.　　　　　
第（３）问需要构造新函数F(x)=lnx-1+,F(x)=(x>0).在（0,1）上，F(x)<0, F(x)单调递减；在（1，+）上，F(x)>0, F(x)单调递增，F(x)在（0，+）上的最小值为F(1)=0，所以F(x)>0,lnx>1-(x>1),设t=1+,ln>,所以ln()>lne,所以（>e,<,所以f(x)<= <.

近年来，各地相继出现了一类新的题型，有专家称为创新题或阅读理解题，其核心理念是要求学生根据新概念，融合旧知识，利用构造创新出解决问题的方法，这种趋势值得我们深思。
【1】 王晓东。高三复习课中的“课题研究式”教学【J】.中国数学教育（高中版），2010（6）:63-65.
【2】 朱立明。巧用数形结合思想 解决中学数学难题【J】。中国数学教育（高中版），2011（1-2）：70-73。
【3】 周友良，邓升平。数形结合思想在解题中的应用【J】。中学数学月刊，2005（9）：46-47.