高中数学知识点总结_三角函数公式大全.doc

要点重温之三角函数的图象、性质
1．研究一个含三角式的函数的性质时一般先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式。[注意]：函数y=|Asin(ωx+φ)|的周期是函数y=Asin(ωx+φ)周期的一半。
[举例]函数在时有最大值，则的一个值是,
A、 B、 C、 D、
解析：原函数可变为：，它在时有最大值，即=2k+
=（k-1）+，k∈Z，选A。（万不可分别去研究和的最大值）。
[巩固] ①函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是 ；
②函数y=tanx―cotx的周期为 ；③函数y=|+sim|的周期为 。
2．在解决函数y=Asin(ωx+φ)的相关问题时，一般对ωx+φ作“整体化”处理。如：用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，应取ωx+φ=0、、、、2等，而不是取x等于它们；求函数y=Asin(ωx+φ)的取值范围时，应由x的范围确定ωx+φ的范围，再观察三角函数的图象（或单位圆上的三角函数线），注意：只需作出y=sin(把ωx+φ视为一个整体，即)的草图，而无需画y=Asin(ωx+φ)的图象；求函数y=Asin(ωx+φ)（ω>0）的单调区间时，也是视ωx+φ为一个整体，先指出ωx+φ的范围，再求x的范围；研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象对称性时，则分别令ωx+φ=k+和ωx+φ=k（k∈Z）,从而得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线对称，关于点（，0）对称（k∈Z），（正、余弦函数图象的对称轴平行于Y轴且过函数图象的最高点或最低点，而对称中心是图象与“平衡轴”的交点）;对函数y=Acos(ωx+φ)也作完全类似的处理。
[举例1]画出函数在[0，]内的图象并指出其有无对称轴、对称中心。
解析：作函数的图象不是先作函数的图象，再由它伸宿、平移得到，而是直接描点作图。但不是在[0，]内取=0、、、、这五点，而是视为一个角，∈[，]，取=、、、、2、六个点，具体列表如下：

2

0

1
0
-1
0

描点、作图略。不难看出直线、都不是函数的对称轴，点（，0）、（，0）也都不是函数图象的对称中心，因为定义域不关于它们对称，所以无对称轴、对称中心。
[举例2] 已知函数，（1）指出函数的对称轴、对称中心；
（2）指出函数的单调递增区间；（3）函数在上的最大、最小值，并指出取得最大、最小值时的x的值。
解析：-，（1）对称轴：由=+得，；
对称中心：由=得，∴函数图象的对称中心为（，-）。（2）由 ∈[2- ，2+]得∈[，]，，
∴[，]，。（3）将视为一个角，∵
∴∈，画函数的草图，观察∈时函数值的范围为[-1，]，当且仅当=时取得最小值-1，=时取得最大值；即=时原函数最小值-2-，=时原函数最大值1-。
[巩固] [巩固]有以下四个命题：①函数f(x)=sin(－2x)的一个增区间是[，]；②若函数f(x)=sin(x+)为奇函数，则为的整数倍；③对于函数f(x)=tg(2x+)，若f(x1)=f(x2)，则x1－x2必是的整数倍；④函数y=2sin(2x+)的图像关于点（，0）对称。
其中正确的命题是 （填上正确命题的序号）
[迁移] 函数f(x)=2sin2x+sin2x-1 （ >0）
① 若对任意x∈R恒有f(x1)≤f(x)≤f(x2),求|x1-x2|的最小值；
② 若对任意x∈R恒f(x)≤f(1)，试判断f(x+1)的奇偶性；
③ 若f(x)在[0,]上是单调函数,求整数的值；
3．已知函数y=Asin(ωx+φ)+B（A>0，ω>0）的图象求表达式，一般先根据函数的最大值M、最小值m（最高、最低点的纵坐标），确定A、B（A+B=M,-A+B= m）；根据相邻的最大、最小值点间的距离d（最高、最低点的横坐标之差的绝对值）确定ω()，最后用最高（或最低）点的坐标代入表达式确定φ。
[举例] 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的两个相邻最值点为( ,2), (,
－2),则这个函数的解析式为y =____________.
解析：A=2，相邻最值点相距半个周期，即，∴T=πω=2，
则函数解析式为，点( ,2)在函数图象上，∴2=2sin(+φ)
+φ=2+得φ=2+，∴函数的解析式为。
-2
6
4
-4
O
x
y
[巩固] 函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如右，
则函数表达式为：
A．y=－4sin(x+)，B．y=4sin(x－)，
P
O
C．y=－4sin(x－)，D．y=4sin(x+)
[迁移]如图是一个半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面
2米，已知水轮每分钟转动四圈，水轮上的点P相对于水面
的高度y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(x+)+B
（A>0，>0,0<<2),若x=0时，P在最高点，则函数
表达式为：

4. 三角函数图象的平移变换、伸缩变换遵循“图进标退”原理:即图象向上（右）平移m(m>0)个单位，则表达式中的y(x)应变为y-m(x-m);图象横（纵）坐标变为原来的n倍，则表达式中的x(y)应变为 ()。关注“先伸缩后平移”与“先平移后伸缩”的结果是不同的。
[举例] 已知函数
（Ⅰ）函数f（x）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？
（Ⅱ）函数f（x）的图象经过怎样的平移后得到y=cosx.。
解析：由得：，b=1，降次、“合二为一”后得：=sin(2x+),
(Ⅰ)思路一：函数y= f（x）的图象关于（－，0）对称，向右平移个单位后图象关于原点对称即为奇函数（平移的方法不唯一，因为函数y= f（x）的图象对称中心不唯一）；
思路二：若函数f（x）的图象向右平移m个单位得到函数y= sin(2x－2m+),要使其为奇函数，则x=0时函数值为0（奇函数图象关于原点对称），即－2m+=，m=
,,随的取值不同可以得到不同的m的值，回答其中任一个即可。（运算量虽大一些，但更具一般性）。
(Ⅱ) =sin(2x+)=cos(-2x)=cos(2x-)=cos[2(x-)],方案一：先左移(x变成x+)得到函数y= cos2x,再纵坐标不变横坐标变为原来的2倍（x变成）得到函数y=cosx；
方案二：先纵坐标不变横坐标变为原来的2倍（x变成）得到函数y= cos(x-)，再左移(x变成x+)得到函数y=cosx。注：（ⅰ）图象变换的问题要特别注意题目要求由谁变到谁，不要搞错了方向；（ⅱ）变换的源头和结果需化为同名的三角函数且角变量的系数同号（用诱导公式）才能实施；（ⅲ）如果已知变换的结果探究变换的源头，可以“倒行逆施”。
[巩固1]把函数y=cosx-sinx的图象向左平移m个单位（m＞0）所得的图象关于y轴对称，则m 的最小值是
A. B. C. D.
[巩固2] 将函数=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0, |φ|<)的图象向右平移，再横坐标伸长为原来的2倍、纵坐标缩小为原来的一半得到函数y=sinx，则= 。
5．三角形三内角A、B、C成等差数列，当且仅当B=600；在△ABC中：A>B sinA>sinB；sin(B+C)=sinA、cos(B+C)=-cosA、cos=sin、sin=cos；△ABC中cosA+cosB>0,cosB+cosC>0,cosA+cosC>0；在锐角三角形△ABC中sinA>cosB,sinB>cosC,
sinC>cosA等；若A、B是钝角三角形两锐角，则sinA<cosB,sinB<cosA。等等
[举例] 在△ABC中，cos(B+C)+cos(+A)的取值范围是 .
解析：原式==-2sin(A+),∵A∈(0,) A+∈(,)
sin(A+)∈(-,1,即原式的取值范围是： -2，）
[巩固1]在锐角三角形△ABC中，设x=sinAsinB，y=cosAcosB，则x,y的大小关系是：( )
A．x≤y, B．x<y C．x≥y D．x>y
[巩固2] 在中，已知，给出以下四个论断：①，②，③，④，
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

简答
1． [巩固] ①②③4；2．[巩固]①②④， [迁移] f(x)=2sin(2x-)， ①由f(x1)≤f(x)≤f(x2)知：x1、x2分别是函数y=f(x)的最小值、最大值点，最小、最大值点间最近的距离为半个周期，得，②偶，③视2x-为一个角，则∈[-，-]，函数在 [-，-]上单调，则-≤，得0<≤,又为整数，∴=1。3．[巩固] 注意A未必是正数，C， [迁移] y=3sin(x+)+2
4. [巩固1] C, [巩固2] =2 cos(2x-)
5. [巩固1] D，[巩固2]B，