高二数学直线的方程.doc

高二数学:直线的方程以及平行、垂直、到角公式的应用 　　

　　一、教学要求：
　　1、通过本内容的学习，充分理解直线的方程与方程的直线的关系，加深对几何问题坐标化的理解．
　　2、研究直线方程的五种形式及相关公式，注意直线方程的五种形式中除一般形式外，均有不能表示的直线，否则可能丢解．
　　3、理解直线方程的常数参数的几何意义．
　　4、两直线平行垂直的判定与应用
　　5、到角与夹角公式

　　二、重难点分析：
　　(一)直线方程五种形式及限制条件
　　名称
　　方程
　　常数的几何意义
　　不能表示的直线
　　点斜式
　　y-y1=k(x-x1)
　　(x1，y1)为直线上的一定点，k为直线的斜率
　　x=x1
　　斜截式
　　y=kx+b
　　k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距
　　x=x1
　　两点式

　　(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两定点
　　x=x1
　　y=y1
　　截距式

　　a是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距
　　与x轴、y轴垂直的直线和过原点的直线
　　一般式
　　Ax+by+c=0
　　(A2+B2≠0)
　　A、B、C为系数
　　无
　　说明：
　　点斜式处于中枢位置，是最基本的形式，也是推导其它形式的基础。对其它形式要牢记它的适用范围，有哪些不能表示的直线，并且能灵活地互化。
　　一般式是对各种具体形式的概括，因此理论上很重要。

　　(二)方程的推导
　　1.点斜式
　　注意：
　　(1)点斜式是最基本的形式，也是推导其它形式的基础。它的推导是直接法求曲线的方程的典型应用，在推导过程中把握以下几点：[1]直线的定义：过定点且保持运动方向不变的点集。[2]通过斜率公式将结合条件坐标化：[3]由斜率公式的限制条件，导致对x≠xl和x=x1的分类讨论；[4]能合并的尽量合并。
　　(2)通过点斜式的推导，进一步熟悉求曲线方程的方法，加深对曲线的方程的理解，注意体会变形中如何保证等价性。
　　(3)写直线方程时保证[1]x，y∈R；[2]等价变形，结果会不会缩小或扩大曲线，满足曲线的方程定义的两条。
　　(4)在具体求解问题时，点斜式不能表示的直线需单独进行讨论。容易丢解。

　　2. 斜截式
　　若直线L的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线L过点(0，b)，
　　由点斜式方程知，直线L的方程为y-b=kx即y=kx+b.
　　注：截距是数量值，而不是长度值。

　　3. 两点式
　　若直线L过点(x1，y1)、(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2
　　则直线L的斜率为，由点斜式方程知
　　直线L的方程为
　　注意：与其它两种写法的区别：
　　表示的不是整条直线，不包括点(x1，y1)，所以它不符合纯粹性，不是所求曲线的方程：
　　(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)可以表示过这两点的所有直线，而且对已知两点没有限制。

　　4. 截距式
　　若直线L在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，即过点(a,0),(0,b)
　　当a≠0，b≠0时，由两点式方程知，
　　，即为所求的截距式方程：
　　当a=0且b=0时，直线L的方程为y=kx
　　当a，b其中一个为0时，不存在截距，不能表示与x轴、y轴垂直的直线。

　　5. 一般式Ax+By+C=0(A2+b2≠0)
　　第一、在平面直角坐标系中，对于任何一直条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程。如：在平面直角坐标系中，每条直线都有倾角时，有斜率k，直线方程为y=kx+b；当时，x=x1；他们都是关于x、y的二元一次方程。

　　第二、任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。
　　直线方程的一般式：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
　　当B≠0时，其斜率为，在y轴上的截距为
　　当B=0时，由于A、B不同时为零所以A≠0，方程可化为，它表示一条与y轴平行或重合的直线。
　　综上，在直角坐标平面内，任何关于x,y的二元一次方程都表示一条直线。
　　注意：对二元一次方程中限制条件A2+B2≠0的理解。

　　(三)直线的参数方程
　　直线L过P0(x0，y0)，方程向量为
　　设P(x,y)是直线L上的任意一点，则
　　所以有且只有一个实数t，使得，即(x-x0,y-y0)=t(a,b)

　　(四)直线的方向量方程：P55
　　点向式方程：将参数方程消去参数t，得
　　点法式方程，(放到直线的位置关系后讲)
　　过点P(x0,y0)，法向量为
　　则A(x-x0)+B(y-y0)=0

　　二、两条直线的位置关系及到角、夹角公式
　　1. 平行与垂直
　　(1)平行：
　　[1]l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，
　　斜率不存在很容易判断两条直线是否平行；
　　[2]l1：A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0时，

　　(2)垂直：
　　[1]l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，
　　[2]l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C=0时，
　　在具体问题中，可将与Ax+By+C=0平行的直线设为Ax+By+m=0，垂直的直线设为Bx-Ay+m=0

　　2. 到角、夹角的概念与公式：
　　[1]到角：设l1、l2的斜率分别是k1、k2，l1到l2的角θ，则
　　注意：①到角的概念：l1按逆时针方向→l2，第一次重合(最小正角)②θ的范围：0°<θ<180°；
　　[2]l1与l2的夹角θ：规定形成角中不大于90°的角叫两条直线的夹角。①l1与l2相交不垂直时是锐角，0°<θ<90°，l1与l2相交垂直时：θ=90°；所以θ的范围；0°<θ≤90°；
　　夹角公式：
　　[3]使用范围：到角和夹角均不等于90°
　　不适于使用公式的情形，常用数形结合解决。
　　如l1:x=3与l2:y=2x+6的夹角：画图：

　　三、典型例题：
　　例1、已知直线y=kx+k+1与y=x在第一象限内有交点，求k的取值范围。
　　法一：

　　法二：y=k(x+1)+1，过定点(-1,1)，kAO=-1
　　如图，因为直线y=kx+k+1与y=x在第一象限内有交点，∴-1<k<1

　　例2. 求满足下列条件的直线方程
　　(1)L过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等；
　　解：当直线L过AB的中点C(1,1)，∴L的方程为y=1
　　当直线L∥AB，则设直线L的方程为y-1=k(x+2)
　　因

　　(2)L被两直线L1：4x+y+6=0，L2:3x-5y-6=0截得的线段中点恰为坐标原点。
　　法一：设L的方程为y=kx，且L与L2交于点(a,b)，与L1交于点(-a，-b)

　　所以直线L的方程为
　　法二：设L的方程为y=kx，且L与L1交于点A，与L2交于点B，则
　　由
　　由题意知
　　所以L的方程为
　　[发展]法一中满足方程
　　为什么？

　　例3. 直线L过点P(2,1)，与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，求使
　　(1)△ABC面积最小时L的方程；
　　法一：设直线L的方程为y-1=k(x-2)，则

　　当且仅当时，Smin=4，此时直线方程为

　　法二：设直线L的方程为
　　∴ab≥8，当且仅当即
　　时等号成立

　　所以当面积最小时直线的方程为x+2y=4

　　法三：(平面几何)

　　当点P恰为直线L与x，y轴交点的中点时，面积最小，因为如图，P为MN中点，过N作NE∥AM，则△NPE≌△PAM，所以S△BOA>S△MAN。

　　(2)|OA|+|OB|取最小值时L的方程；
　　解：设直线L的方程为y-1=k(x-2)，则

　　当且仅当
　　此时直线的方程为

　　(3)|PA|·|PB|取最小值时L的方程。
　　解：设直线L的方程为y-1=k(x-2)，则

　　当且仅当即k=-1时(|PA|·|PB|)min=4，此时直线方程为y=-x+3

　　例4. 设直线L的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-2m+6=0，试根据下列条件，分别求出m的值；
　　(1)L在x轴上的截距为-3；(2)L的斜率为1。
　　解：(1)
　　(2)

　　例5. 已知点A(-2,3)和直线l1:x-y+3=0，分别求过点A且满足下列条件的直线l的方程：
　　(1)l与l1的夹角为45°；(2)l1与l的角为15°。
　　解：(1)法一：设直线l的方程为y-3=k(x+2)，或x=-2
　　由夹角公式知
　　因x=-2符合题意，所以直线l的方程为y=3或x=-2
　　法二：数形结合
　　(2)设直线l的方程为y-3=k(x+2)，
　　由到角公式
　　所以所求直线的方程为
　　注：特殊情况要单独解决；数形结合。

　　例6. 等腰三角形一腰所在直线l1的方程为x-2y-2=0，底边所在直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2,0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程。
　　提示：

　　例7.(1)求点P(4,0)关于直线x+y+1=0的对称点P'；
　　法1：设P'(x',y')，则直线x+y+1=0是线段PP'的中垂线，

　　法2：由题意，直线PP'的斜率为1，所以其方程为y=x-4
　　由，所以P'(-1，-5)
　　法3：设P'(x'，y')，由题意，直线x+y＋1=0的方向向量为
　　则
　　又
　　[评]上面的两种方法中列方程组的本质是垂直、平分。
　　记忆下列结果可以用于选择、填空题
　　点A(x,y)关于直线x+y+c=0的对称点的坐标是(-y-c,-x-c);
　　点A(x,y)关于直线x-y+c=0的对称点的坐标是(y-c,x+c);
　　曲线f(x,y)=0关于直线x+y+c=0的对称曲线是f(-y-c,-x-c)=0
　　曲线f(x,y)=0关于直线x-y=c=0的对称曲线是f(y-c,x+c)=0；

　　(2)求直线l1:3x-5y-2=0关于直线l：y=x+1对称的直线的方程；
　　法1：(可求出l与l1的交点，再分别在l1，l2上各找出一点，使它们关于l对称)
　　由∴直线l与l1的交点为
　　在l1上找一点M(-1，-1)，设N(x,y)为M关于直线l的对称点，

　　因直线l2过P、N两点，所以直线l2的方程为5x-3y+10=0

　　法2：设P(x1，y1)是直线l1:3x-5y-2=0上的任一点，P关于直线y=x+1的对称点为Q(x,y)

　　∴3(y-1)-5(x＋1)-2=0
　　所以所求直线的方程为5x-3y+10=0

　　法3：(由对称性，l1到l的角等于l到l2的角)
　　由法1知直线l与l1的交点为，设l2的斜率为k,则
　　，
　　所以

　　法4：利用上面(1)的结论直接求，但只能用于选择填空。
　　[评]解法1与解法3利用了直线的特殊性质，而解法2是求轴对称曲线的一般方法，利用了求动点的轨迹的方法。

　　课后练习：
　　1. 光线经过点，在直线l:x+y+1=0上反射，反射光线经过点B(1,1)，求入射光线所在直线的方程及反射点坐标；
　　2. 已知△ABC中，∠A的平分线方程为2x+y-1=0，B(1,2)C(-1,-1)，求点A的坐标。
　　3. 已知△ABC中，一个顶点为A(4，-1)，两条内角平分线所在直线分别为x=1,x-y-1=0，求直线BC的方程。
　　4. 求直线y=-4x+1关于点M(2,3)对称的直线的方程；

　　参考答案：
　　1. 2. 3. y=2x+3 4. y=-4x+21