高三数学三角函数复习_教案.doc

三角函数模块专题复习
——任意角的三角函数及诱导公式 陈云峰
一．课标要求：
1．任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；
2．三角函数
（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；
（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（±α, π±α的正弦、余弦、正切）。
二．要点精讲
1．任意角的概念
旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。
规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、象限角、轴线角
3．弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分.
角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径。
角度制与弧度制的换算主要抓住。
弧度与角度互换公式：1rad＝° 1°＝（rad）。
弧长公式：（是圆心角的弧度数），
扇形面积公式：。
【注意】：
①无论用“弧度”还是“角度”作单位，角的大小是一个与半径的大小无关的定值；②在解题过程中“弧度”与“角度”不能混用，如或都不规范。
a的终边
P(x,y))
O
x
y
4．三角函数定义
利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
（1）叫做的正弦,记做,即；
（2）叫做的余弦,记做,即；
（3）叫做的正切,记做,即。
【注意】：三角函数值的符号满足：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的规律。
5．三角函数线：正弦线、余弦线、正切线。
【注意】：
①正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负；
②余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负。
③当角终边在x轴上时，正切线变成一个点，当角终边在y轴上时，正切线不存在。
6．同角三角函数关系式
（1）平方关系：
（2）倒数关系：tancot=1,
（3）商数关系：
【注意】：
①“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立。
②同角三角函数的基本关系式必须在定义域允许的范围内成立。
7．诱导公式
总口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”。其中“奇、偶”是指中的k的奇偶性；“符号”是把任意角当成锐角时，原函数值的符号。
【注意】：
①应用诱导公式，重点是“函数名称”和“正负号”的正确判断。
②用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤：负化正、大化小、小化锐、锐求值。
③在运用诱导公式时，要仔细体会其中的数学思想—化归思想，并在学习过程中能自觉地运用。
④诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角有关问题（化简、求值、证明）中常使用。
三．典例解析
『题型』1：象限角
例1．已知角；
（1）在区间内找出所有与角有相同终边的角；
（2）集合，那么两集合的关系是什么？
解析：（1）所有与角有相同终边的角可表示为：，
则令 ， 得
解得 从而或
代回或
（2）因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：。
【点评】：
①从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；
②可对整数的奇、偶数情况展开讨论。
例2．若sinθcosθ＞0，则θ在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
例3．已知“是第三象限角，则是第几象限角?
解法一：因为是第三象限角，所以，
∴，
∴当k=3m（m∈Z）时，为第一象限角；
当k= 3m＋1（m∈Z）时，为第三象限角，
当k= 3m＋2（m∈Z）时，为第四象限角，
故为第一、三、四象限角。
解法二：用画象限图（几何法）
把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n∈N*)的终边所在的区域。
【点评】：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法。
『题型』2：三角函数定义
例4．已知角的终边过点，求的四个三角函数值。

例5．已知角的终边上一点，且，求的值。

『题型』3：诱导公式
例6．( )
　（Ａ）　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）
解：∵
故选D；
【点评】：①此题重点考察各三角函数的关系；
②熟悉三角公式，化切为弦；
③以及注意
例7．化简：
(1)；

（2）。
解析：①当时，原式。
②当时，原式。
【点评】：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。
『题型』4：同角三角函数的基本关系式
例8．证明：；
分析：证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证，只要证A·D=B·C,从而将分式化为整式
证明：左边=
=
=
=
=
=右边
【点评】：①在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。
②同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系。
四、课堂练习：
1、在中，若，则　　 　．
2、cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 .
3. 锐角△中，≥，且，则的最大值为 ．
4. 设则的值等于__ .
5. 在△ABC中，BC=1，，当△ABC的面积等于时，__ .
6. 若△的三个内角的正弦值分别等于△的三个内角的余弦值，则△的三个内角从大到小依次可以为　 　（写出满足题设的一组解）．
，另两角不惟一，但其和为
7. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，给出下列结论：
①若A＞B＞C，则；
②若；
③必存在A、B、C，使成立；
④若，则△ABC必有两解.
其中，真命题的编号为 .（写出所有真命题的编号）①④
8、 求证：。

五．思维总结
1．几种终边在特殊位置时对应角的集合为：
角的终边所在位置
角的集合
X轴正半轴

Y轴正半轴

X轴负半轴

Y轴负半轴

X轴

Y轴

坐标轴

2．α、、2α之间的关系。
若α终边在第一象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。
若α终边在第二象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。
若α终边在第三象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。
若α终边在第四象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。
3．学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。
三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,。
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