初中数学规律探索三.doc

初中数学规律探索三
33、比较下面两列算式结果的大小：（在横线上选填“>”、“<”、“=”）

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通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明。（2000安徽）
34、（1）如表，方程1，方程2，方程3，……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处；　
序号
方程
方程的解
1

______
2

3

┆
┆
┆
┆
（2）若方程的解是，，求a、b的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？　　
（3）请写出这列方程中的第n 个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程。（2000山东）

5、探索
⑴如表，方程1，方程2，方程3，…是按照一定规律安排的一列方程，解方程3，并将它填在表中的空白处；
序号
方程
方程的解
1

2

3

…
…
…
…
⑵是不是⑴中所给一列方程中的一个方程的两个根？
⑶请写出这列方程中第k个方程
⑷用你探究的规律，解答下列两个方程。，

17、将正偶数按下表排成五列:
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
…… …… 28 26
根据上面排列规律,则2000应在( ) （01荆州）
A. 第125行第1列 B.第125行第2列 C.第250行第1列 D.第250行第2列
a
b
c
d

54、如图是2004年5月份的日历，现用一个矩形在日历中任意框出4个日期，利用等式表示a、b、c、d之间的关系为 。
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31

35、某下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x与售价y的关系如下表：
数量x（千克）
1
2
3
4
5
售价y（元）
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
　　写出用x表示y的公式是_____________________。（2000海南）
36、观察下列各式(x-1)(x+1)=x2-1，(x-1)(x2+x+1)=x3-1,(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1，根据前面各式的规律可得(x-1)(xn+xn-1+...+x+1)=______。（2001武汉）
15．有一种数字游戏，可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步，任意写出一个自然数（以下称为原数）；第二步，再写一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶位数字的个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数，按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止。
不管你开始写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的。最后这个相同的数就叫它为“黑洞数”。请你以2004为例尝试一下（可自选另一个自然数作检验，不必写出检验过程）：
2004，一步之后变为 ，再变为 ，再变为 ，…，“黑洞数”是 。（04嘉兴）
20．自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R，它会掉入一个数字“陷井”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”．那么最终掉入“陷井”的这个固定不变的数R＝____．（04北碚区）

38、探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝ ，我们称它为数字“黑洞”．
T为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！（03青岛）

21．如图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：则第n个图形中需用黑色瓷砖__________块．（用含n的代数式表示）（04北碚区）

39、九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是这样的：“解方程”．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么＝，于是原方程可变为……①，解这个方程得：y1＝1，y2＝5．当y＝1时，＝1，∴ x＝；当 y＝5时，＝5，∴ x＝。所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝，x4＝－。
⑴ 在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
⑵ 解方程时，若设y＝，则原方程可化为 ．（03青岛）

40、古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 。（03丹州）

41、 清朝康熙皇帝是我国历史上一位对数学很有兴趣的帝王。近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：
“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数。”
用现在的数学语言表述是：
“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则
第一步： ；
第二步： ；
第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长。”
（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程。（03西城）

17. （05海南）用火柴棒按如图7所示的方式摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第4个图形需要 根火柴棒，第n个图形需要 根火柴棒（用含n的代数式表示）.
……
(1)
(2)
(3)
图7

42、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如图所示）．

按照这种规定填写下表的空格：

43、今年5月，我市某社区居民得知“法轮动”练习者关淑云为求“圆满”，竞当众掐死自己9岁亲生女儿戴楠的消息后，自发地聚集在一起签名声讨“法轮功”。他们在广场上摆放了一些长桌子用于签名，每张长桌单独摆放时，可容纳6人同时签名（如图1，每个小半圆代表1个签名位置），并排摆放两张长桌时可容纳10人时签名（如图2）若按这种方式摆放10张长桌（如图3），可同时容纳的签名人数是( )（02宜昌）

(A) 42 (B) 84 　　　(C)　60　　　(D)82
19、（05泰州06鄂尔多斯）如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴 根.
1条
2条
3条

……

43、下表是某月的月历（1）阴影方框中的9个数之和与方框正中间的数、有什么关系？（2）这个关系对其他方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？（3）这个关系对任何一个月的月历都成立吗？为什么？

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

44、观察下列各式填空：
1=12， 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 1+3+5+7+9=52……
（1） 1+3+5+……+99 =___________
（2） 若1+3+……+n=100, 则n=___________。
（3） 1+3+5+7+9+……+（2n+1）= 。（其中n为自然数）

11．观察下列等式：
　　9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，…，这些等式反映出自然数间的某种规律．设n表示自然数，用关于n的等式表示出来：________________．（01河南）

10、设，则乘积的结果中，最多有 项。
12、已知：两个正整数的和与积相等，求这两个正整数。
解：不妨设这两个正整数为a、b，且a≤b。
由题意，得ab=a+b，……………………………………（*）
则ab=a+b≤b+b=2b，所以a≤2。
因为a为正整数，所以a=1或2。
①当a=1时，代入等式（*），得 ，b不存在；
②当a=2时，代入等式（*），得 ，b=2。
所以这两个正整数为2和2。
仔细阅读以上材料，根据阅读材料的启示，思考是否存在三个正整数，它们的和与积相等？
试说明你的理由。