二项式定理(通项公式)-二项定理通项公式.doc

二项式定理
二项式知识回顾
1. 二项式定理
,
以上展开式共n+1项，其中叫做二项式系数,叫做二项展开式的通项。
(请同学完成下列二项展开式）
,
①

②
① 式中分别令x=1和x=—1，则可以得到 ，即二项式系数和等于；
偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和,即
② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和。
2. 二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即.
（2）二项式系数增减性与最大值:
当时,二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.
当n是偶数时，中间一项取得最大值。当n是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值。
3。二项展开式的系数a0,a1，a2，a3，…，an 的性质：f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3……+anxn
⑴ a0+a1+a2+a3……+an=f(1)
⑵ a0—a1+a2-a3……+（-1)nan=f（-1）
⑶ a0+a2+a4+a6……=
⑷ a1+a3+a5+a7……=

经典例题
1、“展开式：
例1．求的展开式；

【练习1】求的展开式

2.求展开式中的项
例2.已知在的展开式中，第6项为常数项.
（1） 求n； （2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.

【练习2】若展开式中前三项系数成等差数列。求：
（1）展开式中含的一次幂的项;（2）展开式中所有的有理项.

3.二项展开式中的系数
例3.已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992,求的展开式中:(1)二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项

［练习3]已知的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1。
（1）求展开式中含的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。

4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例4．的展开式中，项的系数是 ；

5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例5（04安徽改编）的展开式中，常数项是 ;

6、求中间项
例6求（的展开式的中间项；

例7 的展开式中有理项共有 项；

8、求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例8（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ;

（2） 一般的系数最大或最小问题
例9求展开式中系数最大的项；

（3） 系数绝对值最大的项
例10在(的展开式中，系数绝对值最大项是 ;

9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数,二项式系数和
例11．若， 则的值为 ；

【练习1】若，
则 ;

【练习2】设， 则 ;

【练习3】展开式中的系数是 ;

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