奥数数的整除讲义及答案.doc

数的整除（1）性质、特征、奇偶性
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【知识要点】：
整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。
（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。
（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。
（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。
（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。
（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。
（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。
奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）…
【典型例题】
例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？
解：在两位数中，是17的倍数的数中最大的为17×5=85（17×6=102）.于是所求数的前两位数字为85.因为8+5=13，故所求数的个位数字为2、5、8时，该数能被3整除，为使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数是858.
例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？
解：1～200中，能被6整除的数共有33个（200÷6=33…），能被8整除的数共有25个（200÷8=25）.但［6，8］=24，200÷24=8……8，即1～200中，有8个数既被6整除，又被8整除。故总共有：33+25－8=50。
例3：任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？
解：任意取出的1998个连续自然数，其中奇数、偶数各占一半，即999个奇数和999个偶数。999个奇数的和是奇数，999个偶数的和是偶数，奇数加上偶数和为奇数，所以它们的和是奇数。
例4：有“1”，“2”，“3”，“4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？
解：组成的三位数个位数字只能是2或4两种情况，若个位数字是2，百位、十位数字可从余下的数字中取，这样可组成3×2=6（个）三位偶数；若个位数字是4，同样也可以组成6个三位偶数。这样总共12个。
【精英班】
解：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7

因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除，所以等号右边第二个数也能被7整除，推知55□99能被7整除。根据能被7整除的数的特征，□99-55=□44也应能被7整除。由□44能被7整除，易知□内应是6。
【竞赛班】例6：某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是：答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？
解：对于每个学生来说，20道题都答对，共得5×20=100分（偶数）。若该学生答错一题，应从100分中扣（5+1=6）分，无论他答错多少道题，扣分的总数应是6的倍数，即扣分的总数也是偶数，100分中扣除偶数分仍得偶数分；同样若他不答一题，应从100分中扣除（5－1=4）分，无论他不答多少道题，扣分的总数应是4的倍数，即扣分的总数也是偶数，所以100分中减去偶数仍得偶数，每个学生得分数是偶数，那么无论有多少人参加数学竞赛，学生得分的总数和一定是偶数。

【课后分层练习】
A组：入门级
1、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
解：因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。
2、abcabc能否被7、11和13整除?

3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
解：因为1375=5×5×5×11=125×11，根据能被125整除数的特征，这个数的末三位能被125整除，可知道F=2，又因为这个数是11的倍数，所以7+3+2－（E+6+5）＝1－E是11的倍数，那么E=1.所以这个六位数是713625.
4、已知10□8971能被13整除，求□中的数。
解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。
上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。
5、有8个学生都面向南站成一排，每次只有7个学生向后转，最少要做多少次才能使8个学生都面向北？
解：对于每个人只要向后转奇数次，就能面向北。由于每一轮恰有7个学生向后转，8个学生向后转的次数总和为7×8=56（次）。因此最少要做56÷7=8（次）才能使8个学生都面向北。
B组：进阶级
1、有一个四位数3AA1，它能被9整除，那么数A代表多少？
解：3+A+A+1=4+2A，根据能被9整除数的特征，4+2A是9的倍数。因为4+2A是偶数，所以4+2A=18，A=7.
2、一个一百位数由1个1，2个2，3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，及72个0组成，问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？
解：任何一个自然数的平方除以3都余1或0.而这个一百位数的数字和是140，140除以3余2，所以这个一百位数不可能是完全平方数。
3、某市举办小学生数学竞赛，共30道题，评分标准是：基础分15分，答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果199人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？
解：仿照例6：这199位同学的得分总分是奇数。
4、已知10□8971能被13整除，求□中的数。
解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。
上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。
C组：挑战级
1、能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之和都能被3整除，推知1～10的和也应能被3整除。实际上，1～10的和等于55，不能被3整除。这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。
2、对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为什么？解：因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为1+2+…+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是4矛盾。所以不可能变成右上表。
3、左下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？

解：如右上图所示，将相邻的房间黑、白相间染色。无论从哪个房间开始走，因为总是黑白相间地走过各房间，所以走过的黑、白房间数最多相差1。而右上图有7黑5白，所以不可能不重复地走遍每一个房间。
【温馨提示】下节课我们将学习《数的整除（2）质数、合数、分解质因数》，请作好预习。