2012年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）.doc

2012年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）4的算术平方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【微点】算术平方根．
【思路】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解析】解：∵2的平方为4，
∴4的算术平方根为2．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2．（3分）点M（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
【微点】关于原点对称的点的坐标．
【思路】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解析】解：点M（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，2）．
故选：C．
【点拨】本题考查了关于原点的对称点的坐标的特点，熟记“关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数”是解题的关键．
3．（3分）下列事件中，是随机事件的是（　　）
A．度量四边形的内角和为180°
B．通常加热到100℃，水沸腾
C．袋中有2个黄球，3个绿球，共五个球，随机摸出一个球是红球
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
【微点】随机事件．
【思路】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，利用定义即可判断．
【解析】解：A、四边形的内角和为360°，所以这是不可能事件，故A错误；
B、是必然事件，故B错误；
C、是不可能事件，故C错误；
D、是随机事件，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【微点】轴对称图形；中心对称图形．
【思路】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（3分）绵阳市统计局发布2012年一季度全市完成GDP共317亿元，居全省第二位，将这一数据用科学记数法表示为（　　）
A．31.7×109元 B．3.17×1010元
C．3.17×1011元 D．31.7×1010元
【微点】科学记数法—表示较大的数．
【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于317亿有11位，所以可以确定n＝11﹣1＝10．
【解析】解：317亿＝31 700 000 000＝3.17×1010．
故选：B．
【点拨】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
6．（3分）把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　）

A． B． C． D．
【微点】平行投影．
【思路】根据正投影的性质：当投射线由正前方射到后方时，其正投影应是矩形．
【解析】解：根据投影的性质可得，该物体为五棱柱，则正投影应为矩形．
故选：B．
【点拨】本题考查正投影的定义及正投影形状的确定，解题时要有一定的空间想象能力．
7．（3分）如图，将等腰直角三角形虚线剪去顶角后，∠1+∠2＝（　　）

A．225° B．235°
C．270° D．与虚线的位置有关
【微点】等腰直角三角形；多边形内角与外角．
【思路】先根据等腰直角三角形的性质求出两底角的度数，再根据四边形内角和定理解答即可．
【解析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A+∠B＝90°，
∵四边形的内角和是360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
故选：C．

【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质及四边形内角和定理，熟知任意四边形的内角和是360°是解答此题的关键．
8．（3分）已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是（　　）
A．ac＞bc B． C．c﹣a＞c﹣b D．c+a＞c+b
【微点】不等式的性质．
【思路】根据不等式的基本性质进行判断即可．
【解析】解：A、当c＜0时，不等式a＞b的两边同时乘以负数c，则不等号的方向发生改变，即ac＜bc．故本选项错误；
B、当c＜0时，不等式a＞b的两边同时除以负数c，则不等号的方向发生改变，即．故本选项错误；
C、在不等式a＞b的两边同时乘以负数﹣1，则不等号的方向发生改变，即﹣a＜﹣b；然后再在不等式的两边同时加上c，不等号的方向不变，即c﹣a＜c﹣b．故本选项错误；
D、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍然成立，即a+c＞b+c；故本选项正确；
故选：D．
【点拨】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．（3分）图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．2mn B．（m+n）2 C．（m﹣n）2 D．m2﹣n2
【微点】完全平方公式的几何背景．
【思路】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．
【解析】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），
故正方形的面积为（m+n）2，
又∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积＝（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2．
故选：C．
【点拨】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．
10．（3分）在同一直角坐标系中，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y的图象没有交点，则实数k的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
【微点】在数轴上表示不等式的解集；反比例函数与一次函数的交点问题．
【思路】由于正比例函数y＝2x的图象过一、三象限，若反比例函数与正比例函数y＝2x没有交点，则反比例函数图象位于二、四象限，故4﹣2k＜0，据此即可求出k的取值范围．
【解析】解：∵正比例函数y＝2x过一、三象限，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y的图象没有交点，
∴反比例函数图象位于二、四象限，
∴4﹣2k＜0，
∴k＞2，
在数轴上表示为，
故选：C．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、在数轴上表示不等式的解集，熟悉二次函数与一次函数的性质是解题的关键．
11．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，tanA，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，则sin∠ABD＝（　　）

A． B． C． D．
【微点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
【思路】作DE⊥AB于点E，根据相等的角的三角函数值相等即可得到，设CD＝1，则可以求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得DE、AE的长，则BE可以求得，根据同角三角函数之间的关系即可求解．
【解析】解：作DE⊥AB于点E．
∵∠CBD＝∠A，
∴tanA＝tan∠CBD，
设CD＝1，则BC＝2，AC＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝3，
在直角△ABC中，AB2，
在直角△ADE中，设DE＝x，则AE＝2x，
∵AE2+DE2＝AD2，
∴x2+（2x）2＝9，
解得：x，
则DE，AE．
∴BE＝AB﹣AE＝2，
∴tan∠DBA，
∴sin∠DBA．
故选：A．

【点拨】本题考查了三角函数的定义，以及勾股定理，正确理解三角函数就是直角三角形中边的比值是关键．
12．（3分）如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A：P′C＝1：3，则P′A：PB＝（　　）

A．1： B．1：2 C．：2 D．1：
【微点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质．
【思路】连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP＝∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，代入整理即可得解．
【解析】解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，
∴∠ABP＝∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP＝P′C，
∵P′A：P′C＝1：3，
∴AP＝3P′A，
连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，PP′PB，
∵∠AP′B＝135°，
∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A＝x，则AP＝3x，
根据勾股定理，PP′2x，
∴PP′PB＝2x，
解得PB＝2x，
∴P′A：PB＝x：2x＝1：2．
故选：B．

【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P′A、P′C以及P′B长度的倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
13．（4分）比﹣1℃低2℃的温度是　﹣3　℃．（用数字填写）
【微点】有理数的减法．
【思路】用﹣1减去2，然后根据减去一个是等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解析】解：﹣1﹣2＝﹣1+（﹣2）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点拨】本题考查了有理数的减法运算，是基础题，熟记减去一个是等于加上这个数的相反数是解题的关键．
14．（4分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝　35　度．

【微点】角平分线的定义；平行线的性质．
【思路】首先过点E作EM∥AB，由AB∥CD，可得EM∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEC的度数，又由对顶角相等，求得∠BED的度数，由EF是∠BED的平分线，即可求得答案．
【解析】解：过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∵∠1＝30°，∠2＝40°，
∴∠3＝∠1＝30°，∠4＝∠2＝40°，
∴∠BED＝∠AEC＝∠3+∠4＝70°，
∵EF是∠BED的平分线，
∴∠BEF∠BED70°＝35°．
故答案为：35．

【点拨】此题考查了平行线的性质与角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15．（4分）如图，BC＝EC，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为　AC＝CD　．（答案不唯一，只需填一个）．

【微点】全等三角形的判定．
【思路】根据∠1＝∠2，求出∠BCA＝∠ECD，根据SAS证明两三角形全等即可．
【解析】解：添加的条件是AC＝CD，
理由是：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ECA＝∠2+∠ECA，
∴∠BCA＝∠ECD，
∵在△ABC和△DCE中
，
∴△ABC≌△DCE，
故答案为：AC＝CD．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的发散思维能力，本题题型较好，是一道具有开放性的题目，答案不唯一．
16．（4分）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为　1.7　（结果保留两位有效数字，参考数据π≈3.14）

【微点】正方形的性质．
【思路】根据四个半圆的面积正好是正方形的面积但空白部分被重叠算了两次，所以空白部分的面积等于四个半圆的面积减去正方形的面积求出空白部分的面积，再利用阴影部分的面积等于正方形的面积减去空白部分的面积计算即可得解．
【解析】解：根据图形，空白部分的面积π（）2×4﹣2×2＝2π﹣4，
阴影部分的面积＝2×2﹣（2π﹣4），
＝4﹣2π+4，
＝8﹣2π，
≈8﹣2×3.14，
＝8﹣6.28，
＝1.72，
≈1.7．
故答案为：1.7．
【点拨】本题考查了正方形的性质，观察图形，得出四个半圆的面积减去正方形的面积等于空白部分的面积，然后列式求出空白部分的面积是解题的关键．
17．（4分）一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就变成了一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的面积为　　cm2．
【微点】整式的混合运算；一元一次方程的应用．
【思路】先设正方形的边长是xcm，根据题意可得（x+5）（x﹣2）＝x2，解得x，进而可求面积．
【解析】解：正方形的边长是xcm，则
（x+5）（x﹣2）＝x2，
解得x，
∴S＝x2．
故答案为：．
【点拨】本题考查了整式的混合运算、解一元一次方程，解题的关键是求出x．
18．（4分）如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有　6　个．
【微点】一元一次不等式组的整数解．
【思路】首先解不等式组，不等式组的解集即可利用a，b表示，根据不等式组的整数解仅为1，2即可确定a，b的范围，即可确定a，b的整数解，即可求解．
【解析】解：，
由①得：x，
由②得：x，
不等式组的解集为：x，
∵整数解仅有1，2，
，
∴01，23，
解得：0＜a≤3，4≤b＜6，
∴a＝1，2，3，
b＝4，5，
∴整数a，b组成的有序数对（a，b）共有（1，4），（2，4），（3，4），（1，5），（2，5），（3，5）即6个，
故答案为：6．
【点拨】此题主要考查了不等式组的整数解，根据不等式组整数解的值确定a，b的取值范围是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．（16分）（1）计算：（π﹣2）0﹣||×（）；
（2）化简：（1）÷（2x）
【微点】分式的混合运算；零指数幂；二次根式的混合运算．
【思路】（1）首先计算0次方，以及开方运算，去掉绝对值符号，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）首先计算括号内的分式，然后进行除法运算即可．
【解析】解：（1）原式＝1﹣|﹣2|×（）
＝1﹣（2）×（）
＝11
；
（2）原式

．
【点拨】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
20．（12分）课外阅读是提高学生素养的重要途径，亚光初中为了了解学校学生的阅读情况，组织调查组对全校三个年级共1500名学生进行了抽样调查，抽取的样本容量为300．已知该校有初一学生600名，初二学生500名，初三学生400名．
（1）为使调查的结果更加准确地反映全校的总体情况，应分别在初一年级随机抽取　120　人；在初二年级随机抽取　100　人；在初三年级随机抽取　80　人．（请直接填空）
（2）调查组对本校学生课外阅读量的统计结果分别用扇形统计图和频数分布直方图表示如下请根据上统计图，计算样本中各类阅读量的人数，并补全频数分布直方图．
（3）根据（2）的调查结果，从该校中随机抽取一名学生，他最大可能的阅读量是多少本？为什么？

【微点】频数（率）分布直方图；扇形统计图．
【思路】（1）根据该校有初一学生600名，初二学生500名，初三学生400名，抽取的样本容量为300，分别求出各年级所占比例，即可得出答案；
（2）求出其他占调查总数的百分比，进而得出各段人数画出条形图即可．
（3）根据扇形图可知10本以上所占比例最大，即可得出从该校中随机抽取一名学生，他最大可能的阅读量是10本以上．
【解析】解：（1）∵该校有初一学生600名，初二学生500名，初三学生400名，抽取的样本容量为300，
∴应分别在初一年级随机抽取300120人；在初二年级随机抽取300100人；在初三年级随机抽取30080人．
故答案为：120，100，80；

（2）根据扇形图得出：6～10本的有30060（人），300×（1﹣6%﹣22%100%）＝156（人），
0本的有300×6%＝18（人），1～5本的有300×22%＝66（人），
补全频数分布直方图，如图所示：

（3）根据扇形图可知10本以上所占比例最大，故从该校中随机抽取一名学生，他最大可能的阅读量是10本以上．
【点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（12分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°．
（1）求∠APB的大小；
（2）若PO＝20cm，求△AOB的面积．

【微点】圆周角定理；切线的性质．
【思路】（1）由PA、PB分别切⊙O于A、B，由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；
（2）由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长，继而求得答案．
【解析】解：（1）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120°，
∴∠APB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝60°；

（2）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO∠APB60°＝30°，PA＝PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∵OA＝OB，
∴O在AB的垂直平分线上，
即OP是AB的垂直平分线，
即OD⊥AB，AD＝BDAB，
∵∠PAO＝90°，
∴∠AOP＝60°，
在Rt△PAO中，AOPO20＝10（cm），
在Rt△AOD中，AD＝AO•sin60°＝105（cm），OD＝OA•cos60°＝105（cm），
∴AB＝2AD＝10cm，
∴△AOB的面积为：AB•OD105＝25（cm2）．
【点拨】此题考查了切线的性质、切线长定理、三角函数以及线段垂直平分线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（12分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
【微点】一元二次方程的解；根的判别式；勾股定理．
【思路】（1）根据关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的根的判别式的符号来证明结论；
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．
【解析】（1）证明：∵△＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，
解得，m＝2，
则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；
该直角三角形的周长为1+34；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+24+2．
【点拨】本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．
23．（12分）某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择．
方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；
方案二：购买3千克以内（含3千克）的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的种子价格打7折．
（1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x（千克）和付款金额y（元）之间的函数关系式；
（2）若你去购买一定量的种子，你会怎样选择方案？说明理由．
【微点】一次函数的应用．
【思路】（1）根据付款金额＝数量×单价，即可表示出方案一与方案二中，当x≤3时的函数关系式；当x≥3时，金额＝3千克内的金额+超过3千克部分的金额，即可写出函数解析式；
（2）当x≤3时，选择方案一；
当x＞3时，比较4x与3×5+5×0.7×（x﹣3）的大小关系，即可确定x的范围，从而进行判断．
【解析】解：（1）方案一的函数是：y1＝4x，
方案二的函数是：y；

（2）当x≤3时，选择方案一；
当x＞3时，
4x＞3×5+5×0.7×（x﹣3），
解得：x＞9，
4x＝15+3×5+5×0.7×（x﹣3），
解得：x＝9；
当4x＜3×5+5×0.7×（x﹣3），
解得：0＜x＜9．
故当0＜x＜9时，选择方案一；
当x＝9时，选择两种方案都可以；
当x＞9时，选择方案二．
【点拨】此题是一道实际问题，在购物时经常遇到．虽然有许多购物方案，但是需要选择最省钱的一种，这也体现了数学中的最优化思想．
24．（12分）如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE＝CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；
（3）若GO：CF＝4：5，试确定E点的位置．

【微点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【思路】（1）由DE＝CF及正方形的性质，得出AE＝DF，AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，证明△ABE≌△DAF，得出∠ABE＝∠DAF，而∠ABE+∠AEB＝90°，利用互余关系得出∠AOE＝90°即可；
（2）由（1）的结论可证△ABO≌△DAG，得BO＝AG＝AO+OG；
（3）过E点作EH⊥DG，垂足为H，则EH＝OG，由DE＝CF，GO：CF＝4：5，得EH：ED＝4：5，而AF⊥BE，AF⊥DG，则OE∥DG，∠AEB＝∠EDH，△ABE∽△HED，利用相似比得出AB：BE，由勾股定理得出AE：AB，从而得出AE：AD．
【解析】（1）证明：∵ABCD为正方形，且DE＝CF，
∴AE＝DF，AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△DAF，
∵，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DAF+∠AEB＝90°，
∴∠AOE＝90°，即AF⊥BE；

（2）解：BO＝AO+OG．
理由：由（1）的结论可知，
∠ABE＝∠DAF，∠AOB＝∠DGA＝90°，AB＝AD，
在△ABO和△DAG中，
∵，
则△ABO≌△DAG，
所以，BO＝AG＝AO+OG；

（3）解：过E点作EH⊥DG，垂足为H，
由矩形的性质，得EH＝OG，
∵DE＝CF，GO：CF＝4：5，∴EH：ED＝4：5，
∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，
∴∠AEB＝∠EDH，△ABE∽△HED，
∴AB：BE＝EH：ED＝4：5，
在Rt△ABE中，AE：AB＝3：4，
故AE：AD＝3：4，
即AEAD．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明全等三角形，相似三角形，利用线段，角的关系解题．
25．（14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y＝ax2x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM＝BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N．
①若直线l⊥BD，如图1，试求的值；
②若l为满足条件的任意直线．如图2．①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例．

【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）首先求出D点的坐标，可得AD＝BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形．
①推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出；
②判定△PAD∽△DCQ，得到AP•CQ＝25，利用这个关系式对进行分式的化简求值，结论为不变．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝ax2x+c的图象经过点B（﹣3，0），M（0，﹣1），
∴，
解得a，c＝﹣1．
∴二次函数的解析式为：yx2x﹣1．

（2）由二次函数的解析式为：yx2x﹣1，
令y＝0，得x2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝2，∴C（2，0），∴BC＝5；
令x＝0，得y＝﹣1，∴M（0，﹣1），OM＝1．
又AM＝BC，∴OA＝AM﹣OM＝4，∴A（0，4）．
设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则yDx2x﹣1＝OA＝4，
解得x1＝5，x2＝﹣6（位于第二象限，舍去）
∴D点坐标为（5，4）．
∴AD＝BC＝5，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．
设直线BD解析式为：y＝kx+b，∵B（﹣3，0），D（5，4），
∴，
解得：k，b，
∴直线BD解析式为：yx．

（3）在Rt△AOB中，AB5，又AD＝BC＝5，∴▱ABCD是菱形．
①若直线l⊥BD，如图1所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC∥直线l，
∴，
∵BA＝BC＝5，
∴BP＝BQ＝10，
∴；
②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴△PAD∽△DCQ，
∴，
∴AP•CQ＝AD•CD＝5×5＝25．
∴

．
【点拨】本题考查了二次函数压轴题，正确解答本题需要熟练掌握函数的图象与性质（二次函数与一次函数）、平面图形的性质与应用（平行四边形、菱形、相似三角形、平行线等）．本题涉及考点较多，虽有一点的难度，但相信不少考生均可顺利解答．第（3）问中，需要注意平行四边形ABCD是菱形，这样后续的计算均可迎刃而解．

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