2011年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案.docx
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1、2011年高考理科数学试题(天津卷)本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第卷注意事项:1每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式:如果事件A,B互斥,那么如果事件A,B相互独立,那么棱柱的体积公式圆锥的体积公式其中S表示棱柱的底面面积其中S表示圆锥的底面面积h表示棱柱的
2、高h表示圆锥的高一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1是虚数单位,复数=A BC D2设则“且”是“”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 3阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为A3 B4C5 D64已知为等差数列,其公差为-2,且是与的等比中项,为的前项和,则的值为A-110 B-90C90 D1105在的二项展开式中,的系数为A B C D6如图,在中,是边上的点,且,则的值为A BC D7已知则AB CD8对实数和,定义运算“”: 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点,则实数的取值范围是A BC D第II卷二、
3、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9一支田径队有男运动员48人,女运动员36人,若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本,则抽取男运动员的人数为_10一个几何体的三视图如右图所示(单位:),则该几何体的体积为_11已知抛物线的参数方程为(为参数)若斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与圆相切,则=_.12如图,已知圆中两条弦与相交于点,是延长线上一点,且若与圆相切,则线段的长为_.13已知集合,则集合=_.14已知直角梯形中,/,是腰上的动点,则的最小值为_.三、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15(本小题满分13分)已知函数
4、()求的定义域与最小正周期;(II)设,若求的大小16(本小题满分13分)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)()求在1次游戏中, (i)摸出3个白球的概率; (ii)获奖的概率;()求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 . 17(本小题满分13分)如图,在三棱柱中,是正方形的中心,平面,且()求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;()求二面角的正弦值;()设为棱的中点,点在平面内,且平面,求线段的长18(
5、本小题满分13分)在平面直角坐标系中,点为动点,分别为椭圆的左右焦点已知为等腰三角形()求椭圆的离心率;()设直线与椭圆相交于两点,是直线上的点,满足,求点的轨迹方程19(本小题满分14分)已知,函数(的图像连续不断)()求的单调区间;()当时,证明:存在,使;()若存在均属于区间的,且,使,证明20(本小题满分14分)已知数列与满足:, ,且()求的值;()设,证明:是等比数列;(III)设证明:2011参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分40分.BABDCDCB二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分30分.912 10 11 12 13 145
6、三、解答题15本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式,同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,正切函数的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分13分. (I)解:由, 得.所以的定义域为的最小正周期为 (II)解:由得整理得因为,所以因此由,得.所以16本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分. (I)(i)解:设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 (ii)解:设“在1次游戏中获奖”为事件B,则,又 且A2,A3互斥,所以 (II)解:由题意可知X的所有可能取值为0,1,
7、2. 所以X的分布列是X012P X的数学期望17本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分. 方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点. 依题意得 (I)解:易得, 于是 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 (II)解:易知 设平面AA1C1的法向量, 则即 不妨令可得, 同样地,设平面A1B1C1的法向量, 则即不妨令,可得于是从而所以二面角AA1C1B的正弦值为 (III)解:由N为棱B1C1的中点,得设M(a,b,0),则由平面A1B1C1,得即解得故因
8、此,所以线段BM的长为方法二:(I)解:由于AC/A1C1,故是异面直线AC与A1B1所成的角.因为平面AA1B1B,又H为正方形AA1B1B的中心,可得因此所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为(II)解:连接AC1,易知AC1=B1C1,又由于AA1=B1A1,A1C1=A1=C1,所以,过点A作于点R,连接B1R,于是,故为二面角AA1C1B1的平面角.在中,连接AB1,在中,从而所以二面角AA1C1B1的正弦值为(III)解:因为平面A1B1C1,所以取HB1中点D,连接ND,由于N是棱B1C1中点,所以ND/C1H且.又平面AA1B1B,所以平面AA1B1B,故又所以平面MND,
9、连接MD并延长交A1B1于点E,则由得,延长EM交AB于点F,可得连接NE.在中,所以可得连接BM,在中,18本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力.满分13分. (I)解:设 由题意,可得即整理得(舍),或所以(II)解:由(I)知可得椭圆方程为直线PF2方程为A,B两点的坐标满足方程组消去y并整理,得解得 得方程组的解不妨设设点M的坐标为,由于是由即,化简得将所以因此,点M的轨迹方程是19本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识,考查运
10、算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分. (I)解:, 令 当x变化时,的变化情况如下表:+0-极大值 所以,的单调递增区间是的单调递减区间是 (II)证明:当 由(I)知在(0,2)内单调递增, 在内单调递减.令由于在(0,2)内单调递增,故取所以存在即存在(说明:的取法不唯一,只要满足即可)(III)证明:由及(I)的结论知,从而上的最小值为又由,知故从而20本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分. (I)解:由 可得又(II)证明:对任意,得将代入,可得即又因此
11、是等比数列.(III)证明:由(II)可得,于是,对任意,有将以上各式相加,得即,此式当k=1时也成立.由式得从而所以,对任意,对于n=1,不等式显然成立.所以,对任意 选择填空解析2011年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1(5分)(2011天津)i是虚数单位,复数=()A2+iB2iC1+2iD12i【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数【分析】要求两个复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分子和分母上进行复数的乘法运算,最后结果要化简成最简形式【解答】解:复数=2i故选B【点评】本题考查复数
12、的代数形式的乘除运算,是一个基础题,这种题目运算量不大,解题应用的原理也比较简单,是一个送分题目2(5分)(2011天津)设x,yR,则“x2且y2”是“x2+y24”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【专题】简易逻辑【分析】由“x2且y2”推出“x2+y24”可证明充分性;由满足“x2+y24”可举出反例推翻“x2且y2”,则证明不必要性,综合可得答案【解答】解:若x2且y2,则x24,y24,所以x2+y28,即x2+y24;若x2+y24,则如(2,2)满足条件,但不满足x2且y2所以“x
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