2013年江苏高考数学试题及答案.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
参考公式：
样本数据的方差，其中。
棱锥的体积公式：，其中是锥体的底面积，为高。
棱柱的体积公式：，其中是柱体的底面积，为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。
1、函数的最小正周期为 ▲ 。
2、设 (为虚数单位)，则复数的模为 ▲ 。
3、双曲线的两条渐近线的方程为 ▲ 。
4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。
5、右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ▲ 。
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：
 运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。
7、现有某类病毒记作为，其中正整数可以任意选取，则都取到奇数的概率为 ▲ 。
8、如图，在三棱柱A1B1C1 -ABC中，D、E、F分别为AB、AC、A A1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为，三棱柱A1B1C1 -ABC的体积为，则：= ▲ 。
9、抛物线在处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)。若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则的取值范围是 ▲ 。
10、设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且。若(、均为实数)，则+的值为 ▲ 。
11、已知是定义在R上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为 ▲ 。
12、在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的方程为，右焦点为F，右准线为，短轴的一个端点为B。设原点到直线BF的距离为，F到的距离为。若，则椭圆C的离心率为 ▲ 。
13、在平面直角坐标系xoy中，设定点A(a,a)，P是函数图象上的一动点。若点P、A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为= ▲ 。
14、在正项等比数列中， ，则满足的最大正整数n的值为 ▲ 。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
已知向量。
（1）若，求证：；
（2）设，若，求的值。

16、（本小题满分14分）
如图，在三棱锥S-ABC中，平面平面SBC,，AS=AB。过A作，垂足为F，点E、G分别为线段SA、SC的中点。
求证：（1）平面EFG//平面ABC；
（2）。

17、（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线，设圆C的半径为1，圆心在直线上。
（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标的取值范围。

18、（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C。
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟。在甲出发2分钟后，乙从A乘坐缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C。假设缆车速度为130米/分钟，山路AC的长为1260米，经测量，。
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

19、（本小题满分16分）
设是首项为、公差为的等差数列，为其前项和。记，其中c为实数。
（1）若c=0，且成等比数列，证明：
（2）若为等差数列，证明：c=0。

20、（本小题满分16分）
设函数，其中为实数。
（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC。
求证：AC=2AD。

B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵，求矩阵．

C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（为参数）。试求直线和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。

D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知≥＞0，求证：≥。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，AB=AC=2，=4，点D是BC的中点。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值。

23．（本小题满分10分）
设数列：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，，…
即当时，。记。
对于，定义集合=﹛|为的整数倍，且1≤≤}
(1)求中元素个数；
(2)求集合中元素个数。

参考答案
1．【答案】π
【解析】T＝||＝||＝π．
2．【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝＝5．
3．【答案】
【解析】令：，得．
4．【答案】8
【解析】23＝8．

5．【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．

6．【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：．
方差为：．
7．
【答案】
【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则都取到奇数的概率为．

8．
【答案】1：24
【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．
9．
【答案】[—2，]
【解析】抛物线在处的切线易得为y＝2x—1，令z＝，y＝—x＋．
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(，0)时，zmax＝．

y
x
O
y＝2x—1
y＝—x

10．
【答案】
【解析】

所以，，，．
11．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出 ()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。
x
y
y＝x
y＝x2—4 x
P(5,5)
Q(﹣5, ﹣5)

y
x
l
B
F
O
c
b
a
12． 【答案】
【解析】如图，l：x＝，＝－c＝，由等面积得：＝。若，则＝，整理得：，两边同除以：，得：，解之得：＝，所以，离心率为：．

13．
【答案】1或
【解析】
14．
【答案】12
【解析】设正项等比数列首项为a1，公比为q，则：，得：a1＝，q＝2，an＝26－n．记，．，则，化简得：，当时，．当n＝12时，，当n＝13时，，故nmax＝12．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，
所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，
所以，．
（2），①2＋②2得：cos(α－β)＝－．
所以，α－β＝，α＝＋β，
带入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋sinβ＝sin(＋β)＝1，
所以，＋β＝．
所以，α＝，β＝．
16．

证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，
所以F为SB的中点．
又E，G分别为SA，SC的中点，
所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，
所以，平面平面．
（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF平面ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面SBC．
又BC平面SBC，
所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面SAB．
又SA平面SAB，
所以，．
17．
x
y
A
l
O
解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)．
设切线为：，
d＝，得：．
故所求切线为：．
（2）设点M(x，y)，由，知：，
化简得：，
即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．
又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．
故：1≤|CD|≤3，其中．
C
B
A
D
M
N
解之得：0≤a≤．
18．
解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，
AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：＝(min)．
若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．
此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．
若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．
此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．
故乙步行的速度应控制在[，]范围内．
19．
证：（1）若，则，，．
当成等比数列，，
即：，得：，又，故．
由此：，，．
故：（）．
（2），

． (※)
若是等差数列，则型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：，即，而≠0，
故．
经检验，当时是等差数列．
20．
解：（1）≤0在上恒成立，则≥， ．
故：≥1．
，
若1≤≤e，则≥0在上恒成立，
此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；
若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足．
故的取值范围为：＞e．
（2）≥0在上恒成立，则≤ex，
故：≤．
．
(ⅰ)若0＜≤，令＞0得增区间为(0，)；
令＜0得减区间为(，﹢∞)．
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；
当x＝时，f()＝﹣lna－1≥0，当且仅当＝时取等号．
故：当＝时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点．
(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．
(ⅲ)若a＜0，则在上恒成立，
即：在上是单调增函数，
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．
此时，f(x)有1个零点．
综上所述：当＝或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点．