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2019年辽宁省阜新市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．
2．（3分）如图所示的主视图和俯视图对应的几何体（阴影所示为右）是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）商场经理调查了本商场某品牌女鞋一个月内不同尺码的销售量，如表：
尺码/码
36
37
38
39
40
数量/双
15
28
13
9
5
商场经理最关注这组数据的（　　）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
4．（3分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）一个不透明的袋子中有红球、白球共20个这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，共摸了100次，其中有30次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
6．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．2 C． D．1
7．（3分）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
8．（3分）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是（　　）
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和点（3，0），则下列说法正确的是（　　）

A．bc＜0 B．a+b+c＞0 C．2a+b＝0 D．4ac＞b2
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A（4，0），B（0，3），则点C100的坐标为（　　）

A．（1200，） B．（600，0） C．（600，） D．（1200，0）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是　 　．
12．（3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E．若∠AED＝50°，则∠D的度数为　 　．

13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E．若AC＝8，BC＝6，则线段DE的长度为　 　．

14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE．若AB＝2，∠ACB＝30°，则线段CD的长度为　 　．

15．（3分）如图，一艘船以40nmile/h的速度由西向东航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，继续航行2.5h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为　 　nmile．（结果保留根号）

16．（3分）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，匀速行进甲先出发且先到达B地，他们之间的距离s（km）与甲出发的时间t（h）的关系如图所示，则乙由B地到A地用了　 　h．

三、解答题（本大题共6小题，共52分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：﹣（）﹣1+4sin30°
（2）先化简，再求值：÷（1﹣），其中m＝2．
18．（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣1，1），C（﹣1，4）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．
（3）求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．（结果保留π）

19．（8分）为丰富学生的文体生活，育红学校准备成立“声乐、演讲、舞蹈、足球、篮球”五个社团，要求每个学生都参加一个社团且每人只能参加一个社团．为了了解即将参加每个社团的大致人数，学校对部分学生进行了抽样调查在整理调查数据的过程中，绘制出如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）被抽查的学生一共有多少人？
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若全校有学生1500人，请你估计全校有意参加“声乐”社团的学生人数．
（4）从被抽查的学生中随意选出1人，该学生恰好选择参加“演讲”社团的概率是多少？

20．（8分）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
21．（10分）如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．
①求证：CD＝CE，CD⊥CE；
②求证：AD+BD＝CD；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．

22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年辽宁省阜新市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】直接利用数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
【解答】解：﹣2的绝对值是：2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
2．【分析】根据几何体的主视图确定A、B、D 选项，然后根据俯视图确定B选项即可．
【解答】解：A、B、D选项的主视图符合题意；
B选项的俯视图符合题意，
综上：对应的几何体为B选项中的几何体．
故选：B．
【点评】考查由视图判断几何体；由俯视图得到底层正方体的个数及形状是解决本题的突破点．
3．【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个商场的经理来说，他最关注的是数据的众数．
【解答】解：对这个商场的经理来说，最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选：A．
【点评】考查了众数、平均数、中位数和方差意义，属于基础题，难度不大，只要了解各个统计量的意义就可以轻松确定本题的正确答案．
4．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
解不等式①，得x＜1；
解不等式②，得x≥﹣2；
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．【分析】根据题意，可以计算出袋子中红球的个数，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
袋子中红球的个数约为：20×＝6，
故选：D．
【点评】本题考查用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，求出相应的红球的个数．
6．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB＝|k|，便可求得结果．
【解答】解：连结OA，如图，

∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB，
而S△OAB＝|k|＝，
∴S△CAB＝，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7．【分析】连接OB，CB与⊙O相切于点B，得到∠OBC＝90°，根据条件得到∠COB的度数，然后用三角形内角和求出∠C的度数即可．
【解答】解：如图：连接OB，

∵∠A＝25°，
∴∠COB＝2∠A＝2×25°＝50°，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴∠OBC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB的度数，然后在三角形中求出∠C的度数．正确作出辅助线是解题的关键．
8．【分析】设这种衬衫的原价是x元，根据衬衫的成本不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这种衬衫的原价是x元，
依题意，得：0.6x+40＝0.9x﹣20，
解得：x＝200．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用对称轴在y轴的右侧得到b＜0，利用抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对A进行判断；利用当x＝1时，y＜0可对B进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，则可对C进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对D进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a和b异号，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴bc＞0，所以A选项错误；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以B选项错误；
∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
即﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以C选项正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
即4ac＜b2，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点个数：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．【分析】根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上，由点A，B的坐标利用勾股定理可求出AB的长，进而可得出点C2的横坐标，同理可得出点C4，C6的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点C2n的横坐标为2n×6（n为正整数）”，再代入2n＝100即可求出结论．
【解答】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上．
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∴点C2的横坐标为4+5+3＝12＝2×6，
同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，
∴点C2n的横坐标为2n×6（n为正整数），
∴点C100的横坐标为100×6＝600，
∴点C100的坐标为（600，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
12．【分析】根据平行线的性质求得∠ACB度数，然后根据角平分线的定义求得∠DCB的度数，然后利用两直线平行，内错角相等即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，∠AED＝50°，
∴∠ACB＝∠AED＝50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠BCD＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．
13．【分析】先求出AE长，根据相似三角形的判定得出△AED∽△ACB，得出比例式，代入求出DE长即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵DE垂直平分AB，
∴∠DEA＝90°，AE＝＝5，
∴∠DEA＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴，
即
∴DE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AED∽△ACB是解此题的关键．
14．【分析】连接CE，如图，利用旋转的性质得到AD＝AB＝2，AE＝AC，∠CAE＝60°，∠AED＝∠ACB＝30°，则可判断△ACE为等边三角形，从而得到∠AEC＝60°，再判断DE平分∠AEC，根据等腰三角形的性质得到DE垂直平分AC，于是根据线段垂直平分线的性质得DC＝DA＝2．
【解答】解：连接CE，如图，
∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，
∴AD＝AB＝2，AE＝AC，∠CAE＝60°，∠AED＝∠ACB＝30°，
∴△ACE为等边三角形，
∴∠AEC＝60°，
∴DE平分∠AEC，
∴DE垂直平分AC，
∴DC＝DA＝2．
故答案为2．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
15．【分析】利用三角形内角和定理可求出∠P＝90°，在Rt△PAB中，通过解直角三角形可求出PB的长，此题得解．
【解答】解：根据题意，得：∠PAB＝60°，∠PBA＝30，AB＝2.5×40＝100（nmile），
∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
在Rt△PAB中，PB＝AB•sin∠PAB＝100×＝50（nmile）．
故答案为：50．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形求出PB的长是解题的关键．
16．【分析】根据函数图象中的数据可以求得甲的速度和乙的速度，从而可以求得乙由B地到A地所用的时间．
【解答】解：由图可得，
甲的速度为：36÷6＝6（km/h），
则乙的速度为：＝3.6（km/h），
则乙由B地到A地用时：36÷3.6＝10（h），
故答案为：10．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题共6小题，共52分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】（1）先化简二次根式、计算负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2+4×
＝2﹣2+2
＝2；

（2）原式＝÷（﹣）
＝•
＝，
当m＝2时，原式＝＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、C2即可；
（3）线段AB在旋转过程中扫过的图形为扇形，然后根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△AlB1C1为所作；
（2）如图，△A2BC2为所作；

（3）AB＝＝3，
所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形面积公式．
19．【分析】（1）用足球的人数除以所占的百分比即可得出被抽查的学生数；
（2）用总人数乘以舞蹈人数所占的百分比求出舞蹈的人数，从而补全统计图；
（3）用全校的总人数乘以参加“声乐”社团的学生人数所占的百分比即可；
（4）用参加“演讲”社团的人数除以总人数即可得出答案．
【解答】解：（1）被抽查的学生数是：15÷15%＝100（人）；

（2）舞蹈人数有100×20%＝20（人），补图如下：

（3）根据题意得：1500×＝330（人），
答：估计全校有意参加“声乐”社团的学生人数有330人；

（4）该学生恰好选择参加“演讲”社团的概率是：＝．
【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．
20．【分析】（1）根据从甲地行驶到乙地的路程相等列出分式方程解答即可；
（2）根据所需费用不超过50元列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，
可得：，
解得：x＝0.3，
经检验x＝0.3是原方程的解，
∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3＝100千米；
（2）汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5＝0.8元，
设汽车用电行驶ykm，
可得：0.3y+0.8（100﹣y）≤50，
解得：y≥60，
所以至少需要用电行驶60千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．【分析】（1）①根据四边形的内角和得到∠DAC+∠DBC＝180°，推出∠DBC＝∠EAC，根据全等三角形的性质得到CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，求得∠DCE＝90°，根据垂直的定义得到结论；
②由已知条件得到△CDE是等腰直角三角形，求得DE＝CD，根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝∠ABC＝45°，求得∠CBD＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，求得∠DCE＝90°，根据线段的和差即可得到结论．
【解答】（1）证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB＝360°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∵∠EAC+∠DAC＝180°，
∴∠DBC＝∠EAC，
∵BD＝AE，BC＝AC，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，
∵∠BCD+∠DCA＝90°，
∴∠ACE+∠DCA＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD⊥CE；
②∵CD＝CE，CD⊥CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∵DE＝AD+AE，AE＝BD，
∴DE＝AD+BD，
∴AD+BD＝CD；
（2）解：AD﹣BD＝CD；
理由：如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC＝90°﹣∠BAD﹣45°＝45°﹣∠BAD，
∵∠CAE＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，
∴∠CBD＝∠CAE，∵BD＝AE，BC＝AC，
∴△CBD≌△CAE（SAS），
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠BCE＝90°，
即∠DCE＝90°，
∴DE＝＝＝CD，
∵DE＝AD﹣AE＝AD﹣BD，
∴AD﹣BD＝CD．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，即可求解；
（2）S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC，即可求解；
（3）分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，

（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），

则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×yP+×OC×|xP|﹣×CO×OD
＝（﹣x2﹣x+2）×2×（﹣x）﹣＝﹣x2﹣3x+2，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；
（3）存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：

①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，
N1的情况（△M1N1O）：
设点N1的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则M1E＝x+1，
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，
∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，
∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，
∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，
即：x+1＝﹣x2﹣x+2，解得：x＝（舍去负值），
则点N1（，）；
N2的情况（△M2N2O）：
同理可得：点N2（，）；
②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，
同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（，）、（，）．
综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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