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第七章 平面直角坐标系

本章重点讲解：一个距离〔点到特殊直线的距离〕，两个平移〔点的平移、图形的平移〕，三个概念〔有序数对、平面直角坐标系、象限点的对称〕，五个特征
1、 平面直角坐标系
⑴ 有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作〔a，b〕。
注：当a≠b时，〔a，b〕和〔b，a〕是不同的两个有序数对。
⑵ 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴称为横轴或x轴，取向右的方向为正方向；竖直的数轴称为纵轴或y轴，取向上的方向为正方向，两条数轴的交点叫做原点；x轴和y轴统称为坐标轴。
⑶ 象限
如右图所示：x轴和y轴把坐标平面分成四个局部，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。
注：① 两条坐标轴不属于任何一个象限。
② 如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位。
⑷ 点的坐标
对于坐标平面内的一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对〔a，b〕叫做A的坐标，记作A(a，b)。
坐标平面内的点与有序数对是一一对应的。
注：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，〞号隔开，再用小括号括起来。
2、 坐标平面内特殊点的坐标特征
⑴ 各象限内点的坐标特征
点P〔x，y〕在第一象限＜ ＝==＞ x＞0，y＞0；
点P〔x，y〕在第二象限＜ ＝==＞ x＜0，y＞0；
点P〔x，y〕在第三象限＜ ＝==＞ x＜0，y＜0；
点P〔x，y〕在第四象限＜ ＝==＞ x＞0，y＜0。
⑵ 坐标轴上点的坐标特征
点P〔x，y〕在x轴上＜ ＝==＞ y＝0，x为任意实数；
点P〔x，y〕在y轴上＜ ＝==＞ x＝0，y为任意实数；
点P〔x，y〕即在x轴上，又在y轴上＜ ＝==＞ x＝0，y＝0，即点P的坐标为〔0，0〕。
⑶ 两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征
点P〔x，y〕在第一、三象限夹角的角平分线上＜ ＝==＞ x＝y；
点P〔x，y〕在第二、四象限夹角的角平分线上＜ ＝==＞ x＋y＝0。
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⑷ 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
平行于x轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；
平行于y轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数。
⑸ 坐标平面内对称点的坐标特征
点P〔a,b〕关于x轴的对称点是P′〔a，-b〕，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；
点P〔a,b〕关于y轴的对称点是P′〔-a，b〕，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；
点P〔a,b〕关于原点的对称点是P′〔-a，-b〕，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
注：点P(a,b)关于点Q(m,n)的对称点是M(2m-a,2n-b)。
3、 用坐标表示地理位置
⑴ 直角坐标系法
先确定原点，然后画出x轴和y轴，建立平面直角坐标系，再确定它的横坐标及纵坐标，点的坐标可以由横坐标和纵坐标唯一确定。
⑵ 方位角法
从一定点出发，测量出被侧点到定点的距离，即相对于定点的距离及相对于定点所处的方位角。点的位置由距离和方位角唯一确定。
4、 用坐标表示距离
点P〔x，y〕到x轴的距离是∣y∣；点P〔x，y〕到直线y＝m的距离是∣y－m∣；
点P〔x，y〕到y轴的距离是∣x∣；点P〔x，y〕到直线x＝n的距离是∣x－n∣；
当P1P2平行于x轴时，P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕，∣P1P2∣＝∣x1 －x2∣，〔y1 ＝y2〕；当P1P2平行于y轴时，∣P1P2∣＝∣y1 －y2∣，〔x1 ＝x2〕。
5、 用坐标表示平移
⑴ 点的平移
将点(x,y)向右〔或向左〕平移a个单位，可得对应点〔x＋a，y〕{或〔x－a，y〕}，可记为“右加左减，纵不变〞；
将点(x,y)向上〔或向下〕平移b个单位，可得对应点〔x，y＋b〕{或〔x，y－b〕}，可记为“上加下减，横不变〞。
⑵ 图形的平移
把一个图形的各个点的横坐标都加上〔或减去〕一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右〔或向左〕平移a个单位得到的。
把一个图形的各个点的纵坐标都加上〔或减去〕一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上〔或向下〕平移a个单位得到的。
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