2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版).pdf
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1、第 1 页(共 11 页)2008 年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷)一、选择题(共一、选择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分)分)1(5 分)设集合 M=mZ|3m2,N=nZ|1n3,则 MN=()A0,1 B1,0,1 C0,1,2 D1,0,1,2 2(5 分)设 a,bR 且 b0,若复数(a+bi)3是实数,则()Ab2=3a2 Ba2=3b2 Cb2=9a2 Da2=9b2 3(5 分)函数 f(x)=x 的图象关于()Ay 轴对称 B直线 y=x 对称 C坐标原点对称 D直线 y=x 对称 4(5
2、分)若 x(e1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则()Aabc Bcab Cbac Dbca 5(5 分)设变量 x,y 满足约束条件:,则 z=x3y 的最小值()A2 B4 C6 D8 6(5 分)从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A B C D 7(5 分)(1)6(1+)4的展开式中 x 的系数是()A4 B3 C3 D4 8(5 分)若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图象分别交于 M,N 两点,则|MN|的最大值为()A1 B C D2 9(5 分)
3、设 a1,则双曲线的离心率 e 的取值范围是()A B C(2,5)D 10(5 分)已知正四棱锥 SABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE、SD 所成的角的余弦值为()A B C D 11(5 分)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x+y2=0 与 x7y4=0,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为()A3 B2 C D 12(5 分)已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆,若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于()A1 B C D2 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分)分)
4、13(5 分)设 向 量,若 向 量与 向 量共 线,则=14(5 分)设曲线 y=eax在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a=15(5 分)已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A,B 两点设|FA|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于 16(5 分)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件 ;充要条件 (写出你认为正确的两个充要条件)三、解答题(共三、解答题(共 6 小题,满分小题,满分 70 分)分)17(10 分)在ABC
5、 中,cosB=,cosC=(1)求 sinA 的值(2)设ABC 的面积 SABC=,求 BC 的长 第 2 页(共 11 页)18(12 分)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为10.999()求一投保人在一年度内出险的概率 p;()设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元)1
6、9(12 分)如图,正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点 E 在 CC1上且 C1E=3EC()证明:A1C平面 BED;()求二面角 A1DEB 的大小 20(12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn已知 a1=a,an+1=Sn+3n,nN*()设 bn=Sn3n,求数列bn的通项公式;()若 an+1an,nN*,求 a 的取值范围 21(12 分)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k0)与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点()若,求 k 的值;()求四边形 AEBF 面积的最大值 22(12 分)设函
7、数()求 f(x)的单调区间;()如果对任何 x0,都有 f(x)ax,求 a 的取值范围 第 3 页(共 11 页)2008 年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷)参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分)分)1(5 分)设集合 M=mZ|3m2,N=nZ|1n3,则 MN=()A0,1 B1,0,1 C0,1,2 D1,0,1,2 【考点】1E:交集及其运算菁优网版权所有【分析】由题意知集合 M=mz|3m2,N=nz|1n3,然后根据交集的定义和运算法则进行计
8、算【解答】解:M=2,1,0,1,N=1,0,1,2,3,MN=1,0,1,故选:B【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,是一道比较基础的题 2(5 分)设 a,bR 且 b0,若复数(a+bi)3是实数,则()Ab2=3a2 Ba2=3b2 Cb2=9a2 Da2=9b2 【考点】A5:复数的运算菁优网版权所有【分析】复数展开,化为 a+bi(a、bR)的形式,虚部为 0 即可【解答】解:(a+bi)3=a3+3a2bi3ab2b3i=(a33ab2)+(3a2bb3)i,因是实数且 b0,所以3a2bb3=0b2=3a2 故选:A【点评】本题考查复数的基本运算,是基础题 3(5
9、 分)函数 f(x)=x 的图象关于()Ay 轴对称 B直线 y=x 对称 C坐标原点对称 D直线 y=x 对称 【考点】3M:奇偶函数图象的对称性菁优网版权所有【分析】根据函数 f(x)的奇偶性即可得到答案【解答】解:f(x)=+x=f(x)是奇函数,所以 f(x)的图象关于原点对称 故选:C【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质,是高考必考题型 4(5 分)若 x(e1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则()Aabc Bcab Cbac Dbca 【考点】4M:对数值大小的比较菁优网版权所有【分析】根据函数的单调性,求 a 的范围,用比较法,比较 a、b 和 a、c 的大小【解
10、答】解:因为 a=lnx 在(0,+)上单调递增,故当 x(e1,1)时,a(1,0),于是 ba=2lnxlnx=lnx0,从而 ba 又 ac=lnxln3x=a(1+a)(1a)0,从而 ac 综上所述,bac 故选:C【点评】对数值的大小,一般要用对数的性质,比较法,以及 0 或 1 的应用,本题是基础题 5(5 分)设变量 x,y 满足约束条件:,则 z=x3y 的最小值()A2 B4 C6 D8 第 4 页(共 11 页)【考点】7C:简单线性规划菁优网版权所有【专题】11:计算题【分析】我们先画出满足约束条件:的平面区域,求出平面区域的各角点,然后将角点坐标代入目标函数,比较后,
11、即可得到目标函数 z=x3y 的最小值【解答】解:根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,由图可知目标函数在点(2,2)取最小值8 故选:D 【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解 6(5 分)从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A B C D 【考点】C6:等可能事件和等可能事件的概率菁优网版权
12、所有【分析】由题意知本题是一个古典概型,试验发生的所有事件从 30 名同学中任选 3 名参加体能测试共有 C303种结果,而满足条件的事件是选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学共有C201C102+C202C101种结果代入公式得到结果【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生的所有事件从 30 名同学中任选 3 名参加体能测试共有 C303种结果,满足条件的事件是选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学共有 C201C102+C202C101种结果,由古典概型公式得到,故选:D【点评】本题考查的是古典概型,可以从它的对立事件来考虑,概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义
13、,加强与实际生活的联系,以科学的态度评价身边的一些随机现象 7(5 分)(1)6(1+)4的展开式中 x 的系数是()A4 B3 C3 D4 【考点】DA:二项式定理菁优网版权所有【专题】11:计算题【分析】展开式中 x 的系数由三部分和组成:的常数项与展开式的 x 的系数积;的展开式的 x 的系数与的常数项的积;的的系数与的的系数积利用二项展开式的通项求得各项系数【解答】解:的展开式的通项为 展开式中常数项为 C60,含 x 的项的系数为 C62,含的项的系数为C61 的展开式的通项为 的展开式中的 x 的系数为 C42,常数项为 C40,含的项的系数为 C41 故的展开式中 x 的系数是
14、C60C42+C62C40C61C41=6+1524=3 故选:B 第 5 页(共 11 页)【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具 8(5 分)若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图象分别交于 M,N 两点,则|MN|的最大值为()A1 B C D2 【考点】H2:正弦函数的图象;H7:余弦函数的图象菁优网版权所有【分析】可令 F(x)=|sinxcosx|求其最大值即可【解答】解:由题意知:f(x)=sinx、g(x)=cosx 令 F(x)=|sinxcosx|=|sin(x)|当 x=+k,x=+k,即当 a=+k 时
15、,函数 F(x)取到最大值 故选:B【点评】本题主要考查三角函数的图象和函数解析式的关系属基础题 9(5 分)设 a1,则双曲线的离心率 e 的取值范围是()A B C(2,5)D 【考点】KC:双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11:计算题【分析】根据题设条件可知:,然后由实数 a 的取值范围可以求出离心率 e 的取值范围【解答】解:,因为是减函数,所以当 a1 时,所以 2e25,即,故选:B【点评】本题的高考考点是解析几何与函数的交汇点,解题时要注意双曲线性质的灵活运用 10(5 分)已知正四棱锥 SABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE、SD 所成的角的余弦
16、值为()A B C D 【考点】LM:异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想【分析】由于是正方体,又是求角问题,所以易选用向量量,所以建立如图所示坐标系,先求得相关点的坐标,进而求得相关向量的坐标,最后用向量夹角公式求解【解答】解:建立如图所示坐标系,令正四棱锥的棱长为 2,则 A(1,1,0),D(1,1,0),S(0,0,),E,=,=(1,1,)cos=故选:C 【点评】本题主要考查多面体的结构特征和空间角的求法,同时,还考查了转化思想和运算能力,属中档题 第 6 页(共 11 页)11(5 分)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x+y2=0 与 x7y
17、4=0,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为()A3 B2 C D 【考点】IQ:与直线关于点、直线对称的直线方程菁优网版权所有【专题】16:压轴题【分析】利用原点在等腰三角形的底边上,可设底边方程 y=kx,用到角公式,再借助草图,选项判定结果即可【解答】解:l1:x+y2=0,k1=1,设底边为 l3:y=kx 由题意,l3到 l1所成的角等于 l2到 l3所成的角于是有,解得 k=3 或k=,因为原点在等腰三角形的底边上,所以 k=3 k=,原点不在等腰三角形的底边上(舍去),故选:A 【点评】两直线成角的概念及公式;本题是由教材的一个例题改编而成(人教版 P49 例 7)解
18、题过程值得学习 12(5 分)已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆,若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于()A1 B C D2 【考点】LG:球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离【分析】求解本题,可以从三个圆心上找关系,构建矩形利用对角线相等即可求解出答案【解答】解:设两圆的圆心分别为 O1、O2,球心为 O,公共弦为 AB,其中点为 E,则 OO1EO2为矩形,于是对角线 O1O2=OE,而 OE=,O1O2=故选:C【点评】本题考查球的有关概念,两平面垂直的性质,是基础题 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每
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