2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版).pdf
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1、第 1 页(共 13 页)2008 年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷)一、选择题(共一、选择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分)分)1(5 分)函数的定义域为()Ax|x0 Bx|x1 Cx|x10 Dx|0 x1 2(5 分)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是()A B C D 3(5 分)在ABC 中,=,=若点 D 满足=2,则=()A B C D 4(5 分)设 aR,且(a+i)2i 为正实数,则 a=()A2 B1 C
2、0 D1 5(5 分)已知等差数列an满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=()A138 B135 C95 D23 6(5 分)若函数 y=f(x)的图象与函数 y=ln的图象关于直线 y=x 对称,则 f(x)=()Ae2x2 Be2x Ce2x+1 De2x+2 7(5 分)已知曲线 y=在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 的值为()A2 B C D2 8(5 分)为得到函数的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象()A向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位 C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位 9(5 分)设奇函数 f
3、(x)在(0,+)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式0 的解集为()A(1,0)(1,+)B(,1)(0,1)C(,1)(1,+)D(1,0)(0,1)10(5 分)若直线=1 与圆 x2+y2=1 有公共点,则()Aa2+b21 Ba2+b21 C D 11(5 分)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面 ABC 内的射影为ABC的中心,则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于()A B C D 12(5 分)如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为()A
4、96 B84 C60 D48 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分)分)13(5 分)若 x,y 满足约束条件,则 z=2xy 的最大值为 14(5 分)已知抛物线 y=ax21 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的第 2 页(共 13 页)三角形面积为 15(5 分)在ABC 中,AB=BC,若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率 e=16(5 分)等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB,二面角 CABD 的余弦值为,M,N 分别是 AC,BC 的中点,则 EM,AN 所成角的余弦值等
5、于 三、解答题(共三、解答题(共 6 小题,满分小题,满分 70 分)分)17(10 分)设ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 acosBbcosA=c()求的值;()求 tan(AB)的最大值 18(12 分)四棱锥 ABCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC底面 BCDE,BC=2,AB=AC()证明:ADCE;()设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45,求二面角 CADE 的大小 19(12 分)已知函数 f(x)=x2+ax+1lnx()当 a=3 时,求函数 f(x)的单调递增区间;()若 f(x)在区间(0,)上是减函数,求实数 a 的取值范
6、围 20(12 分)已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病下面是两种化验方法:方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验()求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;()表示依方案乙所需化验次数,求 的期望 第 3 页(共 13 页)21(12 分)双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l
7、2,经过右焦点 F 垂直于 l1的直线分别交 l1,l2于 A,B 两点已知|、|、|成等差数列,且与同向()求双曲线的离心率;()设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程 22(12 分)设函数 f(x)=xxlnx数列an满足 0a11,an+1=f(an)()证明:函数 f(x)在区间(0,1)是增函数;()证明:anan+11;()设 b(a1,1),整数证明:ak+1b 第 4 页(共 13 页)2008 年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷)参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题,每小题
8、小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分)分)1(5 分)函数的定义域为()Ax|x0 Bx|x1 Cx|x10 Dx|0 x1 【考点】33:函数的定义域及其求法菁优网版权所有【分析】偶次开方的被开方数一定非负x(x1)0,x0,解关于 x 的不等式组,即为函数的定义域【解答】解:由 x(x1)0,得 x1,或 x0 又因为 x0,所以 x1,或 x=0;所以函数的定义域为x|x10 故选:C【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现,通常注意偶次开方一定非负,分式中分母不能为 0,对数函数的真数一定要大于 0,指数和对数的底数大于 0 且不等于 1另外还要注意正切函数的定义域
9、2(5 分)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是()A B C D 【考点】3A:函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】16:压轴题;31:数形结合【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,汽车的行驶路程 s看作时间 t 的函数,我们可以根据实际分析函数值 S(路程)与自变量 t(时间)之间变化趋势,分析四个答案即可得到结论【解答】解:由汽车经过启动后的加速行驶阶段,路程随时间上升的速度越来越快,故图象的前边部分为凹升的形状;在汽车的匀速行驶阶段,路程随时间上升的速度保持不变 故
10、图象的中间部分为平升的形状;在汽车减速行驶之后停车阶段,路程随时间上升的速度越来越慢,故图象的前边部分为凸升的形状;分析四个答案中的图象,只有 A 答案满足要求,故选:A【点评】从左向右看图象,如果图象是凸起上升的,表明相应的量增长速度越来越慢;如果图象是凹陷上升的,表明相应的量增长速度越来越快;如果图象是直线上升的,表明相应的量增长速度保持不变;如果图象是水平直线,表明相应的量保持不变,即不增长也不降低;如果图象是凸起下降的,表明相应的量降低速度越来越快;如果图象是凹陷下降的,表明相应的量降低速度越来越慢;如果图象是直线下降的,表明相应的量降低速度保持不变 3(5 分)在ABC 中,=,=若
11、点 D 满足=2,则=()A B C D 【考点】9B:向量加减混合运算菁优网版权所有 第 5 页(共 13 页)【分析】把向量用一组向量来表示,做法是从要求向量的起点出发,尽量沿着已知向量,走到要求向量的终点,把整个过程写下来,即为所求本题也可以根据 D 点把 BC 分成一比二的两部分入手【解答】解:由,故选:A【点评】用一组向量来表示一个向量,是以后解题过程中常见到的,向量的加减运算是用向量解决问题的基础,要学好运算,才能用向量解决立体几何问题,三角函数问题,好多问题都是以向量为载体的 4(5 分)设 aR,且(a+i)2i 为正实数,则 a=()A2 B1 C0 D1 【考点】A4:复数
12、的代数表示法及其几何意义菁优网版权所有【分析】注意到 a+bi(a,bR)为正实数的充要条件是 a0,b=0【解答】解:(a+i)2i=(a2+2ai1)i=2a+(a21)i0,a=1故选 D【点评】本题的计算中,要注意到相应变量的范围 5(5 分)已知等差数列an满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=()A138 B135 C95 D23 【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】11:计算题【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前 n 项和,根据 a2+a4=4,a3+a5=10 我们构造关于基本量(首
13、项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差),进而代入前 n 项和公式,即可求解【解答】解:(a3+a5)(a2+a4)=2d=6,d=3,a1=4,S10=10a1+=95 故选:C【点评】在求一个数列的通项公式或前 n 项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等比数列,则可以求出其基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式,写出该数列的通项公式,如果未知这个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关,间接求其通项公式 6(5 分)若函数 y=f(x)的图象与函数 y=ln的图象关于直线 y=x 对称,则 f(x)=()Ae2x2 Be2x Ce2x+1
14、De2x+2 【考点】4R:反函数菁优网版权所有【专题】11:计算题【分析】由函数 y=f(x)的图象与函数 y=ln的图象关于直线 y=x 对称知这两个函数互为反函数,故只要求出函数 y=f(x)的反函数即可,欲求原函数的反函数,即从原函数 y=ln中反解出 x,后再进行 x,y 互换,即得反函数的解析式【解答】解:,x=(ey1)2=e2y2,改写为:y=e2x2 答案为 A【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法 7(5 分)已知曲线 y=在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 的值为()A2 B C D2 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线
15、方程菁优网版权所有【专题】53:导数的综合应用 第 6 页(共 13 页)【分析】求出函数的导数,切线的斜率,由两直线垂直的条件,即可得到 a 的值【解答】解:y=,y=,曲线 y=在点(3,2)处的切线的斜率 k=,曲线 y=在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,直线 ax+y+1=0 的斜率 k=a=1,即 a=2 故选:D【点评】本题考查导数的几何意义的求法,考查导数的运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意直线与直线垂直的性质的灵活运用 8(5 分)为得到函数的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象()A向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位 C向左平移个长度单位 D
16、向右平移个长度单位 【考点】HJ:函数 y=Asin(x+)的图象变换菁优网版权所有【专题】11:计算题【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式,再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案【解答】解:,只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移个单位得到函数的图象 故选:A【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移属基础题 9(5 分)设奇函数 f(x)在(0,+)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式0 的解集为()A(1,0)(1,+)B(,1)(0,1)C(,1)(1,+)D(1,0)(0,1)【考点】3N:奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】16:压轴题【分析】首先利用奇函数定
17、义与得出 x 与 f(x)异号,然后由奇函数定义求出 f(1)=f(1)=0,最后结合 f(x)的单调性解出答案【解答】解:由奇函数 f(x)可知,即 x 与 f(x)异号,而 f(1)=0,则 f(1)=f(1)=0,又 f(x)在(0,+)上为增函数,则奇函数 f(x)在(,0)上也为增函数,当 0 x1 时,f(x)f(1)=0,得0,满足;当 x1 时,f(x)f(1)=0,得0,不满足,舍去;当1x0 时,f(x)f(1)=0,得0,满足;当 x1 时,f(x)f(1)=0,得0,不满足,舍去;所以 x 的取值范围是1x0 或 0 x1 故选:D【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单
18、调性 10(5 分)若直线=1 与圆 x2+y2=1 有公共点,则()Aa2+b21 Ba2+b21 C D 【考点】J9:直线与圆的位置关系菁优网版权所有【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径,可以得到结果 第 7 页(共 13 页)【解答】解:直线与圆有公共点,即直线与圆相切或相交得:dr,故选:D【点评】本题考查点到直线的距离公式,直线和圆的位置关系,是基础题 11(5 分)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面 ABC 内的射影为ABC的中心,则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于()A B C D 【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版
19、权所有【专题】11:计算题;31:数形结合;4R:转化法;5G:空间角【分析】法一:由题意可知三棱锥 A1ABC 为正四面体,设棱长为 2,求出 AB1及三棱锥的高,由线面角的定义可求出答案;法二:先求出点 A1到底面的距离 A1D 的长度,即知点 B1到底面的距离 B1E 的长度,再求出 AE 的长度,在直角三角形 AEB1中求 AB1与底面 ABC 所成角的正切,再由同角三角函数的关系求出其正弦【解答】解:(法一)因为三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心,设为 D,所以三棱锥 A1ABC 为正四面体,设棱长为 2,则AA1B1是顶角
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