2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版).doc
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1、绝密启用前2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1设集合A=x|x2-5x+60,B= x|x-1b,则Aln(ab)0 B3a0 Dab7设,为两个平面,则的充要条件是A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行 C,平行于同一条直线 D,垂直于同一平面8若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=A2 B3 C4 D89下列函数中,以为周期且在区间(,)单调递增的是Af(x)=cos 2x Bf(x)=sin 2x Cf(x)=cosx Df(x)= sinx10已
2、知(0,),2sin 2=cos 2+1,则sin =A B C D11设F为双曲线C:的右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与圆交于P,Q两点.若,则C的离心率为A B C2D12设函数的定义域为R,满足,且当时,.若对任意,都有,则m的取值范围是AB C D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.14已知是奇函数,且当时,.若,则_.15的内角的对边分别为.若,则的面积为_.16
3、中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面,其棱长为_.(本题第一空2分,第二空3分.)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分。 17(12分)如图,长方体ABCDA1
4、B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角BECC1的正弦值.18(12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.19(12分)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0, ,.(1)证明:an+bn是
5、等比数列,anbn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.20(12分)已知函数.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x 在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线的切线.21(12分)已知点A(2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.(i)证明:是直角三角形;(ii)求面积的最大值.(二)选考题:共10分请考生在第22、23题
6、中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在极坐标系中,O为极点,点在曲线上,直线l过点且与垂直,垂足为P.(1)当时,求及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程. 23选修4-5:不等式选讲(10分)已知 (1)当时,求不等式的解集;(2)若时,求的取值范围.2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)参考答案1A 2C 3C 4D 5A 6C7B 8D 9A 10B 11A 12B130.981431561626;17解:(1)由已知得,平面,平面,故又,所以平面(2)由(1)知由题设知,所以,故,以
7、为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),(0,1,2),E(1,0,1),设平面EBC的法向量为n=(x,y,x),则即所以可取n=.设平面的法向量为m=(x,y,z),则即所以可取m=(1,1,0)于是所以,二面角的正弦值为18解:(1)X=2就是10:10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分因此P(X=2)=0.50.4+(10.5)(104)=05(2)X=4且甲获胜,就是10:10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均
8、为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)+(10.5)0.40.50.4=0.119解:(1)由题设得,即又因为a1+b1=l,所以是首项为1,公比为的等比数列由题设得,即又因为a1b1=l,所以是首项为1,公差为2的等差数列(2)由(1)知,所以,20解:(1)f(x)的定义域为(0,1),(1,+)单调递增因为f(e)=,所以f(x)在(1,+)有唯一零点x1,即f(x1)=0又,故f(x)在(0,1)有唯一零点综上,f(x)有且仅有两个零点(2)因为,故点B(lnx0,)在曲线y=ex上由题设知,即,故直线AB的斜率曲线y=ex在点处切线的斜率是,曲线在点处切线的斜率也是,所以曲线在点处
9、的切线也是曲线y=ex的切线21解:(1)由题设得,化简得,所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点(2)(i)设直线PQ的斜率为k,则其方程为由得记,则于是直线的斜率为,方程为由得设,则和是方程的解,故,由此得从而直线的斜率为所以,即是直角三角形(ii)由(i)得,所以PQG的面积设t=k+,则由k0得t2,当且仅当k=1时取等号因为在2,+)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为因此,PQG面积的最大值为22解:(1)因为在C上,当时,.由已知得.设为l上除P的任意一点.在中,经检验,点在曲线上.所以,l的极坐标方程为.(2)设,在中, 即.因为P在线段
10、OM上,且,故的取值范围是.所以,P点轨迹的极坐标方程为 .23解:(1)当a=1时,.当时,;当时,.所以,不等式的解集为.(2)因为,所以.当,时,所以,的取值范围是.绝密启用前2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)答案解析版一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设集合A=x|x2-5x+60,B= x|x-1b,则A. ln(ab)0B. 3a0D. ab【答案】C【解析】【分析】本题也可用直接法,因为,所以,当时,知A错,因为是增函数,所以,故B错;因为幂函数是增函数,所以,知C正确;取,满足,知D错【详解】取,
11、满足,知A错,排除A;因为,知B错,排除B;取,满足,知D错,排除D,因为幂函数是增函数,所以,故选C【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断7.设,为两个平面,则的充要条件是A. 内有无数条直线与平行B. 内有两条相交直线与平行C. ,平行于同一条直线D. ,垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断【详解】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则
12、内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误8.若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程,即可解出,或者利用检验排除的方法,如时,抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(2,0),排除A,同样可排除B,C,故选D【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,所以,解得,故选D【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养
13、9.下列函数中,以为周期且在区间(,)单调递增的是A. f(x)=cos 2xB. f(x)=sin 2xC. f(x)=cosxD. f(x)= sinx【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养画出各函数图象,即可做出选择【详解】因为图象如下图,知其不是周期函数,排除D;因为,周期为,排除C,作出图象,由图象知,其周期为,在区间单调递增,A正确;作出的图象,由图象知,其周期为,在区间单调递减,排除B,故选A【点睛】利用二级结论:函数的周期是函数周期的一半;不是周期函数;10.已知a(0,),2sin2=cos2+1,则sin=A. B. C.
14、 D. 【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系,利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案【详解】,又,又,故选B【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查,中等难度,判断正余弦正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出三角函数值的正负,很关键,切记不能凭感觉11.设F为双曲线C:(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点若|PQ|=|OF|,则C的离心率为A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】准确画图,由图形对称性得出P点坐标,代入圆的方程得到c与a关系,可求双
15、曲线的离心率【详解】设与轴交于点,由对称性可知轴,又,为以为直径的圆的半径,为圆心,又点在圆上,即,故选A【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来12.设函数的定义域为R,满足,且当时,.若对任意,都有,则m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题为选择压轴题,考查函数平移伸缩,恒成立问题,需准确求出函数每一段解析式,分析出临界点位置,精准运算得到解决【详解】时,即右移1个单位,图像变为原
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