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<p>2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）
初 &nbsp;赛 &nbsp;试 &nbsp;卷
（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月18日8:30——10:30）
一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母
代号填写在下表相应题号下的方格内
1. 若m为实数，则代数式+m的值一定是
&nbsp; &nbsp; &nbsp; A. 正数 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B.0 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C.负数 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D.非负数
2．如图1所示，是两架处在平衡状态的天平，那么，对于a、b、c三种物体的重量，下列判断正确的是
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;A．c&gt;a &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B．a&lt;b &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C．a&lt;c &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D. b&lt;c
3. 如图2，点C是∠PAQ的平分线上一点，点B、B′分别在边AP、AQ上，如果再添加一个条件，即可推出AB=AB′,那么该条件不可以是 &nbsp; &nbsp;
图2
A. BB′⊥AC &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B. CB=CB′ &nbsp; &nbsp; C. ∠ACB=∠ACB′ &nbsp; &nbsp; &nbsp;D. ∠ABC=AB′C
&nbsp;

图1

4．图3是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为a、b，则（a+b）2的值是

&nbsp; &nbsp; &nbsp; A．13 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．19 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C．25 &nbsp; &nbsp;D．169 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;图3
5．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于
A.2005 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B.2006 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C.2007 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D.2008
6．将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为
A．37 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B．36 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C．35 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．34
7． 某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份菜单单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），旅游团领队交代:每人可选不同的菜，但金额都须正好10元，且每一种菜最多只能买一份，这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中，至少有一个方案的人数不少于
A．9人 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B．10人 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．11人 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．12人
8．如图4是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这立体图形中小正方体共有（ &nbsp;）块

A．9 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．10 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C．11 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D．12
9．如图5，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120，∠A=26,则∠A′DB的度数是
A．120 &nbsp; &nbsp; &nbsp; B．112 &nbsp; &nbsp; &nbsp;C．110 &nbsp; &nbsp; D．108
10. 方程的正根的个数是
A．0个 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B．1个 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C．2个 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D．3个
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）
11．若表示不超过x的最大整数，如等，则_________
12．在直径为4cm的⊙O中，长度为cm的弦BC所对的圆周角的度数为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;.
13．如图6，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可以使小灯泡放光，那么随机闭合其中两个开关，能使小灯泡发光的概率为 &nbsp; &nbsp; &nbsp;____________°.
14．如图7，在△ABC中，AB=5,AC=3,D为BC的中点，AD=2，则tan∠BAD= __________.

15．若干个 装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同，如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且最后参加的一个人装卸的时间是第一个人的，则按改变的方式装卸，自始至终共需时间 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 小时. &nbsp;
16.在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用图8中的实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是 &nbsp; &nbsp; &nbsp;.
17.已知a＜3，b＞3，且，ab=3,则k的最小整数值是_____________.
18.若，且x、y、z均为非负数，则的最大值为_________________.
三、解答题(本大题共2小题，每小题15分，满分30分)
19. 已知在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC=4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度＜＜90），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图所示）。那么，在上述旋转过程中：
（１）线段ＢＨ与ＣＫ具有怎样的数量关系？四边形ＣＨＯＫ的面积是否发生变化？证明你发现的结论；
（２）连接ＨＫ，设ＢＨ＝ｘ．
①当△ＣＫＨ的面积为时，求出ｘ的值。
②试问△ＯＫＨ的面积是否存在最小值，若存在，
求出此时ｘ的值，若不存在，请说明理由。

20. 某农机租赁公司共有５０台联合收割机，其中甲型２０台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：

每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800元
1600元
B地区
1600元
1200元

（１） 设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；
（２） 若使农机租赁公司这５０台收割机一天所获租金不低于７９６００元，试写出满足条件的所有分派方案；
（３） 请你为农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司５０台收割机每天获得租金最高，并说明理由。

2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）
初赛试卷参考答案
一、选择题：1. D；2. A；3. B ；4. C；5. D；6. B；7. C； 8. A； 9. B； 10. A。
1.提示：若m≥0，则|m|+ m= m=2 m≥0；若m&lt;0，则|m|+ m=－m+ m =0，故选D；
2.提示：由左天平知a＞b，由右天平知b＞c，∴a＞c故选A；
3.提示：由已知条件和选项B不能保证△ACB≌△ACB′，从而无法推出AB=AB′，故选B；
4.提示：依题意知（a－b）2=1，∴a2－2ab+ b2=1，又∵a2+ b2=13，∴2ab=12，
∴（a+b）2=a+2ab+ b2=13+12=25，故选C；
5.由已知条件得m2－2006m+1=0，∴m2－2005m= m－1，m2+1= 2006m，
于是原式=m－1++3=－1++3= +3=+3=3005+3=2008，
故选D；
6.提示：每隔3cm剪一刀共剪72÷3－1=24－1=23（刀），
每隔4cm剪一刀，共剪72÷4－1=17（刀），
所以应共剪23+17=40（刀），但其中重复位置的刀数为：72÷12－1=5（刀），
因此互不重复的刀数为40－5=35（刀），
所以72cm长的绳子按要求被剪的段数为35+1=36（段），故选B，
7.提示：因为每份菜单价为别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），共9种菜，
所有符合要求的购菜方案为：
1+9，2+8，3+7，4+6，1+2+7，1+3+6，1+4+5，2+3+5，1+2+3+4，共9种，
又共有92人就餐，∴92÷9=10…余2，故选C；
8.提示：从俯视图知该立体图形从前到后共排了三排小正方体，
各位置上小正方体的个数如图所示，故选A； &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
9.提示：分别延长BD，CE相交，则交点即为点A，
由三角形中位线的性质知DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=180°－∠C－∠A=180°－120°－26°=34°，
又由轴对称的性质知∠A′DE=∠ADE=34°，
∴∠A′DB=180°－2×34°, ∴∠A′DB=180°－2×34°=112°,
故选B；
10.提示，分别画出函数y=2x－x2和y=在x＞0的图象（如 图所示），
因为函数y=2x－x2和y=的图象在第一象限内无交点，
因此，方知2x－x2=无正数根，故选A。
另解：令2x－x2=0，解得x1=0，x2=2，易知方程2x－x2=正数解x的值的范围应是0&lt;x&lt;2，而此时2x－x2=－（x－1）2+1≤1，＞1，因此，原方程无正数解。
二、填空题：11.10；12.60°或120°；13.；14.；15.16；16.24＜x＜38；17. －2；18.130。
11. －10，提示：〔〕+3〔－〕=2+3（－4）=2－12=10；
12. 60°或120°，提示：作⊙0的直径AB，连结AC，
则在△ABC中，AB=4，BC=2，∠C=90°，∴∠A=60°，
设BC所对的圆周角为∠P.当∠P的顶点P在上时，∠P=∠A=60°，
当∠P的顶点P在劣弧上时，∠P+∠A=180°，∴∠P=120°；
13. ，提示：画出树状图求解，答案为；
14. ，提示：延长AD到E，使DE=AD=2，连结BE，则△BDE≌△CDA∴BE=AC=3，
又AE=4，AB=5，显然△AEB为Rt△，∠E=90°，∴tan∠BAD==；
15.16，提示：设自始至终需x小时，由于每个工人的装卸速度相同，且工作时间是等差递减的，因此，这些工人的装卸时间的平均数为（x+x）；于是得方程（x+x）=10；
16.24</p><x<38，提示：分别求线段ab、bc与线段od的交点的横坐标。 b="k－1，ab=3，代入上述不等式，得3－3(k－1)+9＜0，解得k">5。
18.130，提示：由用x来表示y、z，得y=40－2x，z=x－10，
又由y≥0，z≥0，得解得10≤x≤20，
又把y=40－2x，z=x－10代入M=5x+4y+2z得，M=－x+140，
显然M是关于x的一次函数，且M随x增大而减小，
所以当x=10时，M的最大值为130。
三、解答题：
19.（1）在旋转过程中，BH=CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC面积的一半.
理由如下：连结OC∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，COAB
∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB，
&nbsp; &nbsp; 又 ∵∠COK与∠BOH均为旋转角，
∴∠COK=∠BOH=
∴△COK≌△BOH
∴BH=CK，S四边形CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=S△ABC=4.
（2）①由（1）知CK=BH=x，∵BC=4，∴CH=4－x，
根据题意，得CH·CK=，即(4－x）x=3，解这个方程得x1=1，x2=3，
此两根满足条件：0＜x＜4所以当△CKH的面积为时，x的取值是1或3；
②设△OKH的面积为S，由（1）知四边形CHOK的面积为4，于是得关系式：
S=4－S△CKH
=4－x（4－x）
=（x2－4x）+4
=（x2－2）+2
当x=2时，函数S有最小值2，
∵x=2时，满足条件0＜x＜4，
∴△OKH的面积存在最小值，此时x的值是2.
20.（1）由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30－x）台，派往A、B地区的甲型收割机分别为（30－x）台和（x－10）.
∴y=1600x+1200（30－x）+1800（30－x）+1600（x－10）
=200x+74000 &nbsp;（10≤x≤30）
（2）由题意，得200x+74000≥79600,解得x≥28，
∵10≤x≤30，x是正整数
∴x=28、29、30
∴有3种不同分派方案：
①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区；
②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区；
③当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区；
（3）∵y=200x+74000中y随x的增大而增大
∴当x=30时，y取得最大值，此时，y=200×30+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元.

初三数学竞赛试题(初试)06.10.18
一、 填空题(每题5分，共70分)
1. 计算 ÷=__________________.
2. 在△ABC中，AB=3，AC=4，高AD=2.4，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R，则R的最小值是____________.
3. 已知，实数m満足,则m－20072=______.
4. 方程=mx+2有一负根而无正根，则实数 m的取值范围是________________.
5. 方程x2－(m+2)x+m2+1=0有实根 α、β，则α2+β2的最大值是___________.
6. 某校为方便学生中午在校就餐，与某快餐公司联系为学生供应价格不等的6种盒饭(每人只限一份)，右图是某一天销售情况统计图，条形框上的百分数是销售的该种盒饭占总销售量的百分数。若该天销售了1500份盒饭，加工各种盒饭的成本如下表所示。每天快餐公司可盈利_________元。
单位(元)
2
3
4
5
6
7
成本(元)
1.8
2.4
3
3.8
4.2
4.5
7. P为△ABC内一点，AP、BP、CP与对边相交，把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图上标明，则△ABC的面积等于__________。

8. 如图，大半圆的弦AB与小半圆相切，且AB∥CD，AB=4。则阴影部分的面积是__________________。
9. 方程组的解是_________________. &nbsp;

10. 如图，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCD的三边DA、AB、BC围成，隧道最大高度为4.9米，AB=10米，BC=2.4米，若有一辆高为4米、宽为2米的集装箱的汽车要通过隧道，为了使箱顶不碰到隧道顶部，又不违反交通规则(汽车应靠道路右侧行驶，不能超过道路中线)，汽车的右侧必须离开隧道右壁___________。
11. 已知， a+d2=2005, &nbsp;b+d2=2006, &nbsp;c+d2=2007,且abc=4，
则=_____________________。
12. 三个动点A、B、C分别在同一圆周上沿同一方向作圆周运动，并且同时从同一点出发，A跑在B前面，接着又沿圆周追到B的背后，并且在出发8秒钟后，第一次追上B，同样在出发10秒钟后，B第一闪追上C，问A第一次追上C需用__________秒。
13. 如图，正方形ABCD的边长为2，又BE∥AC，且AE=AC，则BE=__________。
14. 长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴转动一周，则得到的旋转体的体积是___________.
二、 解答题(共50分)
.A
B .
O .
15. 桌上有一圆柱形玻璃杯高12㎝，底面周长18㎝，在杯内壁离杯口3㎝的A处有一滴密糖，一条小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至密糖相对方向离桌面3㎜的B处时(即A、B在底面的射影的連线段经过底面的圆心O)，突然发现了密糖，问小虫怎样爬到达密糖最近？它至少爬多少路才能到达密糖所在位置。(10分)

16. 某计算装置有一个数据入口A和一个运算结果的出口B，将自然数中的各数依次输入A口，从B口分别得到输出的数。结果表明：

①从A口输入n=1时，从B口得到a1=;
②当n≥2时，从A口输入n，从B口得到的结果是将前一结果an-1先乘以自然数中和第
n－1个奇数再除以自然数中和第n+1个奇数，
试问：(1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？
&nbsp; &nbsp; &nbsp;(2)从A口输入2008时，从B口得到什么数？
&nbsp; &nbsp; &nbsp;(3)求：a1+a2+a3……+a2008的值。

答案 ：
1.
2.2.5
3.2008
4.m&gt;－1且m≠0
5.6
6.1677
7.315
8.2π
9. 或
10.大于2m小于3m
11.
12.
13.
14.
15.6
16.(1)a2=, a3=,
&nbsp;(2) a2008==
&nbsp;(3) a1+a2+a3……+a2008=

2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ &nbsp; &nbsp;）
（A）36 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（B）37 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （C）55 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（D）90
答：C
解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．
故选C．
2．已知，，且=8，则a的值等于（ &nbsp; &nbsp;） &nbsp;
（A）－5 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （B）5 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（C）－9 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （D）9 &nbsp;
答：C．
解：由已知可得，．又
=8，所以 &nbsp; &nbsp;解得a=－9
故选C．
3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ &nbsp; &nbsp;）
（A）h&lt;1 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（B）h=1 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （C）1<h<2 h="">2
答：B．
解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|&lt;|a|），则点B的坐标为
（－a，a2），由勾股定理，得，
， &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
所以 &nbsp; &nbsp; ．
由于，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h= a2－c2=1
故选B．
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ &nbsp; &nbsp;）
（A）2004 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（B）2005 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（C）2006 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（D）2007
答：B．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°．
因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34= k－33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k－33) ×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005．
当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了
58＋33＋33×58=2005（刀）．
故选B．
（第5题图）
A
B
C
D
O
Q
P
5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（ &nbsp; &nbsp;）
（A）
（B）
（C）
（D）
答：D．
（第5题图）
A
B
C
D
O
Q
P
解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m，
QA=r－m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．
即 &nbsp; (r－m)(r＋m)=m·QD ，所以 &nbsp;QD=．
连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，
即 &nbsp; &nbsp; &nbsp; ， &nbsp; &nbsp;解得
所以，
故选D．
二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a&lt;b，则a＋b＋c的最大值为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ．
答：5013．
解：由，，得 ．
因为，a<b，a为整数，所以，a的最大值为1002． a="" b="" c="" d="" g="" f="" e="">400，
所以，12.5≤x&lt;13.5． &nbsp; &nbsp;故x=13，此时．
9．已知0&lt;a&lt;1，且满足，则的值等于 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;．(表示不超过x的最大整数)
答：6．
解：因为0&lt;，所以，，…，等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以 10=&quot;&quot; x=&quot;1250×(208－71a)&quot; a=&quot;&quot;&gt;－1．
当a&gt;－1时， =．………………10分
又当时，由①，②得 &nbsp; &nbsp; ， &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ③
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ④
将④两边平方，结合③得
化简得 &nbsp;， &nbsp; &nbsp; 故 &nbsp; ，
解得，或．
所以，a的取值范围为a&gt;－1且，．………………………15分
解法二：因为，，所以
，
所以 &nbsp; &nbsp;． 又，所以，为一元二次方程
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;⑤
&nbsp; &nbsp; 的两个不相等实数根，故，所以a&gt;－1．
当a&gt;－1时， =．………………10分
&nbsp; &nbsp; 另外，当时，由⑤式有 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ，
即 &nbsp; &nbsp; &nbsp;或 ，解得，或．
当时，同理可得或．
所以，a的取值范围为a&gt;－1且，．………………………15分
（第13题）
A
B
C
O
P
E
K
13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．
证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线，
所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;△KPE∽△KAP，
所以 &nbsp; &nbsp; ， &nbsp;即 &nbsp;．
&nbsp; &nbsp; 由切割线定理得 &nbsp; &nbsp;
所以 &nbsp; &nbsp; ． &nbsp; &nbsp; &nbsp;…………………………10分
因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是
&nbsp; 故 &nbsp; &nbsp; &nbsp; ，
即 &nbsp; &nbsp; PE·AC=CE·KB． &nbsp;………………………………15分
14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．
解：设10个学生为，，…，，n个课外小组，，…，．
首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾． &nbsp; &nbsp; ………………………………5分
若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设恰好参加，，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与没有同过组，矛盾．
所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组，，…，的人数之和不小于3×10=30．
另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组，，…，的人数不超过5n， &nbsp;故 &nbsp;5n≥30， &nbsp; 所以n≥6． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;……………………………10分
下面构造一个例子说明n=6是可以的．
，，，
，，．
容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．
所以，n的最小值为6． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ……………………………15分

中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案

题 &nbsp;号
一
二
三
总 &nbsp;分
1～5
6～10
11
12
13
14
得 &nbsp;分

评卷人

复查人

答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.
2．解答书写时不要超过装订线.
3．草稿纸不上交.
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）
1．已知实数满足 ，则的值为（ &nbsp; ）．
（A）7 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （B） &nbsp; &nbsp; （C） &nbsp; &nbsp; （D）5
【答】（A）
解：因为，≥0，由已知条件得
， ，
所以 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 7．
2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（ &nbsp; &nbsp;）．
&nbsp; &nbsp;（A） &nbsp; &nbsp; &nbsp; （B） &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （C） &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （D）
【答】（C）
解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知
＝＞0，即＞4.
通过枚举知，满足条件的有17对. 故.

3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( &nbsp; &nbsp; )．
&nbsp; （A）6条 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（B） 8条 &nbsp; &nbsp; &nbsp;（C）10条 &nbsp; &nbsp; &nbsp; （D）12条
（第3题）
【答】（B）
解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．
当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．
所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．

4．已知是半径为1的圆的一条弦，且．以为一边在圆内作正△，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（ &nbsp; &nbsp;）．
（A） &nbsp; &nbsp; &nbsp; （B）1 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（C） &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （D）a
【答】（B）
解：如图，连接OE，OA，OB． 设，则
．
又因为

，
（第4题）
所以≌，于是．

5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ &nbsp; &nbsp;）．
（A）2种 &nbsp; &nbsp; &nbsp;（B）3种 &nbsp; &nbsp; &nbsp; （C）4种 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（D）5种
【答】（D）
解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．
首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．
又如果（1≤i≤3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．
所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：
2，1，3，4，5； &nbsp; &nbsp;2，3，5，4，1； &nbsp; &nbsp;2，5，1，4，3； &nbsp;
4，3，1，2，5； &nbsp; &nbsp;4，5，3，2，1．

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;．
【答】，或．
解：由，得
，
依题意有 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
解得，，或．

7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; 分钟．
【答】4．
解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米．
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;①
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;． &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;②
由①，②可得 ，所以 ．
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．

（第8题5数，段成比例，所以��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������）
8．如图，在△中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则FC的长为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;．
【答】9．
解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB．
又，
所以 ，
（第8题答案5数，段成比例，所以��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������）
所以 ．
因此 9．

9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;．
【答】．
解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为，则
，
所以 &nbsp; ．
（第8题答案图5数，段成比例，所以��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������）
（第8题答案图5数，段成比例，所以��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������）
因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此
（第9题答案5数，段成比例，所以��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������）
，
所以 &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;，
故 &nbsp; &nbsp; ．

10．关于x，y的方程的所有正整数解为 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;．
【答】
解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．
设，则
，
同上可知，a，b都是偶数．设，则
，
所以，c，d都是偶数．设，则
，
于是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ＝，
其中s，t都是偶数．所以
≤．
所<!--，所以，，…，等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以--></b，a为整数，所以，a的最大值为1002．></h<2></x<38，提示：分别求线段ab、bc与线段od的交点的横坐标。>