2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版).pdf
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1、第 1 页(共 16 页)2013 年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题每小题小题每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的要求的 1(5 分)已知集合 M=x|3x1,xR,N=3,2,1,0,1,则 MN=()A2,1,0,1 B3,2,1,0 C2,1,0 D3,2,1 2(5 分)=()A2 B2 C D1 3(5 分)设 x,y 满足约束条件,则 z=2x3y 的最小值是()A7 B6 C5 D3 4(5 分)ABC 的内角
2、 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=,C=,则ABC 的面积为()A2+2 B C22 D1 5(5 分)设椭圆 C:=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 C 上的点 PF2F1F2,PF1F2=30,则 C 的离心率为()A B C D 6(5 分)已知 sin2=,则 cos2(+)=()A B C D 7(5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 N=4,那么输出的 S=()A1+B1+C1+D1+8(5 分)设 a=log32,b=log52,c=log23,则()Aacb Bbca Ccab Dcba 9(5 分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系
3、Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为()A B 第 2 页(共 16 页)C D 10(5 分)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为()Ay=x1 或 y=x+1 By=(x1)或 y=(x1)Cy=(x1)或 y=(x1)Dy=(x1)或 y=(x1)11(5 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()Ax0R,f(x0)=0 B函数 y=f(x)的图
4、象是中心对称图形 C若 x0是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(,x0)上单调递减 D若 x0是 f(x)的极值点,则 f(x0)=0 12(5 分)若存在正数 x 使 2x(xa)1 成立,则 a 的取值范围是()A(,+)B(2,+)C(0,+)D(1,+)二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 4 分分 13(4 分)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是 14(4 分)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则=15(4 分)已知正四棱锥 OABCD 的体积为,底面边长为,则以 O 为球心,OA 为
5、半径的球的表面积为 16(4 分)函数 y=cos(2x+)()的图象向右平移个单位后,与函数 y=sin(2x+)的图象重合,则=三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(12 分)已知等差数列an的公差不为零,a1=25,且 a1,a11,a13成等比数列()求an的通项公式;()求 a1+a4+a7+a3n2 18(12 分)如图,直三棱柱 ABCA1B1C1中,D,E 分别是 AB,BB1的中点()证明:BC1平面 A1CD;()AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱锥 CA1DE 的体积 第 3 页(共 16 页)19
6、(12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1t 亏损 300 元根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品以 X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 ()将 T 表示为 X 的函数;()根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率 20(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2,在 y 轴上截得线段长为 2()求圆心 P 的轨迹方程;
7、()若 P 点到直线 y=x 的距离为,求圆 P 的方程 21(12 分)已知函数 f(x)=x2ex()求 f(x)的极小值和极大值;()当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围 第 4 页(共 16 页)选做题请考生在第选做题请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写清题号时请写清题号 22【选修 41 几何证明选讲】如图,CD 为ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BCAE=
8、DCAF,B、E、F、C 四点共圆(1)证明:CA 是ABC 外接圆的直径;(2)若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值 23已知动点 P、Q 都在曲线(为参数)上,对应参数分别为=与=2(02),M 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程;(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 24(14 分)【选修 45;不等式选讲】设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明:()()第 5 页(共 16 页)2013 年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)参
9、考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题每小题小题每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的要求的 1(5 分)已知集合 M=x|3x1,xR,N=3,2,1,0,1,则 MN=()A2,1,0,1 B3,2,1,0 C2,1,0 D3,2,1 【考点】1E:交集及其运算菁优网版权所有【专题】11:计算题【分析】找出集合 M 与 N 的公共元素,即可求出两集合的交集【解答】解:集合 M=x|3x1,xR,N=3,2,1,0,1,MN=2,1,0 故选:C【点评】此题考查了交集及其
10、运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2(5 分)=()A2 B2 C D1 【考点】A8:复数的模菁优网版权所有【专题】11:计算题【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果【解答】解:=故选:C【点评】本题考查复数的模的求法,考查计算能力 3(5 分)设 x,y 满足约束条件,则 z=2x3y 的最小值是()A7 B6 C5 D3 【考点】7C:简单线性规划菁优网版权所有【专题】59:不等式的解法及应用【分析】先画出满足约束条件:,的平面区域,求出平面区域的各角点,然后将角点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数 z=2x3y 的最小值【解答】解:根据题意,画出可行域与目标函数
11、线如下图所示,由得,由图可知目标函数在点 A(3,4)取最小值 z=2334=6 故选:B 【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解 第 6 页(共 16 页)4(5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=,C=,则ABC 的面积为()A2+2 B C22 D1 【考点】%H:三角形的面积公式;HP:正弦定理菁优网版权所有【专题】58:解三角
12、形【分析】由 sinB,sinC 及 b 的值,利用正弦定理求出 c 的值,再求出 A 的度数,由 b,c 及 sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积【解答】解:b=2,B=,C=,由正弦定理=得:c=2,A=,sinA=sin(+)=cos=,则 SABC=bcsinA=22=+1 故选:B【点评】此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,以及两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键 5(5 分)设椭圆 C:=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 C 上的点 PF2F1F2,PF1F2=30,则 C 的离心率为()A B C D 【考点】
13、K4:椭圆的性质菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设|PF2|=x,在直角三角形 PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率的性质即可求得答案【解答】解:|PF2|=x,PF2F1F2,PF1F2=30,|PF1|=2x,|F1F2|=x,又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c 2a=3x,2c=x,C 的离心率为:e=故选:D【点评】本题考查椭圆的简单性质,求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键,考查理解与应用能力,属于中档题 6(5 分)已知 sin2=,则 cos2(+)=()A B C D 【考点】GE:诱导公式;
14、GG:同角三角函数间的基本关系;GS:二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】56:三角函数的求值【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用诱导公式变形,将已知等式代入计算即可求出值【解答】解:sin2=,cos2(+)=1+cos(2+)=(1sin2)=(1)=故选:A【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键 7(5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 N=4,那么输出的 S=()第 7 页(共 16 页)A1+B1+C1+D1+【考点】EF:程序框图菁优网版权所有【专题】27:图表型【分析】由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给
15、的顺序可知当条件满足时,用 S+的值代替 S 得到新的 S,并用 k+1 代替 k,直到条件不能满足时输出最后算出的 S 值,由此即可得到本题答案【解答】解:根据题意,可知该按以下步骤运行 第一次:S=1,第二次:S=1+,第三次:S=1+,第四次:S=1+此时 k=5 时,符合 kN=4,输出 S 的值 S=1+故选:B 【点评】本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构,以及表格法的运用,属于基础题 8(5 分)设 a=log32,b=log52,c=log23,则()Aacb Bbca Ccab Dcba 【考点】4M:对数值大小的比较菁优网版权所有
16、第 8 页(共 16 页)【专题】11:计算题【分析】判断对数值的范围,然后利用换底公式比较对数式的大小即可【解答】解:由题意可知:a=log32(0,1),b=log52(0,1),c=log231,所以 a=log32,b=log52=,所以 cab,故选:C【点评】本题考查对数值的大小比较,换底公式的应用,基本知识的考查 9(5 分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为()A B C D 【考点】L7:简单空间图形的三视图菁优网版
17、权所有【专题】11:计算题;13:作图题【分析】由题意画出几何体的直观图,然后判断以 zOx 平面为投影面,则得到正视图即可【解答】解:因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),几何体的直观图如图,是正方体的顶点为顶点的一个正四面体,所以以 zOx 平面为投影面,则得到正视图为:故选:A 【点评】本题考查几何体的三视图的判断,根据题意画出几何体的直观图是解题的关键,考查空间想象能力 10(5 分)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点若|AF|=3|BF|,则 l
18、 的方程为()Ay=x1 或 y=x+1 By=(x1)或 y=(x1)Cy=(x1)或 y=(x1)Dy=(x1)或 y=(x1)【考点】K8:抛物线的性质菁优网版权所有【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意,可得抛物线焦点为 F(1,0),由此设直线 l 方程为 y=k(x1),与抛物线方程联解消去 x,得yk=0再设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系和|AF|=3|BF|,建立关于 y1、y2和 k 的方程组,解之可得 k 值,从而得到直线 l 的方程【解答】解:抛物线 C 方程为 y2=4x,可得它的焦点为 F(1,0),设直线 l
19、方程为 y=k(x1)由消去 x,得yk=0 第 9 页(共 16 页)设 A(x1,y1),B(x2,y2),可得 y1+y2=,y1y2=4(*)|AF|=3|BF|,y1+3y2=0,可得 y1=3y2,代入(*)得2y2=且3y22=4,消去 y2得 k2=3,解之得 k=直线 l 方程为 y=(x1)或 y=(x1)故选:C 【点评】本题给出抛物线的焦点弦 AB 被焦点 F 分成 1:3 的两部分,求直线 AB 的方程,着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识,属于中档题 11(5 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()
20、Ax0R,f(x0)=0 B函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C若 x0是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(,x0)上单调递减 D若 x0是 f(x)的极值点,则 f(x0)=0 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值菁优网版权所有【专题】16:压轴题;53:导数的综合应用【分析】对于 A,对于三次函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,由于当 x时,y,当 x+时,y+,故在区间(,+)肯定存在零点;对于 B,根据对称变换法则,求出对应中心坐标,可以判断;对于 C:采用取特殊函数的方法,若取 a=1,b=1,c=0,则 f(x)=x3x2x,利用导
21、数研究其极值和单调性进行判断;D:若 x0是 f(x)的极值点,根据导数的意义,则 f(x0)=0,正确【解答】解:A、对于三次函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,A:由于当 x时,y,当 x+时,y+,故x0R,f(x0)=0,故 A 正确;B、f(x)+f(x)=(x)3+a(x)2+b(x)+c+x3+ax2+bx+c=+2c,f()=()3+a()2+b()+c=+c,f(x)+f(x)=2f(),点 P(,f()为对称中心,故 B 正确 C、若取 a=1,b=1,c=0,则 f(x)=x3x2x,对于 f(x)=x3x2x,f(x)=3x22x1 由 f(x)=3x22x10 得
22、 x(,)(1,+)由 f(x)=3x22x10 得 x(,1)函数 f(x)的单调增区间为:(,),(1,+),减区间为:(,1),故 1 是 f(x)的极小值点,但 f(x)在区间(,1)不是单调递减,故 C 错误;D:若 x0是 f(x)的极值点,根据导数的意义,则 f(x0)=0,故 D 正确 由于该题选择错误的,故选:C 第 10 页(共 16 页)【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用,利用导数求函数的单调区间,及导数的运算 12(5 分)若存在正数 x 使 2x(xa)1 成立,则 a 的取值范围是()A(,+)B(2,+)C(0,+)D(1,+)【考点】3E:函数单调性的性
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