导数应用八个专题汇总.doc

1.导数应用之函数单调性
题组1：
1.求函数的单调区间.

2.求函数的单调区间.

3.求函数的单调区间.

4.求函数的单调区间.

5.求函数的单调区间.

题组2：
1.讨论函数的单调区间.

2.讨论函数的单调区间.

3.求函数的单调递增区间.

4.讨论函数的单调性.

5.讨论函数的单调性.

题组3：
1.设函数.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)设函数在区间内是减函数,求的取值范围．

2.(1)已知函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
(2)已知函数在区间上单调递减,求实数的取值范围.

3.已知函数.
(1)若,求的单调区间；
(2)若在单调递增,在单调递减,证明:.
解：（1）当a="b=" -3时，f（x）=(x+3x-3x-3)e，故
=          ………………………………3分
当x<-3或0<x<3时，>0;     当-3<x<0或x>3时，<0,
从而f(x)在（-，-3），（0，3）上单调递增，在（-3，0），（3，+）上单调递减………. 6分
(2) …..7分
…………….……………8分

将……..…..…………….10分
………………………………………………..11分
.
由此可得a<-6,于是>6。…………………………………………………   12分

4.设函数,,
(1)若,求函数的单调区间；
(2)若与在区间内均为增函数,求的取值范围．

2.导数应用之极值与最值
1.设函数,且和均为的极值点．
(1)求,的值,并讨论的单调性；
(2)设,试比较与的大小．

2.设函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值.

3.设函数．
(1)若是函数的极值点,求的值；
(2)若函数,,在处取得最大值,求的取值范围．

4.已知函数.
(1)设是正项数列的前项和,,且点在函数的图象上,求证:点也在的图象上；
(2)求函数在区间内的极值.

5.设函数在,处取得极值,且．
(1)若,求的值,及函数的单调区间；
(2)若,求实数的取值范围．

6.设函数在处取得极大值,在处取得极小值,且.证明:,并求的取值范围.

7.已知是函数的一个极值点,
(1)求函数的解析式；
(2)若的图像与直线有三个不同的交点,求实数的取值范围.

8.已知是函数的一个极值点.
(1)求的解析式及其单调区间；
(2)若直线与曲线有三个交点,求的取值范围.

9.设函数．
(1)若函数仅在处有极值,求的取值范围；
(2)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围．

10.设是函数的一个极值点.
(1)求与的关系式(用表示),并求函数的单调区间；
(2)设,.若存在,使总成立,求的取值范围.

11.已知函数(且)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是．
(1)求函数的另一个极值点；
(2)求函数的极大值和极小值,并求时的取值范围．

12.设函数的图像上有两个极值点,其中为坐标原点,
(1)当点的坐标为时,求的解析式；
(2)当点在线段上时,求曲线的切线斜率的最大值.

3.导数应用之函数的零点
题组1：
1.函数在区间内有没有零点？为什么？
2.函数的零点所在的一个区间是【 】.
A. B. C. D.
3.函数的零点与的零点之差的绝对值不超过,则可以是【 】.
A. B.
C. D.
4.若,且函数的零点,则【 】.
A. B. C. D.
题组2：
5.设函数的图像在上连续,若满足____________,则方程在上有实根.
6.已知是函数的一个零点.若,,则【 】.
A., B.,
C., D.,
7.函数的零点个数为____________.
8.求证:函数在区间内没有零点.
题组3：
9.函数在区间内是否有零点？为什么？
10.求证:函数在区间内至少有两个零点.
11.求证:函数有且只有两个零点.
12.求证:函数有且只有两个零点.
13.设函数,若,,则在区间上的零点个数为【 】.
A.至多有一个 B.有且只有一个 　 C.有一个或两个 D.一个也没有
14.设,求证:函数有且只有两个零点.

15.判断函数在区间内的零点个数,并说明理由.

题组4：
16.设函数.
(1)证明:在区间内存在唯一的零点；
(2)设是在内的零点,判断数列的增减性．

17.设函数．
(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数的值；
(3)若方程有两个不等实根,求证:．

18.设函数有两个零点,求证:.

19.设函数有两个零点,,求证:.

20.记函数,求证:当为偶数时,方程没有实数根；
当为奇数时,方程有唯一实数根,且.

21.设函数,
(1)证明:对每个,存在唯一的,满足；
(2)证明:对任意,由(1)中构成的数列满足.

4.导数应用之图像的切线
题组1：
1.求平行于直线,且与曲线相切的直线方程.

2.求垂直于直线,且与曲线相切的直线方程.

3.求与直线夹角为,且与抛物线相切的直线方程.

4.设函数图像上动点处切线的倾斜角为,求的取值范围.

题组2：
5.求函数的图像在点处的切线方程,以及曲线与切线的所有交点坐标.

6.求函数的图像经过点的切线方程.

7.求函数的图像经过点的切线方程.

8.求经过坐标原点,且与函数的图像相切的直线方程.

9.设函数,曲线:在点处的切线为．
(1)求函数的解析式；
(2)求证:曲线上任意一点处的切线与直线,以及轴所围成三角形的面积为定值.

10.已知直线是函数的图像的一条切线.
(1)求的解析式；
(2)若是曲线上的动点,求曲线在点处的切线纵截距的最小值.
题组3：
11.已知直线是函数图像的一条切线,求实数的值.

12.已知,且过点可作函数图像的三条切线,证明:.

13.设函数的图像在点处的切线为.
(1)确定的值；
(2)设曲线在处的切线都过,证明:若,则；
(3)若过点可作曲线的三条不同切线,求的取值范围.

14.已知函数在区间,内各有一个极值点．
(1)求的最大值；
(2)当时,设曲线:在点处的切线穿过曲线(穿过是指:动点在点附近沿曲线运动,当经过点时,从的一侧进入另一侧),求的表达式．

15.由坐标原点向曲线引切线,切于不同于点的点,再由引切线切于不同于的点,如此继续下去……,得到点,求与的关系,及的表达式.

巩固练习：
1.求函数的图像经过点的切线方程.
2.求函数的图像经过点的切线方程.
3.如图,从点作轴的垂线交于曲线于点,
曲线在点处的切线与轴交与点；再从作轴的垂线交曲线于点,依次重复上述过程得到一系
列的点:,,,,…,,,记点的坐标为.
(1)求与之间的等量关系； (2)求.
5.导数应用之存在与任意
1.已知函数,其中．
(1)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式；
(2)若对于任意的,不等式在恒成立,求的取值范围．

2.已知函数.
(1)求的单调区间； (2)若对恒成立,求的取值范围；

3.设函数.
(1)求的单调区间； (2)若对恒成立,求的取值范围.

4.已知函数.
(1)求的单调区间； (2)若对都成立,求的最大值.

5.设函数.
(1)若,求的单调区间； (2)若当时,,求的取值范围.

6.设函数.
(1)若,求的最小值； (2)若当时,恒成立,求的取值范围.

7.设函数的图象与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为.
(1)求的极值；
(2)证明:当时,；
(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当,恒有.
8.设函数,
(1)讨论函数在区间内的单调性；
(2)若对恒成立,求实数的取值范围.

9.设函数.
(1)求证:；
(2)若对恒成立,求的最大值与的最小值.

10.已知函数,
(1)讨论函数的单调性；
(2)设,且对任意的,都有,求的取值范围.

11.已知是函数的一个极值点.
(1)求与的关系式(用表示),并求函数的单调区间；
(2)设,.若存在,使得成立,求的取值范围.

12.已知函数的图像过点,且在上递减,在上递增.
(1)求的解析式；
(2)若对任意的都有成立,求正实数的取值范围.

13.设函数.
(1)当时,求函数的递增区间；
(2)是否存在负实数,使得对任意的,都有？若存在,求的范围；若不存在,请说明理由.
6.导数应用之极值点偏移
1.(1)设不同的两点均在二次函数()的图像上,记直线的斜率为,求证:；
(2)设不同的两点均在“伪二次函数”()的图像上,记直线的斜率为,试问:还成立吗？

2.设函数．
(1)当时,求函数的单调递增区间；
(2)记函数的图像为曲线,设,是曲线上不同的两点,为线段的中点,过点作轴的垂线交曲线于点．试问:曲线在点处的切线是否平行于直线？

3.设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数的值；
(3)若方程有两个不等实根,求证:．

4.设函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为,求实数的值；
(2)若,求证:当时,有；
(3)若函数有两个零点,且是的等差中项,求证:.

5.设函数有两个零点,,求证:.

6.设函数的两个零点为,,求证:.

7.设函数,其中,
(1)求证:函数有且仅有两个零点,,且；
(2)对于(1)中的,,求证:.

8.设函数的图像在点处的切线方程为,求证:对满足的实数,都有成立.

7.导数应用之不等式证明(1)
1.证明:对任意的,都有.

2.已知,且,求证:.

3.设函数
(1)当时,求函数的极值；
(2)当时,证明:对任意的,当时,都有

4.已知函数在点处的切线垂直于轴,
(1)求函数的单调区间；
(2)当时,求证:.

5.设函数,且,.
(1)求,,,的解析式；
(2)求证:对任意的实数,以及任意的正整数,都有.

6.设函数在处取得极值,数列满足,.
(1)求函数的单调区间；
(2)求证:对任意的,都有；
(3)求证:对任意的,都有.

7.记函数,求证:当为偶数时,方程没有实数根；当
为奇数时,方程有唯一实数根,且.

8.设函数,
(1)证明:对每个,存在唯一的,满足；
(2)证明:对任意,由(1)中构成的数列满足.

8.导数应用之不等式证明(2)
1.设函数.
(1)若函数在上为增函数,求正实数的取值范围；
(2)当时,求证:对大于的任意正整数,都有.

2.设函数的最小值为,其中.
(1)若对任意的,有成立,求实数的最小值；
(2)证明:对大于的任意正整数,都有.

3.设函数,,
(1)讨论关于的方程在区间内的实数根的个数；
(2)求证:对任意的正整数,都有.

4.设函数,
(1)若函数在区间上递增,求实数的取值范围；
(2)证明:当时,；
(3)证明:对大于的任意正整数,都有.

5.设函数,其中,.在数列中,,且.
(1)求数列的通项.
(2)求证:对任意的正整数,都有.

6.设函数,
(1)若对均成立,求正实数的取值集合；
(2)求证:对任意的正整数,都有.

7.设函数,
(1)求证:函数有且只有一个零点；
(2)求证:对任意的正整数,都有.

8.(1)设函数,其中.求函数的最小值；
(2)用(1)的结果证明命题:设,,为正实数,若,则；
(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.

9.(1)求函数的最大值；
(2)设均为正实数,证明:若,则；
(3)设均为正实数,证明:若,则.
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