初一七年级下册初中数学中考知识点聚焦+第九章++一元二次方程.docx

第九章 一元二次方程
考情分析
高频考点
考查频率
所占分值
1.元二次方程的概念
★
7～12分
2.一元二次方程的解法
★★★
3.一元二次方程根的判别式
★★
4.一元二次方程根与系数的关系
★
5.利用一元二次方程解决实际问题
★★★
知能图谱

第19讲 一元二次方程的有关概念及解法
知识能力解读
知能解读（一）一元二次方程的有关概念
1一元二次方程的定义及一般形式
定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫作一元二次方程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“一元”“二次”“整式方程”,缺一不可，同时强调二次项的系数不为0.
一元二次方程的一般形式是：,其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项.
一元二次方程的形式：

项形式
二次项
一次项
常数项
一般形式

0
特殊形式

0
0

0
2—元二次方程的解的定义
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根.判定一个数是否为一元二次方程的解的方法是：只需将这个值代入一元二次方程的左右两边，看方程两边是否相等.若相等，则这个数是方程的解；若不相等，则这个数不是方程的解.
知能解读（二）一元二次方程的解法
解一元二次方程常用的方法有配方法、公式法和因式分解法.其中因式分解法是特殊解法，而配方法和由配方法推导出来的公式法是一般方法，一般方法对任何一元二次方程者随用.
1配方法
一般地，对于方程.
（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根成：，.
（2）当时，方程有两个相等的实数根.
（3）当时，因为对任意实数.都有，所以方程无实数根.
如果方程能化成或的形式，那么可得或.
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.配方的目的是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）化二次项系数为1：可在方程两边都除以二次项系数；
（2）移项：使方程左边是二次项和一次项,右边为常数项(移项时注意变号)；
（3）配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方形式，把方程化为的形式；
（4）如果变形后的方程右边的数为非负数，直接开平方解变形后的方程.
点拨
(1)配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四求解.
(2)配方一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1).
(3)用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转化为开平方所需的形式.配方：是为了降次,利用平方根的意义把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
2公式法
解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式，当时，方程的实数根可写成的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式.解一个具体的一元二次方程时,把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
点拨
用公式法解一元二次方程的记忆口诀
要用公式解方程，首先化成一般式.
调整系数随其后，使其成为最简比.
确定参数，计算方程判别式.
判别式值与零比，有无实根便得知.
若有实根套公式，若无实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将一元二次方程“降次”转化为一元一次方程来解的思想，运用这种方法的步骤：
（1）将所有项移到方程的左边，将方程的右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解.
方法技巧归纳
方法技巧（一）一元二次方程的识别方法
判断一个方程是一元二次方程，应抓住它的三个特征：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2且二次项系数不为0.
点拨
（1）正确理解掌握定义是解题的关键，尤其是准确掌握中“”这一条件.
（2）应先把方程化成一般形式后，再判断该方程是不是一元二次方程.
方法技巧（二）用配方法解一元二次方程
配方法解方程的关键在于配方，即先把方程整理成的形式，然后在方程两边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方形式.
点拨
（1）用配方法解一元二次方程必须先把二次：项系数化为1才能配方，这是关键的一步.
（2）配方的重要步骤是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方的目的是根据，将一般形式的一元二次方程化为的形式，然后再用直接开平方法求解.
方法技巧（三）用公式法解一元二次方程
用公式法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）把方程化为一般形式；
（2）确定的值,注意各项系数包括它们前面的符号；
（3）计算的值；
（4）当时，把及的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程无实数根.
点拨
用公式法解方程注意三点：一是将方程化为一般形式；二是熟记求根公式；三是掌握用此法解方程的步骤（前面已讲）.
方法技巧（四）用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的关键有三点：一是要将方程的右边化为0；二是熟练掌握因式分解的方法(提公因式法和公式法）；三是切忌方程两边同时除以含未知数的整式.
注意
（1）用因式分解法解一元二次方程时，方程右边必须为0.
（2）第（2）题中的方程两边不能同除以，这样容易丢掉根.遇到此类情形要先移项把方程一边化为0.
（3）第（4）题中，得出，不能只写成.
方法技巧（五）一元二次方程中的阅读理解题
点拨
本题体现了换元法在解高次方程中的应用，突出了解方程中的降次思想和转化思想.
方法技巧（六）含字母系数的方程的解法
注意
由于原方程对的取值没有限制条件，所以它不一定是一元二次方程，显然当或时，方程分别是不同的一元一次方程，当且时，方程才是一元二次方程，这种分类讨论思想要注意掌握.
易混易错辨析
易混易错知识
对一元二次方程的定义理解不透或思维不严谨，易出现错解.如判定一元二次方程时忽略“”的条件.
易混易错（一）忽略一元二次方程中“”的条件
易混易错（二）用求根公式时未化成一般形式致错
易混易错（三）解一元二次方程时丢根
易混易错（四）配方时未将系数化为1
易混易错（五）乱用因式分解
中考试题研究
中考命题规律
本讲的主要考点有一元一次方程的一般形式和一元二次方程的解法等，题型有填空题、选择题、解答题，近几年部分地区中考出现了阅读理解题、开放题等新题型，应予以关注.
中考试题（一）对一元二次方程相关概念的理解
点拨
已知一元二次方程的根求未知系数或有关代数式的值时，常把方程的根代入一元二次方程中求解.
中考试题（二）解一元二次方程
（1）用配方法解方程
（2）用公式法解方程
点拨
用公式法求解，先把一元二次方程化为一般形式，再计算，最后代入公式求解.
（3）用因式分解法解方程
中考试题（三）一元二次方程的探究创新
第20讲一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
知识能力解读
知能解读（一）一元二次方程根的判别式及应用
1一元二次方程根的判别式
将配方成后，可以看出，只有当时，方程才有实数根，这样的值就决定着一元一次方程根的情况.一般地，式子叫作一元二次方程根的判别式，通常用“”表示它，即.
的符号
方程根的情况

方程有两个不相等的实数根，即

方程有两个相等的实数根，即

方程无实数根
上面的结论反过来也成立，即当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，.
注意
（1）只适用于一元二次方程.只有确定是一元二次方程时，才能确定、、，求出.
（2）使用时，要先将一元二次方程化为一般形式后，才能确定、、，求出.
（3）当时，方程有实数根.
2一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式主要有以下应用：①不解一元二次方程，判别根的情况；②根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围.
知能解读（二）一元二次方程根与系数的关系及应用
1内容
若一元二次方程有实数根，设这两个实数根分别为，由求根公式得，令，.由此可得，.所以，.即对于一元二次方程来说，若是它的两个实数根，则，.
这一结论可表述为：一元一次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系.
注意
（1）根与系数的关系是在方程有根的前提下（即)才能够成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验是否非负.
（2）根与系数的关系的应用：①不解方程，求与方程的根有关的代数式的值；②已知方程一根，求方程的另一根；③与根的判别式相结合,解决一些综合题.
2应用
（1）验根：不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系，可以检验两个数是不是一元二次方程的两根.
（2）已知方程的一个根，求另一根及未知系数.
（3）不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求关于的对称式的值.
（4）已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.
3拓展
（1）与两根有关的几个代数式的变形：
①；
②；
③；
④.
（2）讨论一元二次方程根的符号
且

两根同为正数
两根同为负数
且

异号且正根绝对值大
异号且负根绝对值大
（3）以为根的一元二次方程（二次项系数为1）为.
方程技巧归纳
方法技巧（一）一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方根根的判别式阐明了根的存在性与系数的内在联系，它的应用非常广泛，现举例说明如下：
1不解方程，判断方程根的情况
解题时，一般分两步：（1）先求出的值；（2）由与零的关系判断方程根的情况.
点拨
判断一元二次方程根的情况要根据的值是大于0，小于0还是等于0来判断.当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根；当时，方程有两个相等的实数根.
2根据方程根的情况确定待定系数的取值
注意
方程有两个实数根，则；方程有两个不相等的实数根，则，解题时一定要注意两者的区别.
方法技巧（二）一元二次方程根与系数的关系的应用
一元二次方程根与系数的关系不仅提供了方程两根与系数之间的内在联系，也为我们处理有关一元二次方程问题提供了重要思路和方法.
方法技巧（三）根的判别式和根与系数关系的综合应用
易混易错辨析
易混易错知识
1.利用实数根的个数确定字母的取值范围时忽略.
2.关于的方程有两个实数根的大前提是原方程为一元二次方程，所以必须保证二次项系数，这个隐含条件常常成为命题设置的“陷阱在应用一元二次方程根与系数的关系时易出错.
要注意其成立的两个前提条件：（1)在一元二次方程条件下，注意二次项系数；(2)存在实数根的条件下，注意根的判别式.两者缺一不可.解题时，常常因为忽略某一方面导致出错.
易混易错(一)根据一元二次方程根的情况确定未知系数取值范围时忽略“”的条件）
易错易混（二）二次项系数或考虑不周致错
中考试题研究
中考命题规律
本讲的主要考点有根的判别式及根与系数的关系的简单应用，近年来，直接考查根的判别式及根与系数的关系的题目明显增加，题型以选择题、填空题为主，有时出现与解直角三角形、四边形、二次函数有关的综合题，题型有解答题和开放探究题.
中考试题（一）利用判别式方程根的情况
中考试题（二）根据方程根的情况求字母的取值范围
中考试题（三）已知方程的一个根，求另一个根及字母的值
中考试题（四）求关于方程两根的代数式的值
中考试题（五）已知两根关系，求某个字母的值
中考试题（六）一元二次方程的综合应用
第21讲实际问题与一元二次方程（实践与探究）
知识能力解读
知能解读（一）列一元一次方程解应用题得方法步骤
列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的拓展，两者的解题方法类似,但由于一元二次方程有两个实数解，所以要注意检验得出的方程的 解是否符合实际意义.
其步骤如下：
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系.
（2）设：选用适当的方式设未知数(直接设未知数或间接设未知数)，不要漏写单位，用含未知数的代数式表示题目中涉及的量.
（3）列：根据题目中的等量关系，用含未知数的代数式表示其他未知数，列出含未知数的等式.注意等号两边量的单位必须一致.
（4）解：解所列方程，求出未知数的值.
（5）验：一是检验得到的未知数的值是否为方程的解，二是检验方程的解是否符合题意.
（6）答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位.
知能解读(二)主要题型
列一元二次方程解应用题在日常生活、生产、科技等方面有着广泛的应用，如增长率(降低率)问题、利息问题、数字问题、利润问题、动点问题等.
方法技巧归纳
方法技巧（一）增长率（降低率）问题的解题方法
（1）增长量=原产量×增长率；（2）增产后的产量=原产量×（1+增长率）.
点拨
增长率问题：若设基数为，平均增长率为，则增长次后的值为.
方法技巧（二）利息问题的解题方法
解答此类问题的关键是理解实际生活中的一些概念，如本金、利率、利息等.
注意
对于存款利息问题，解题时一定要注意每次增长的基础量是否相同.
方法技巧（三）数字问题的解题方法
解答此类问题的关键是掌握好数的表示方法和设法.如：（1）两位数=十位数字×10+个位数字，三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字；（2）三个连续整数可设为，三个连续奇数（或偶数）可设为等.
点拨
（1）解决有关多位数的问题时，一般不直接设出这个多位数，而是间接设某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字.
（2）正确列出方程的关键是熟练掌握用未知数表示多位数的方法，如：两位数=十位数字×10+个位数字.
方法技巧（四）利润问题的解题方法
解决利润问题的关键是弄清标价、售价、成本价的实际意义及利润的两个等量关系：
（1）利润=售价-成本价（进货价）；（2）利润率=×100%.
点拨
利润=售价-进价，所以每千克核桃降价元后获利元，每天卖出核桃千克，这是解题的关键，注意根据最大让利原则应取6，而不取4.
方法技巧（五）动点问题的解题方法
动点问题关键是根绝动点运动时的起点和终点等条件列出方程求解.
点拨
通过分析这类问题，可以培养同学们的抽象思维能力.用“静”的方法来处理“动”的问题是解决运动型数学问题的基本思维技巧.如此题中的“静”就是指的长度为.
方法技巧（六）图形面积问题的解题方法
图形面积问题多涉及三角形全等、勾股定理、三角形三边关系及各种规则图形的面积公式，多考查矩形面积问题.
点拨
（1）列方程解应用题得关键是认真读题，找出题中的等量关系.（2）本题中的墙的长度对于方程的解有限制作用.
易混易错辨析
易混易错知识
忽略检验，导致结论错误.
列一元二次方程解决实际问题，是一元二次方程的一个重要应用.由于一般情况下一元二次方程有两个实数解，所以应注意检验得到的未知数的值是否符合题意及实际问题的意义.
易混易错（一）列一元二次方程解应用题时因忽视隐含条件而致误
易混易错（二）在解决有关比赛等问题时，因理解题意而致误
中考试题研究
中考命题规律
本讲的主要考点有列一元二次方程解决图形面积问题、增长率（降低率）问题和与市场经济有关的利润问题等实际问题.题型有选择题、填空题和解答题.
中考试题(一）图形面积问题
中考试题(二）增长率（降低率）问题
点拨
(1)有关百分率的问题常应用公式求解，其中是基数，是增长率或降低率，是变化次数，是经过次变化后的结果.（2)应用一元二次方程解应用题时要注意舍去不合题意的解.
中考试题(三）利润问题
点拨
本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键.此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.