高中数学空间向量与立体几何测试题.doc

空间向量与立体几何
一.选择题
1. 在下列命题中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知是空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得；其中正确的命题的个数是 （ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
2. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ）
（A）（）和（）； （B）（）；
（C）（）和（）； （D）（）；
3. 已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到M∈平面ABC的充分条件是 （ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）
4. 已知点B是点A（3，7，-4）在xOz平面上的射影，则等于 （ ）
（A）（9，0，16） （B）25 （C）5 （D）13
5. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（ ）A（-1，-2，5） B（-1,1,-1） C（1, 1,1） D（1，-1，-1）
6. 如图所示，在正三棱柱ABC——A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为 （ ）（A）60° （B）90° （C）105° （D）75°
7. 到定点的距离小于或等于1的点集合为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知均为单位向量,它们的夹角为60°,那么等于（ ）
A． B． C． D．4
9. 在平面直角坐标系中, ,沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角后,则线段AB的长度为（ ） A． B． C． D．
10. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二．填空题
11. 若空间三点A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p,3,q+2）共线，则p=______,q=______。
12. 设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．
13. 如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的余弦值等于________；
14.已知，，，若共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功是 .
15. 已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于 .

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号

题号
11
12
13
14
15
题号

三．解答题
16. 设向量并确定的关系，使轴垂直

17. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，
（1） 求线段PQ的长度；
（2） 求证PQ⊥AD；
（3） 求证：PQ//平面CDD1C1；

18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA  ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 ，E，F分别是AD，PC的中点
（Ⅰ）证明：PC  ⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

19. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点
（1） 证明：PEBC
（2） 若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

20. 如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得.
(1)求a的最大值;
(2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小;
(3)当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量
及点P到平面SCD的距离.

21. 如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①;
②;③;④;⑤;
(1)当在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值?请说明理由;
(2)在满足(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值;
(3)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n=1,2,3,…),若a取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个?试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小;

答案
1-5 AABBB 6-10 BACBB
11. 3，2 12. 13. 14. 14 15. 30°
16. 解：（9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28)
(3,5,-4)(2,1,8)=6+5-32=-21
由
即当满足＝0即使与z轴垂直.
17. 解：以D为坐标原点。DA、DC、DD1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（1，1，0），A（1，0，0），∵P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，∴P，Q（），∴，所以
（1）∴；
（2）∵，∴，∴PQ⊥AD；
（3）∵，，∴，又平面CDD1C1，PQ平面CDD1C1，∴PQ//平面CDD1C1；
18. 解法一 （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√  2,四边形ABCD是矩形。
∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √  2,0)，D(0，2 √  2，0)，P(0,0,2)
又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，√  2，0),F(1，√  2，1)。∴=（2，2 √  2，-2）=（-1，√  2，1）=（1,0,1），∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，
∴⊥，⊥，∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩  EF=F,[来源:Zxxk.Com]∴PC⊥平面BEF
（II）由（I）知平面BEF的法向量
平面BAP 的法向量
设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ，
则
∴ θ=45℃， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45
解法二 （I）连接PE，EC在
PA=AB=CD, AE=DE,
∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，
又F是PC 的中点，∴EF⊥PC,
又，F是PC 的中点，
∴BF⊥PC.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
又

19.
解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则
（Ⅰ）设 则
可得 因为所以

（Ⅱ）由已知条件可得
设 为平面的法向量
则 即因此可以取，
由，可得
所以直线与平面所成角的正弦值为

20. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0). (0<x<2)
(1) ∵
∴由得:
即:
∴当且仅当x=1时,a有最大值为1.此时P为BC中点;
(2) 由(1)知:
∴
∴异面直线AP与SD所成角的大小为
(3) 设是平面SCD的一个法向量,∵
∴由得
∴平面SCD的一个单位法向量
又在方向上的投影为
∴点P到平面SCD的距离为
21.
解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).(0≤x≤2)
(1) ∵
∴由PQ⊥QD得

∵
∴在所给数据中,a可取和两个值.
(2) 由(1)知,此时x=1,即Q为BC中点, ∴点Q的坐标为(1,1,0)
从而又为平面ADP的一个法向量,
∴,
∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为
(3) 由(1)知,此时,即满足条件的点Q有两个,
其坐标为
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AQ1,PA⊥AQ2,
∴∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.
由,得∠Q1AQ2=30°,
∴二面角Q1-PA-Q2的大小为30°.