高一数学分期付款.pptx

分期付款中的有关计算分期付款中的有关计算 教学目的：教学目的：（）了了解解什什么么是是分分期期付付款款，学学会会分分期期付付款款中中的的有有关关计计算算的的方方法法（二）能对各种类型的分期付款进行计算（二）能对各种类型的分期付款进行计算（三三）能能从从日日常常生生活活中中提提出出实实际际的的分分期期付付款款问问题题，并并对对其其中中的的有关问题进行计算有关问题进行计算教学重点与难点：教学重点与难点：理清有关概念并把付款等实际问题转化为数学中数列问题理清有关概念并把付款等实际问题转化为数学中数列问题 一一 概念概念 1分期付款分期付款分分期期付付款款是是商商家家为为了了促促进进商商品品的的销销售售，便便于于顾顾客客买买一一些些销销售售价价较较高高的的商商品品（如如房房子子、汽汽车车等等）所所采采用用的的一一种种付付款款方方式式，分分期期付付款款要注意：（要注意：（l）付款的间隔时间相同（付款的间隔时间相同（2）每期付款）每期付款 额相同额相同这里请大家思考：这里请大家思考：某某人人买买一一辆辆价价值值 120 000元元的的汽汽车车，要要在在一一年年内内分分 12次次(即即每每月还款一次）等额付款，月还款一次）等额付款，2复利计算复利计算 所所谓谓复复利利计计算算，即即上上期期（或或月月、或或年年）的的利利息息要要计计入入下下期期的本金例如，月利率为的本金例如，月利率为0.008，款额，款额a元过元过1个月就增值为个月就增值为a（10.008）=1.008a元元 1.008a(1+0.008)=1.0082 a 那么每次还那么每次还 10 000元可以吗？为什么元可以吗？为什么?再过一个月（即再过一个月（即2个月后）就增值为个月后）就增值为那么，经过那么，经过x个月后，个月后，a元增值为元增值为a(1+0.008)x 元元所谓单利计息是指当期利息不纳入下期的本金中去所谓单利计息是指当期利息不纳入下期的本金中去 3.单利计算：单利计算：填空：填空：1假假定定银银行行存存款款月月利利率率为为p，某某人人存存入入a元元，每每月月利利息息按按复复利利计计算算，过过1个个月月的的本本息息和和为为_；过过2个个月月的的本本息息和和为为_；过过6个个月月的的本本息息和和为为_；过过n个月的本息和为个月的本息和为_例例1.某某顾顾客客买买一一件件价价值值为为5000元元的的商商品品时时，采采用用分分期期付付款款(月月利利息息率率为为0.008)的的方方式式，那那么么在在一一年年内内将将款款全全部付清的前提下，商店又提出了以下三种付款方式部付清的前提下，商店又提出了以下三种付款方式方方式式一一：分分3次次还还清清，即即购购买买后后4个个月月第第一一次次付付款款，再过再过4个月第二次付款，再过个月第二次付款，再过4个月第三次付款个月第三次付款方方式式二二：分分6次次还还清清，即即购购买买后后2个个月月第第一一次次付付款款，再再过过2个月第二次付款个月第二次付款购买后购买后12个月第个月第6次付款次付款方方式式三三：分分12次次还还清清，即即购购买买后后1个个月月第第一一次次付付款款，再再过过1个个月月第第二二次次付付款款购购买买后后12个个月月第第12次次付付款款 提问：提问：每种方式每期所付款额，付款总额及与一次性付款的差额每种方式每期所付款额，付款总额及与一次性付款的差额 首首先先，作作为为解解决决这这个个问问题题的的第第一一步步，我我们们来来研研究究一一下下，在在商商品品购购买后一年贷款全部付清时，其商品售价增值到了多少？买后一年贷款全部付清时，其商品售价增值到了多少？由于月利率为由于月利率为0.008，在购买商品后，在购买商品后1个月（即第个月（即第1次付款时）次付款时），该商品售价增值为，该商品售价增值为:5000（l0.008）=5000(1.008)（元）元）由于利息按复利计算，在商品购买由于利息按复利计算，在商品购买2个月商品增值为：个月商品增值为：50001.008(1+0.008)=50001.0082（元）（元）于是，在商品购买后于是，在商品购买后12个月（即货款全部付清时）其售价增值为：个月（即货款全部付清时）其售价增值为：50001.00811(1+0.008)=50001.00812(元元)提问：提问：讨论：讨论：假定每期付款假定每期付款(存入存入)x元元(方式二方式二)方法方法1:存入方式计算存入方式计算(反过来想反过来想)，即：即：x+1.0082x+1.0084x+1.0086x+1.0088x +1.00810 x=50001.00812即可写成：即可写成：x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810)=50001.00812=50001.00812算得：算得：x880.8(元）元）即每次所付款额为即每次所付款额为8808元，因此元，因此6次所付款额共为：次所付款额共为：880.86二二 5285（元）（元）它比一次性付款多付它比一次性付款多付285元元第第2个月末存入个月末存入x后到第后到第12月末本息和为月末本息和为1.00810 x第第4个月末存入个月末存入x后到第后到第12月末本息和为月末本息和为1.0088x 第第6个月末存入个月末存入x后到第后到第12月末本息和为月末本息和为1.0086x 第第12个月末存入个月末存入x后无利息后无利息 于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的本息之和为于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的本息之和为:讨论：讨论：假定每期付款假定每期付款(存入存入)x元元(方式二方式二)方法方法2:付款方式计算付款方式计算(正面想正面想)，a2=(50001.0082-x)1.0082-x=50001.0084-(1.0082+1)xa3=50001.0086-(1.0084+1.0082+1)xa6=50001.00812-(1.00810+1.0088+1.0086+1.0084+1.0082+1)x 依题意成交之日起成交之日起5000元就开始产生利息，则元就开始产生利息，则a1=50001.0082-xa6=0 当当分分期期付付款款采采用用方方式式一一和和方方式式三三时时，每每期期应应付付款款额额多多少少？付付款款总额与一次性付款相差多少？总额与一次性付款相差多少？方式一：方式一：付款总额为付款总额为5327对元，它比一次性付款多对元，它比一次性付款多327元元 方式三：方式三：付款总额为付款总额为5263元，它比一次性付款多元，它比一次性付款多263元元例例 2.某某人人采采用用零零存存整整取取方方式式存存款款，他他每每月月初初第第一一天天存存人人 l00元元，到到第第12月月最最后后一一天天取取出出全全部部本本利利和和，已已知知月月利利率率为为0165，请请分分别别按按单单利利和和复复利利计计息息，到到年年底底的的本本利利和和是是多多少少？（所所谓谓单利计息是指当期利息不纳入下期的本金中去）单利计息是指当期利息不纳入下期的本金中去）【解】【解】(1).若按单息计算，则若按单息计算，则第第1个月存入的个月存入的100元的利息为元的利息为100 0l65%12；第第2个月存入的个月存入的100元的利息为元的利息为 1000.165 11；第第 12个月存入的个月存入的100元的利息为元的利息为 100 0.165 1 于是全部利息和为于是全部利息和为S121000165%12+100 0.165%111000.1651 =100 0.165（l212）=0165 78 1287（元）（元）到年底的本利和是到年底的本利和是 1200+12.87=1212.87 而本金共而本金共 100 12二二1200元元(2).(2).若按复利计算，若按复利计算，则各月的本利和是则各月的本利和是 第第 1个月存入的个月存入的100元本利和元本利和 100（l0.165）12；第第2个月存入的个月存入的100元本利和元本利和100(10165)11；第第12个月存入的个月存入的100元本利和元本利和100（10165）1 于是全部本利和是于是全部本利和是 S12100（l0165）100（0165）2100（10165）3 100（1+0。165）12 =二二 1212.94（元）（元）答答：若若按按单单息息计计算算，到到年年底底所所取取出出的的本本利利息息是是121287无无，若若 按复息计算，到年底的本利和是按复息计算，到年底的本利和是121294元元例例 3、某人购买价值为、某人购买价值为 10 000元的彩电，采用分期付款的方元的彩电，采用分期付款的方法，每期付款数相同，购买后法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过个月付款一次，过1个月再付个月再付一次，如此下去，到第一次，如此下去，到第24次付款后全部付清，已知月利率为次付款后全部付清，已知月利率为08，如果每月利息按复利计算，那么每期应付款多少元？，如果每月利息按复利计算，那么每期应付款多少元？（精确到（精确到1元元)【解】设每期付款为【解】设每期付款为x元元 第第1期付款期付款x元连同到最后款全部付清时所生利息之和为元连同到最后款全部付清时所生利息之和为 x（1 0.008）23第第2期付款期付款x元连同到最后款全部付清时所生利息之和为元连同到最后款全部付清时所生利息之和为 x(1+0.008)22 第第24期付款期付款x元，没有利息元，没有利息 于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为:A x x（10.008）x(1+0.008)2(1+0.008)23 (元元)另一方面，这个商品的售价与其从购买到最后一次付款时的利另一方面，这个商品的售价与其从购买到最后一次付款时的利息之和为息之和为:B=104（l0.008）24（元）元）由题意得由题意得 即即 答：这个人每期应付款答：这个人每期应付款460元元 x（l0.0081.0082十十十十1.00823）1041.00824例例4、成成老老师师欲欲从从银银行行贷贷款款，购购买买一一套套自自己己满满意意的的住住房房，按按规规定定，政政策策性性住住房房贷贷款款的的年年息息为为96，最最长长年年限限为为10年年，可可以以分分期期付付款款，成成老老师师根根据据自自己己的的实实际际情情况况估估计计每每年年最最多多可可偿偿还还5000元元，打打算算平平均均10年年还还清清，如如果果银银行行贷贷款款按按复复利利计计算算，那那么么成老师最大限额的贷款是多少元？成老师最大限额的贷款是多少元？解由于每年最多还款解由于每年最多还款5000元，且分元，且分10年平均还清，所以年平均还清，所以 第第1期付款期付款5000元连同到最后款全部付清时所生利息之和为：元连同到最后款全部付清时所生利息之和为：5000（10.096）9（元）（元）第第2期付款期付款5000元连同到最后款全部付清时所生利息之和为：元连同到最后款全部付清时所生利息之和为：5000(10.096)8（元）（元）第第10期付款期付款5000元元,没有利息没有利息 于是各期所付的款于是各期所付的款5000元连同到最后一次付款时所生的利息之和为：元连同到最后一次付款时所生的利息之和为：A50005000（l0.096）5000（1 0.096）9 另另一一方方面面，设设成成老老师师最最大大限限额额的的贷贷款款为为x元元，则则这这x元元10年后所生的本息之和为：年后所生的本息之和为：x(1+0.096)10根据题有：根据题有：x(1十十0.096)10=5000（1+1.096 1.0969）由等比数列的前由等比数列的前n项和公式得项和公式得 x31258元元 答：成老师最大限额的贷款数目为答：成老师最大限额的贷款数目为31258元元 小结：分期付款问题的一般计算公式：小结：分期付款问题的一般计算公式：一一般般地地，购购买买一一件件售售价价为为a元元的的商商品品（或或贷贷款款a元元），采采用用上上述述分分期期付付款款时时要要求求在在m个个月月内内分分n次次付付清清（n是是m的的约约数数），月利率为月利率为p，那么每期付款的计算公式是什么呢？那么每期付款的计算公式是什么呢？设每期付款设每期付款x元，则元，则(2).(2).若按复利计算，则若按复利计算，则 第第1个月存入的个月存入的100元的利息为元的利息为100（10165）110165 第第2个月存入的个月存入的100元的利息为元的利息为100（l0165）10 0165 第第12个月存入的个月存入的100元的利息为元的利息为1000.165%于是全部利息和为于是全部利息和为 S12=100（1 0.165）11 0.165 100（1 0.165）10 0.165100 0.165%而各月的本利和是而各月的本利和是 第第 1个月存入的个月存入的100元本利和元本利和 100（l0.165）12；第第2个月存入的个月存入的100元本利和元本利和100(10165)11；第第12个月存入的个月存入的100元本利和元本利和100（10165）1