高等数学-第3章课件.pptx

第三章 导数应用目录目录第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第二节第二节 洛必达法则洛必达法则第三节第三节 函数单调性的判断方法函数单调性的判断方法第四节第四节 函数的极值与最值函数的极值与最值第五节第五节 函数图形的描绘函数图形的描绘第一节 微分中值定理定理定理3.1.1 (罗尔定理罗尔定理)若函数满足若函数满足:(1)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;(3)f(a)=f(b),则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使得，使得 f()=0.一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理定理定理3.1.2 (拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)若函数若函数 f(x)满足满足:(1)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;则在则在(a,b)的内至少存在一点的内至少存在一点 ,使得使得 f(b)-f(a)=f()(b-a)(1)两个定理中的条件是充分而非必要条件两个定理中的条件是充分而非必要条件;(2)两个定理中两个定理中 的未必唯一的未必唯一.三、两个主要推论推论推论1 若函数若函数 f(x)在区间在区间 I 上的导数恒等于零上的导数恒等于零,则则在区间在区间 I 上上,f(x)是一个常数是一个常数.推论推论2 若两个函数若两个函数 f(x)与与 g(x)的导数在区间的导数在区间 I 上上处处相等，即处处相等，即 f(x)=g(x)(xI).则在区间上则在区间上 I 上上 f(x)与与 g(x)之差为一常数，即之差为一常数，即f(x)-g(x)=C(xI).第二节 洛必达法则定理3.2.1 (洛必达法则)定理3.2.2 (洛必达法则)三、其他类型未定式除了除了 型和型和 型未定式以外，还有型未定式以外，还有-,0,00,1,0 等类型等类型.求这些未定式的值时，通常是先将其求这些未定式的值时，通常是先将其转化成转化成 或或 型未定式型未定式,然后用洛必达法则来求解然后用洛必达法则来求解.第三节 函数单调性的判定法定理定理3.3.1 (函数单调性的判别法函数单调性的判别法)设函数设函数 y=f(x)在开区间在开区间(a,b)的内可导，则的内可导，则(1)如果在如果在(a,b)的内恒有的内恒有 f(x)0,则函数则函数 y=f(x)在在(a,b)的上单调增加的上单调增加;(2)如果在如果在(a,b)的内恒有的内恒有 f(x)0,则函数则函数 y=f(x)在在(a,b)的上单调减少的上单调减少.注意：注意：(1)定理中的区间改成其他区间定理中的区间改成其他区间(包括无穷区间包括无穷区间)，结论仍成立结论仍成立.(2)函数的单调性是局部概念，如有些函数仅在定函数的单调性是局部概念，如有些函数仅在定义域的部分区间上具有单调性义域的部分区间上具有单调性.使使 f(x)=0的点的点 x0 称为函数称为函数 y=f(x)的的驻点驻点.使使 f(x)不存在的点不存在的点 x0称为函数称为函数 y=f(x)的的尖点尖点.下面是确定函数单调性的一般步骤下面是确定函数单调性的一般步骤:(1)确定函数确定函数 f(x)的定义域的定义域;(2)求出使函数求出使函数 f(x)=0和和 f(x)不存在的点，并以不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成若干个子区间这些点为分界点，将定义域划分成若干个子区间;(3)确定确定 f(x)在各个子区间的正负，从而确定在各个子区间的正负，从而确定 f(x)的单调区间的单调区间.第四节 函数的极值与最值定义定义3.4.1 设函数设函数 f(x)在点在点 x0的某邻域的某邻域 U(x0)内有定义，如内有定义，如果对于该邻域内的任何点果对于该邻域内的任何点 x(x x0),恒有恒有 f(x)f(x0),则称则称 f(x0)为函数为函数 f(x)的一个的一个极大值极大值(或或极小值极小值)，称，称 x0为为 f(x)的的极大值点极大值点(或或极小值点极小值点).函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极大值点与极小值点统称为极小值点统称为极值点极值点.定理定理3.4.1 (极值存在的必要条件极值存在的必要条件)若函数若函数 f(x)在点在点 x0 处可导处可导,且在且在 x0 处取得极值处取得极值,则则必有必有 f(x0)=0.定义定义3.4.2 使导数使导数 f(x)等于零的点等于零的点 x0 ,称为函数称为函数 f(x)的的驻点驻点.定理定理3.4.2 (极值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件)设函数设函数 f(x)在点在点 x0 的某个邻域的某个邻域(x0-,x0+)内连续且内连续且可导可导(但但 f(x)可以不存在可以不存在).则则(1)如果当如果当x(x0-,x0)时时 f(x)0,而当而当x(x0,x0+)时时 f(x)0,则则x0是是极大值点极大值点,f(x0)为为 f(x)的的极大值极大值;(2)如果当如果当x(x0-,x0)时时 f(x)0,则则x0是是极小值点极小值点,f(x0)为为 f(x)的的极小值极小值;(3)如果当如果当x(x0-,x0)和和x(x0,x0+)时时,f(x)不改不改变符号变符号,则则 x0 不是极值点不是极值点.定理定理3.4.3 (极值存在的第二充分条件极值存在的第二充分条件)设函数设函数 f(x)在点在点 x0 处具有二阶导数且处具有二阶导数且 f(x0)0,则则(1)当当 f(x0)0时时,x0 为极小值点为极小值点.f(x0)为极小值为极小值;二、函数的最值函数的最大值和最小值可按如下方法求得函数的最大值和最小值可按如下方法求得:(1)求出函数求出函数 f(x)在在(a,b)的内所有可能的的内所有可能的极值点极值点(驻驻点和不可导点点和不可导点);(2)求出函数求出函数 f(x)在这些点处在这些点处相应的函数值及端点相应的函数值及端点的函数值的函数值 f(a)、f(b),然后比较它们的大小，其中最大然后比较它们的大小，其中最大者为者为f(x)在在a,b上的最大值，最小者为上的最大值，最小者为 f(x)在在a,b上的上的最小值最小值.第五节 函数图形的描绘定义定义3.5.1 设曲线设曲线 y=f(x)在区间在区间(a,b)内各点均有切线内各点均有切线.如果曲线弧总位于切线的如果曲线弧总位于切线的上方上方，则称曲线，则称曲线 y=f(x)在在(a,b)内是内是凹弧或凹的凹弧或凹的，也称，也称(a,b)为曲线为曲线 y=f(x)的的凹区间凹区间.如果曲线弧总位于切线的如果曲线弧总位于切线的下方下方，则称曲线，则称曲线 y=f(x)在在(a,b)内是内是凸弧或凸的凸弧或凸的，也称，也称(a,b)为曲线为曲线 y=f(x)的的凸区间凸区间.一、曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性与拐点定理定理3.5.1 (曲线凹凸性判别定理曲线凹凸性判别定理)设函数设函数 f(x)在在(a,b)内具有二阶导数，那么内具有二阶导数，那么(1)如果在如果在(a,b)内恒有内恒有f(x0)0,则曲线则曲线 y=f(x)在在(a,b)内为内为凹弧凹弧;(2)如果在如果在(a,b)内恒有内恒有f(x0)0,则曲线则曲线 y=f(x)在在(a,b)内为内为凸弧凸弧;定义定义3.5.2 连续曲线连续曲线 y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点，叫做该上凹弧与凸弧的分界点，叫做该曲线的曲线的拐点拐点.定理定理3.5.2 设曲线设曲线 y=f(x)是连续曲线，则是连续曲线，则(1)若点若点M(x0,f(x0)是曲线是曲线 y=f(x)的拐点的拐点,则则 f(x0)=0或或 f(x)在在x0处不存在处不存在.(2)若除若除x0外外,f(x)在点在点 x0 的某邻域内二阶可导的某邻域内二阶可导,且且在点在点 x0 左、右两侧左、右两侧f(x0)异号异号,则点则点(x0,f(x0)是曲线是曲线 y=f(x)的拐点的拐点.判断曲线判断曲线 y=f(x)的凹凸性与拐点的一般步骤如下的凹凸性与拐点的一般步骤如下:(1)确定函数确定函数 f(x)的定义域，并求出的定义域，并求出 f(x);(2)求出使求出使 f(x)=0和和 f(x)不存在的点，这些点将不存在的点，这些点将定义域划分成若干个子区间，在每个区间上确定定义域划分成若干个子区间，在每个区间上确定 f(x)的符号，从而确定曲线的符号，从而确定曲线 y=f(x)的凹凸区间的凹凸区间;(3)若在若在f(x)=0的实根的实根 x0 的两侧的两侧 f(x)的符号相反，的符号相反，则则(x0,f(x0)是曲线是曲线 y=f(x)的拐点的拐点.二、曲线的渐近线1.水平渐近线水平渐近线2.铅垂渐近线铅垂渐近线3.斜渐近线斜渐近线则曲线则曲线 y=f(x)有斜渐近线有斜渐近线 y=kx+b.定理定理3.5.3 (斜渐近线斜渐近线)若函数若函数 f(x)满足满足:三、函数图形的描绘描绘函数描绘函数 y=f(x)的图形的一般步骤如下的图形的一般步骤如下:(1)确定函数的定义域，并讨论其对称性和周期性确定函数的定义域，并讨论其对称性和周期性;(2)讨论函数的单调性、极值点和极值讨论函数的单调性、极值点和极值;(3)讨论曲线的凹凸性和拐点讨论曲线的凹凸性和拐点;(4)确定曲线的水平渐近线和铅垂渐近线确定曲线的水平渐近线和铅垂渐近线;(5)根据需要，用曲线方程计算出一些特殊点的坐根据需要，用曲线方程计算出一些特殊点的坐标，特别是曲线与坐标轴的交点标，特别是曲线与坐标轴的交点;(6)将以上所得结果归纳列表，描图将以上所得结果归纳列表，描图.