高三数学空间向量专题复习附答案.pdf

-1-ABCA1B1C1MyzABCDEFxyzMNA1xD1B1ADBCC1yzEF一、利用向量处理平行与垂直问题一、利用向量处理平行与垂直问题例 1、在直三棱柱中，,111CBAABC 090ACB030BAC是得中点。求证：MAABC,6,111CCAMBA1练习：棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，在棱 DD1上是否存在点 P 使B1D面 PAC？例 2 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对ABCDADEFNM,角线上，且,求证：平面AEBD,AEANBDBM31,31/MNCDE练习 1、在正方体中,E,F 分别是 BB1,CD 中点，求证：D1F平1111DCBAABCD 面 ADEABCDA1B1C1D1Pxzy-2-ABCDEPxyzFA1xD1B1ADBCC1yzE1F1HGA1xD1B1ADBCC1yzE1FA1xD1B1ADBCC1yzE2、如图，在底面是菱形的四棱锥 PABCD 中,，60ABC点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1.在棱 PC 上是否存在一,2,aPDPBaACPA点 F,使 BF平面 AEC?证明你的结论.二、利用空间向量求空间的角的问题二、利用空间向量求空间的角的问题例 1 在正方体中,E1，F1分别在 A1B1,C1D1上，且1111DCBAABCD E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求 BE1与 DF1所成的角的大小。4141 例 2 在正方体中,F 分别是 BC 的中点，点 E 在 D1C1上,且1111DCBAABCD D1C1,试求直线 E1F 与平面 D1AC 所成角的大小11ED41例 3 在正方体中,求二面角的大小。1111DCBAABCD 11CBDA-3-A1xD1B1ADBCC1yzEFzyxC1B1A1ACBCADBOEEFDCBA例 4 已知 E,F 分别是正方体的棱 BC 和 CD 的中点，求：1111DCBAABCD（1）A1D 与 EF 所成角的大小；（2）A1F 与平面 B1EB 所成角的大小；（3）二面角的大小。BBDC11三、利用空间向量求空间的距离的问题三、利用空间向量求空间的距离的问题例 1 直三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱 AA1=，底面 ABC 中，C=90，3AC=BC=1，求点 B1到平面 A1BC 的距离。例 2 如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2BDCDCBCA2 ADAB（I）求证：平面 BCD；AO（II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。例 3 如图，直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AEEB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE（）求证：AE平面 BCE；（）求二面角 B-AC-E 的大小；（）求点 D 到平面 ACE 的距离。-4-ABCA1B1C1MyzABCDEFxyzMN空间向量与立体几何考点系统复习空间向量与立体几何考点系统复习一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）例 1、在直三棱柱中，,111CBAABC 090ACB030BAC是得中点。求证：MAABC,6,111CCAMBA1证明：如图，建立空间坐标系)26,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),6,0,3(1MABA)6,1,3(),26,0,3(1BAAM01BAAM练习：棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，在棱 DD1上是否存在点 P 使B1D面 PAC？解：以 D 为原点建立如图所示的坐标系，设存在点 P（0，0，z），=(-a,0,z)，=(-a,a,0)，=(a,a,a)，APuuu rACuuu r1DBuuu u rB1D面 PAC，01 APDB01 ACDBa2+az=0头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头z=a，即点P 与 D1重合头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头点 P 与 D1重合时，DB1面 PAC头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头例 2 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对ABCDADEFNM,角线上，且,求证：平面AEBD,AEANBDBM31,31/MNCDE证明：建立如图所示空间坐标系，设 AB,AD,AF 长分别为 3a,3b,3c),0,2(caBMABNANM又平面 CDE 的一个法向量)0,3,0(bAD 由0 ADNM得到ADNM 因为 MN 不在平面 CDE 内所以 NM/平面 CDEABCDA1B1C1D1Pxzy-5-ABCDEPxyzFA1xD1B1ADBCC1yzEF练习 1、在正方体中,E,F 分别是 BB1,CD 中点，求证：D1F平1111DCBAABCD 面 ADE证明：设正方体棱长为 1，建立如图所示坐标系 D-xyz,)0,0,1(DA)21,1,1(DE因为)1,21,0(1FD所以0,011DEFDDAFD 所以平面DEFDDAFD11,DDADEIFD1ADE2、如图，在底面是菱形的四棱锥 PABCD 中,，60ABC点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1.在棱 PC 上是否存在一,2,aPDPBaACPA点 F,使 BF平面 AEC?证明你的结论.解答：根据题设条件，结合图形容易得到：)3,32,0(,),0(,)0,2,23(aaEaaDaaB),0,0(,)0,2,23(aPaaC),2,23(aaaCP假设存在点 F。CPCF),2,23(aaaaaaCFBCBF,)21(,23又，)3,32,0(aaAE)0,2,23(aaAC 则必存在实数使得，把以上向量得坐标形式代入得21,AEACBF21 即有2321213322)21(2323212211aaaaaaaAEACBF2321所以，在棱 PC 存在点 F，即 PC 中点，能够使 BF平面 AEC。二、利用空间向量求空间的角的问题二、利用空间向量求空间的角的问题-6-A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HGA1xD1B1ADBCC1yzE1FA1xD1B1ADBCC1yzE例 1 在正方体中,E1，F1分别在 A1B1,C1D1上，且1111DCBAABCD E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求 BE1与 DF1所成的角的大小。4141解：设正方体棱长为 4，以为正交基底，建立如图所示空间坐标系1,DDDCDAxyzD,，15)4,1,0(1BE)4,1,0(1DF1BE1DF1715|,cos111111DFBEDFBEDFBE例 2 在正方体中,F 分别是 BC 的中点，点 E 在 D1C1上,且1111DCBAABCD D1C1,试求直线 E1F 与平面 D1AC 所成角的大小11ED41解：设正方体棱长为 1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系1,DDDCDAD-xyz为 D1AC 平面的法向量，1DB)1,1,1(1DB)1,43,21(1FE8787,cos11FEDB所以直线 E1F 与平面 D1AC 所成角的正弦值为8787例 3 在正方体中,求二面角的大小。1111DCBAABCD 11CBDA解：求出平面与平面的法向量BDA1BDC1)1,1,1(,)1,1,1(21nn31|,cos212121nnnnnn例 4 已知 E,F 分别是正方体的棱 BC 和 CD 的中点，求：1111DCBAABCD（1）A1D 与 EF 所成角的大小；（2）A1F 与平面 B1EB 所成角的大小；（3）二面角的大小。BBDC11解：设正方体棱长为 1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系1,DDDCDA-7-A1xD1B1ADBCC1yzEFzyxC1B1A1ACBCADBOED-xyz（1）)1,0,1(1DA)0,21,21(EF21|,cos111EFDAEFDAEFDAA1D 与 EF 所成角是060（2）,)1,21,1(1FA)0,1,0(AB31|,cos111ABFAABFAABFA（3）,，)1,1,1(1AC)0,1,1(AC36|,cos111ACACACACACAC二面角的正弦值为BBDC1136三、利用空间向量求空间的距离的问题三、利用空间向量求空间的距离的问题例 1 直三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱 AA1=，底面 ABC 中，C=90，3AC=BC=1，求点 B1到平面 A1BC 的距离。解 1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0,），B1（0,1,），C1（0,0,）333=（1,1,），=（1,0,）=（1,1,0）BA13CA1311AB设平面 A1BC 的一个法向量为，则),(zyxn 0011CAnBAn0303zxzyx103zyx即)1,0,3(n所以，点 B1到平面 A1BC 的距离23|11nBAnd例 2 如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2BDCDCBCA2 ADAB-8-EFDCBA（I）求证：平面 BCD；AO（II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。解：（I）略（II）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),BD 13(0,3,0),(0,0,1),(,0),(1,0,1),(1,3,0).22CAEBACD uu u ruuu r.2cos,4BACDBA CDBA CDuu u r uuu ruu u r uuu ruu u r uuu r异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为2arccos.4（III）解：设平面 ACD 的法向量为则(,),nx y zr.(,).(1,0,1)0,.(,).(0,3,1)0,n ADx y zn ACx y zr uuu rr uuu r0,30.xzyz令得是平面 ACD 的一个法向量，又1,y(3,1,3)n r13(,0),22EC uuu r点 E 到平面 ACD 的距离.321.77EC nhnuuu r rr例 3 如图，直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AEEB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE（）求证：AE平面 BCE；（）求二面角 B-AC-E 的大小；（）求点 D 到平面 ACE 的距离。解（）略（）以线段 AB 的中点为原点 O，OE 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图.面 BCE，BE面 BCE，AEQBEAE 在的中点，ABOABAEBRt为中,2,).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(1CEAOE 设平面 AEC 的一个法向量为，).2,2,0(),0,1,1(ACAE),(zyxn xCABODyzE-9-则解得.022,0,0,0 xyyxnACnAE即,xzxy令得是平面 AEC 的一个法向量.,1x)1,1,1(n又平面 BAC 的一个法向量为，)0,0,1(m.3331|,),cos(nmnmnm二面角 BACE 的大小为.33arccos（III）AD/z 轴，AD=2，)2,0,0(AD点 D 到平面 ACE 的距离.33232|nnADd