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一次不定方程及方程的整数解问题-1

一次不定方程（组）及方程的整数解问题
【写在前面】
不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.
【本讲重点】
求一次不定方程（组）的整数解
【知识梳理】
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.
重要定理：
设a、b、c、d为整数，则不定方程有：
定理1 若且d不能整除c，则不定方程没有整数解；
定理2 若是不定方程且的一组整数解（称为特解），则（t为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中,且d能整除c）.
定理3 若是不定方程，的特解，则是方程的一个特解. （其中,且d能整除c）.
求整系数不定方程的正整数解，通常有以下步骤：
（1） 判断有无整数解；
（2） 求出一个特解；
（3） 写出通解；
（4） 有整数t同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.
解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：
（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法；
（5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.

【学法指导】
【例1】求下列不定方程的整数解（1） ； （2）.
【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.
【解答】（1）原方程变形为：， 观察得到是的一组整数解（特解），
根据定理2 ，是原方程的所有整数解.
（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，
∴根据定理1，原方程的无整数解.
【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.
【实践】求下列不定方程的整数解（1） ； （2）.
答案：（1）无整数解；（2）
【例2】求方程的所有正整数解.
【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x ,再将含y的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0，然后再求x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.
【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.
由原方程可得，
由此可观察出一组特解为x0=25，y0=2.
∴方程的通解为.
其中 ∴ ∴ ∴
代入通解可得原方程的正整数解为
【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.
【实践】求方程的正整数解. 答案： x=4,y=3.

【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.
【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.
【解答】设需要大客车x辆，小客车y辆，根据题意可列方程 ，即.
又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知是一个特解，通解为
由题意可知 解得 相应地
答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.
【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.
【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？
答案：7

【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.
【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].
【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.
〈方法一〉 〈方法二〉
特解：

答：此人的生日为5月16日.
【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识.
【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的，求一切这样三位数的和. 答案：432

【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n满足，则m的最大值为 .
【分析】把m用含有n的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m的最大值.
【解答】∵，∴，
由题意可得，n≠8，∴，
∵m,n为正整数， ∴ 当n=9时，m有最大值为75.
【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.
【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案：28

【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？
【分析】分析：用x,y,z来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：

如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.
【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.
(2)×3－(1)得：14x+8y=200，即7x+4y=100.
〈方法一〉

〈方法二〉

〈方法三〉

【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.
【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）

【例7】求方程的整数解.
【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.
【解答】设，则原方程可看作 对于方程（1）x=-t,y=t是一个特解，
从而（1）的整数解是
又t=2,z=3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是
将（6）代入（3）、（4）消去t得到原方程的所有整数解为：
【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式.
【实践】求方程的整数解.
答案：

【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？
【分析】设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，由题意得. 要求，可以运用放缩法从确定的取值范围入手.
【解答】设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，则.
∵，∴.
∵是整数，∴=12或13.但当=13时，得，无正整数解.
答：三个小组共有12名同学.
【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.
【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?
答案：96

【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.
（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？
（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？
【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.
【解答】（1）设小明摸的红球有x个，黄球有y个，蓝球有个，则，
整理，得，因为x、y均为正整数，可知x的最大值为4.即红球最多不超过4个.
（2）由（1）知蓝球的个数是，
又∵ ∴
因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.
【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.
【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.
答案：170，40.

【例10】设非负整数n，满足方程的非负整数（x,y,z）的组数记为.
（1）求的值；（2）求的值.
【分析】审清题中的n与方程是同一个非负整数，的含义是方程的非负整数解的（x,y,z）的组数.
【解答】（1）当n=3时，原方程为，由于
当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y）=(0,1),(1,0) 有2组；
当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组.
综上，=6.
（2）当n=2001时，原方程为，由于
当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；
当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…；
当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.
综上，=2+4+6+…+2002=1003002.
【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题.
【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 C
A.20001999 B.19992000 C.2001000 D.2001999

【总结反思】
以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.

【题海拾贝】
1.（2000年希望杯竞赛题）若a、b均为正整数，且2a>b，2a+b=10，则b的值为（ ）
A. 一切偶数 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、4
2. 若正整数x,y满足2004a=15y，则 x+y的最小值为 .
3. 如果三个既约真分数的分子都加上b，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.
4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？
5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h，在平地上的速度是63km/h，上坡的速度是56km/h.汽车从A地到B地用了4h，而返程用了4小时40分，求AB两地的距离.
答案：
1.D 2.673 3. 4.121 5.273