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《二次函数》易错题以及分析

一、选择题（每小题3分，共30分）
1、在下列函数关系式中，（1）；（2）；（3）；
（4），二次函数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、若是二次函数，且开口向上，则的值为（ ）
A. B. C. — D.0
3、把抛物线向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ）
A. B.
C. D.

4、下列二次函数的图象与轴没有交点的是（ ）
A. B.
C. D.

5、已知点（-1，），（），（，）在函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.

6、已知抛物线经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ）
A. B.
C. D.

7、若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A.0或2 B.0 C. 2 D.无法确定

8、一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）

A B C D
【答案】C
【解析】根据一次函数的图象得出、的符号，进而判断二次函数的草图是否正确，A和B中的符号已经发生矛盾，故不选，C符合，D中由一次函数得，而由二次函数得，矛盾，也舍去，故选C.
【易错点】对于如何判断二次函数中一次项系数的符号理解不深，故常选错.
9、当取任何实数时，抛物线的顶点所在的曲线是（ ）
A． B. C. （） D. ()

【答案】A
【解析】由给出的顶点式得出抛物线的顶点为（），在上，故选A.
【易错点】当二次函数解析式中出现参数时，学生往往不知所措，过多得关注了字母而没有看到这是一个顶点式的抛物线，故选不出答案.

10、抛物线与坐标轴的交点共有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

【答案】B
【解析】由>0得出抛物线与轴有2个交点，与轴一个交点，共3个，故选B.
【易错点】仅仅得出与与轴的2个交点就选择C，审题不严谨..
二、填空题（每小题3分，共24分）
11、函数的对称轴是_____________，顶点坐标是_________，图象开口_______，当________时，随的增大而减小，当时，函数有最____值，是______.
【答案】直线，（-5，7），向下，，大，7.
【解析】根据二次函数顶点式的基本性质即可完成这一题.
【易错点】在增减性填空时往往写成，忽略等号.
12、抛物线与形状相同，则=_________.
【答案】.
【解析】形状相同，即相同，故=.
【易错点】只写-2，忽略+2.
13、二次函数的图象的对称轴是__________.
【答案】直线.
【解析】根据二次函数的交点式得抛物线与轴的两个交点的横坐标为-3和2，故对称轴为直线.
【易错点】直接将二次函数转化为一般式，再根据公式求解，导致计算错误较多.
14、当=________时，函数有最_____值，是________.
【答案】2，小，2.
【解析】当有最小值4，故在此时有最小值2.
【易错点】最小值容易写成4，而不是2.

15、抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______________.
【答案】
【解析】根据图象可设抛物线为，把点（3,0）代入求出即可.
【易错点】从对称轴角度出发，过分注重对称性来解题，使题复杂化.

(第15题图) （第16题图） （第17题图）
16、如图是抛物线的一部分，对称轴是直线=1，若其与轴的一个交点为（3,0），则由图象可知，不等式的解集是_____________.
【答案】
【解析】根据图象得出抛物线的对称轴为直线，得故图象与轴的另一个交点为（-1,0），不等式的解集即为二次函数时的取值范围，故由图象得出在轴的上方，故
【易错点】没有将不等式问题转化为二次函数的问题，另外不会观察图象也是导致本题得分率低的一个重要原因.
17、如图是二次函数（）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断：①；②；③；④，其中正确的是__________（填写序号）.

【答案】②④
【解析】根据二次函数的符号判定方法，得出①错；观察图象，当时，图象上的点在轴下方，故②正确；由得出③正确；因为>0，而0>-8,，移项得④正确.
【易错点】对二次函数中通过数形结合判断字母和代数式符号的方法没有掌握.
18、如图，从地面竖直向上跑出一个小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为，那么小球从抛出至落到地面所需的时间是_____秒.
【答案】6
【解析】令，得，解得，因，故.
【易错点】没有将实际生活问题传化成二次函数问题.
三、简答题（共56分）
19、(8分)已知二次函数，当=0时，=4；当=1时，=9；当=2时，=18，求这个二次函数.
【答案】把当=0，=4；=1，=9；=2，=18代入得，…1分
，……………………4分
解得，…………………………7分
∴……………………8分
【易错点】本题考查学生利用三元一次方程组求解二次函数解析式的能力，而部分学生往往出现三元一次方程组解答出错，计算能力不高的情况.
20、（8分）二次函数的图象顶点是（-2,4），且过（-3,0）；
（1）求函数的解析式；
（2）求出函数图象与坐标轴的交点，并画出函数图象.
【答案】（1）由题意得，设把（-3,0）得，0=………………2分
∴，∴……………………3分
（2）令，则，∴与轴的交点为（0,-12）……4分
令，则， 解得 ，
∴与轴的交点为（-1,0）和（-3,0）………………6分
图象略.………………………………………………………8分
【易错点】本题考查利用顶点式求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点及函数图象画法.学生出错较多的地方是与坐标轴交点求解不齐全.
21、（10分）利用图象判断方程是否有解，若有解，请写出它的解.（结果精确到0.1）
【答案】∵，∴设，
则方程的解即函数图象与轴两个交点的横坐标.
∴由图象得 ，

【易错点】本题考查利用图象法求方程的近似解.学生不理解为何要用图象法求方程的近似解，进而会直接用公式法求解.

22、（10分）某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价销售，根据市场调查，每降价5元，每星期可多售出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润是多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少？最大销售利润是多少？
【答案】（1）(130-100)×80=2400元…………………………………3分
（2）设每件降价元，商家每星期的利润为元，则………………4分
==-4+2500…………7分
∴当时，有最大值，为2500………………………………………9分
即降价5元、售价为125元时，销售利润最大，为2500元.………………10分
【易错点】本题是二次函数最值问题的实际应用，若学生把售价定为元，则无形中增加了题目的难度，所以本题中设置合理的未知数是至关重要的，而学生往往不会这一点而导致此题错解.

23、（10分）如图，隧道的截面是由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为轴，线段BC的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m。
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4.2m，宽2.4米，它能通过该隧道吗？通过计算说明你的结论；
（2）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，还在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过该隧道吗？通过计算说明你的结论。
【答案】（1）设抛物线的解析式为，
由对称轴是轴得=，由EO=6，得，……1分
又抛物线经过点D（4，2），
所以：+，
解得，………………3分
∴所求抛物线的解析式为：．……………………4分
（2）取=±，代入（1）所求得的解析式中，
求得,∴这辆货运卡车能通过隧道．……………………7分
（3）根据题意，把代入解析式，得
∵ ∴货运卡车不能通过.………………………………10分
【易错点】本题是二次函数在隧道问题中的实际应用，解答这类问题，关键是要通过分析题意运用二次函数及性质知识建立数学模型.易错点出现在第（2）小题中，误将=±代入抛物线解析式中，而在第（3）小题中没有考虑隔离带也有对称性，而误将=±代入抛物线解析式中.

24、（10分）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点M从点A出发沿AB边向点B以1cm/秒的速度向B点移动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动. 若M, N分别从A， B点同时出发，设移动时间为t (0<t<6)，△DMN的面积为S.
(1) 求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；
(2) 当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积.
【答案】（1）由矩形面积减三个三角形面积即可
S=—-=………………2分
…………………………3分
∴当（在范围内）时，有最小值27.………………4分
（2）当△DMN为直角三角形时，∵∠MDN<90°，∴可能∠NMD或∠MND为90°.
当∠NMD=90°时，DN2=DM2+MN2，
∴(12-2t)2+62=122+t2+(6-t)2+(2t)2，
解得t=0或—18，不在范围0<t<6内，∴不可能.………………6分
当∠MND=90°时，DM2=DN2+MN2，
∴122+t2=(12-2t)2+62+(6-t)2+(2t)2，解得t= 1.5或6，(6不在范围0<t<6内舍).……8分
∴S==. …………………………………………10分
【易错点】本题是二次函数在动态题中的应用，用的代数式表示相关线段的长度是解答本题的重要之处.本题难点在第（2）题中，学生知晓要分类讨论，却不知运用最简单勾股定理即可解决问题，说明对直角三角形的本质掌握还不够透彻.

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