2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价九全称量词命题和存在量词命题的否定新人教A版必修第一册.doc

课时素养评价 九
　全称量词命题和存在量词命题的否定
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.命题“∃x∈R,x2=x”的否定是 (　　)
A.∃x∈R,x2≠x
B.∀x∈R,x2=x
C.∃x∉R,x2≠x
D.∀x∈R,x2≠x
【解析】选D.该命题的否定:∀x∈R,x2≠x.
2.已知命题p:∃x,y∈Z,x2+y2=2 015,则p为 (　　)
A.∀x,y∈Z,x2+y2≠2 015
B.∃x,y∈Z,x2+y2≠2 015
C.∀x,y∈Z,x2+y2=2 015
D.不存在x,y∈Z,x2+y2=2 015
【解析】选A.含有存在量词的命题的否定,只需将存在量词改为全称量词,再将结论否定即可.
所以p为∀x,y∈Z,x2+y2≠2 015.
3.设命题p:∀x∈Q,x2∈Q,则 (　　)
A.命题p的否定为真命题
B.命题p的否定为:∀x∈Q,x2∉Q
C.命题p的否定为:∃x∉Q,x2∈Q
D.命题p的否定为:∃x∈Q,x2∉Q
【解析】选D.因为命题p为真命题,所以命题p的否定为假命题,命题p的否定为:∃x∈Q,x2∉Q.
4.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(　　)
A.所有四边形的内角和都是360°
B.∃x∈R,x2+2x+2≤0
C.∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数
D.对所有实数a,都有|a|>0
【解析】选B、D.A.该命题的否定:有的四边形的内角和不是360°,是假命题;
B.该命题的否定:∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题,这是由于∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立.
C.该命题的否定:∀x∈{x|x是无理数},x2不是无理数,假命题;
D.该命题的否定:存在实数a,有|a|≤0,真命题.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.命题“∃x>-1,x2+x-2 019>0”的否定是______. 
【解析】该命题的否定“∀x>-1,x2+x-2 019≤0”.
答案:∀x>-1,x2+x-2 019≤0
【加练·固】若命题p:∀x∈R,<0,则p:________. 
【解析】p:∃x∈R,使>0或x-2=0.
答案:∃x∈R,使>0或x-2=0
【误区警示】此题最容易出现的错误答案是:∃x∈R,使≥0.
6.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为______,此命题的否定是____,是____命题(填“真”或“假”). 
【解析】此命题用符号表示为∃x,y∈R,x+y>1,此命题的否定是∀x,y∈R,x+y≤1,
原命题为真命题,所以它的否定为假命题.
答案:∃x,y∈R,x+y>1　∀x,y∈R,x+y≤1　假
三、解答题
7.(16分)写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)任何有理数都是实数.
(2)存在一个实数a,能使a2+1=0成立.
【解析】(1)该命题的否定:至少有一个有理数不是实数.因为原命题是真命题,所以其否定是假命题.
(2)该命题的否定:任意一个实数a,不能使a2+1=0成立.因为a2=-1在实数范围内不成立,所以原命题是假命题,所以其否定是真命题.
【加练·固】写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:∀x∈R,x2-x+≥0.
(2)p:所有的正方形都是菱形.
(3)p:至少有一个实数x,使x3+1=0.
【解析】(1)是全称量词命题,p:∃x∈R,x2-x+<0.因为对于任意的x,x2-x+=≥0,所以p为假命题.
(2)是全称量词命题,p:存在一个正方形不是菱形.正方形是特殊的菱形,所以p为假命题.
(3)是存在量词命题,p:∀x∈R,x3+1≠0.因为x=-1时,x3+1=0,所以p为假命题.
(15分钟·30分)
1.(4分)∃m,n∈Z,使得m2=n2+1 998的否定是 (　　)
A.∀m,n∈Z,使得m2=n2+1 998
B.∃m,n∈Z,使得m2≠n2+1 998
C.∀m,n∈Z,使得m2≠n2+1 998
D.以上都不对
【解析】选C.这是一个存在量词命题,其否定为全称量词命题,形式是:∀m,n∈Z,使得m2≠n2+1 998.
2.(4分)已知命题p:∃x∈{x|1<x<3},x-a≥0;若p是真命题,则实数a的取值范围是 (　　)

A.a<1 B.a>3
C.a≤3 D.a≥3
【解析】选D.p是真命题,所以p是假命题;
所以∃x∈{x|1<x<3},x-a≥0无解;
所以当1<x<3时,a≤x不成立,所以a≥3.
3.(4分)已知命题q:“三角形有且只有一个外接圆”,则q为__________.  
【解析】q为存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.
答案:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆
4.(4分)已知命题p:∃x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是______.  
【解析】因为p为假命题,所以命题p的否定:∀x>0,x+a-1≠0是真命题,所以x≠1-a,
所以1-a≤0,所以a≥1.
答案:a≥1
5.(14分)命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)写出命题p的否定.
(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真?
【解析】(1)命题p的否定:对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真,
则需要使的解集不为空集.
a,b应满足的条件是b<a.

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