2019_2020学年新教材高中数学习题课一指数函数的性质与图像新人教B版必修第二册.doc

习题课（一） 指数函数的性质与图像
一、选择题
1．已知f(x)＝a－x(a＞0且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0,1)
解析：选D　∵－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，
又f(x)＝a－x＝x，∴－2＞－3，
∴＞1，∴0＜a＜1.
2．函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上(　　)
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
解析：选A　u＝2x＋1为R上的增函数且u＞0，∴y＝在(0，＋∞)上为减函数，即f(x)＝在(－∞，＋∞)上为减函数，无最小值．
3．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
解析：选A　因为f(x)＝3x－x，且定义域为R，
所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－
＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数．

4．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即实数a的取值范围是.
5．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)
A．6 B．1
C．3 D.
解析：选C　函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.
6．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图像经过点(2,1)，则f(x)的值域为(　　)
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
解析：选C　由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，所以f(x)的值域为[1,9]．
二、填空题
7．若不等式3ax2－2ax>对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式即为3ax2－2ax>3－1，
则有ax2－2ax>－1，
即ax2－2ax＋1>0对一切实数x恒成立．
当a＝0时，满足题意；
当a≠0时，要满足题意，则需a>0且Δ＝(－2a)2－4a<0，
即a2－a<0，解得0<a<1.
综上，实数a的取值范围是[0,1)．
答案：[0,1)
8．若函数f(x)＝在区间(－∞，1]内有意义，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意得1＋a·3x≥0在区间(－∞，1]上恒成立，即a≥－在区间(－∞，1]上恒成立，由－在区间(－∞，1]上的最大值为－，得a≥－.
答案：
9．函数f(x)＝＋2，若有f(a)＋f(a－2)＞4，则a的取值范围是________．
解析：设F(x)＝f(x)－2，则F(x)＝，易知F(x)是奇函数，F(x)＝＝＝1－在R上是增函数，
由f(a)＋f(a－2)＞4得F(a)＋F(a－2)＞0，
于是可得F(a)＞F(2－a)，即a＞2－a，解得a＞1.
答案：(1，＋∞)
三、解答题
10．已知函数y＝22x－1－3·2x＋5.
(1)如果y＜13，求x的取值范围；
(2)如果0≤x≤2，求y的取值范围．
解：由题意知y＝(2x)2－3·2x＋5.
(1)由y＜13，得(2x)2－6·2x－16＜0，
所以(2x－8)(2x＋2)＜0，
因为2x＋2＞0，所以2x－8＜0，解得x＜3，
所以x的取值范围为(－∞，3)．
(2)因为0≤x≤2，所以1≤2x≤4，
而y＝(2x－3)2＋，于是当2x＝3时，y取得最小值，且最小值为；
当2x＝1时，y取得最大值，且最大值为.
所以y的取值范围为.
11．设函数f(x)＝10－ax，a是不为零的常数．
(1)若f(3)＝，求使f(x)≥4的x的取值范围；
(2)当x∈[－1,2]时，f(x)的最大值是16，求a的值．
解：(1)由f(3)＝得a＝3，不等式f(x)≥4可化为23x－10≥22，∴x≥4，
故x的取值范围是[4，＋∞)．
(2)当a＞0时，f(x)＝2ax－10是增函数， 则22a－10＝16，所以a＝7；
当a＜0时，f(x)＝2ax－10是减函数，则2－a－10＝16，所以a＝－14.
综上，a＝－14或a＝7.
12．对于函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)是否存在实数a，使函数f(x)为奇函数？证明你的结论．
解：(1)函数f(x)为R上的增函数．
证明如下：函数f(x)的定义域为R.任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
有f(x1)－f(x2)＝－＝－＝.
因为y＝2x是R上的增函数，x1＜x2，
所以2x1－2x2＜0，又2x1＋1＞0,2x2＋1＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)为R上的增函数．
(2)因为x∈R，f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即a＝1.所以存在实数a＝1，使函数f(x)为奇函数．
证明如下：当a＝1时，f(x)＝1－＝.
对任意x∈R，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，又f(x)的定义域为R，故f(x)为奇函数．

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