2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3余弦定理正弦定理第2课时正弦定理应用案巩固提升新人教A版必修第二册.doc

第2课时 正弦定理
[A　基础达标]
1．在△ABC中，一定成立的式子是(　　)
A．asin A＝bsin B　　　　　 B．acos A＝bcos B
C．asin B＝bsin A　 D．acos B＝bcos A
解析：选C.由正弦定理＝＝，得asin B＝bsin A.
2．在△ABC中，若a＝2bsin A，则B＝(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析：选C.由正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，所以sin A(2sin B－)＝0.因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B＝，所以B＝或.
3．(2019·济南检测)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形有(　　)
A．两解　　 B．一解
C．无解　 D．无穷多解
解析：选B.由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．
4．在△ABC中，若c＝，C＝60°，则＝(　　)
A．6 B．2
C．2 D．
解析：选C.利用正弦定理的推论，得＝＝＝2.
5．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，则△ABC的形状是　(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.将a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)代入已知条件，得sin2Atan B＝sin2Btan A，则＝.
因为sin Asin B≠0，所以＝，
所以sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
6．在△ABC中，若a＝3，cos A＝－，则△ABC的外接圆的半径为________．
解析：由cos A＝－，得sin A＝＝，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，有2R＝＝2，即△ABC的外接圆的半径为.
答案：
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝，则b＝________．
解析：因为cos A＝，所以sin A＝，因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝，又＝，所以b＝2.
答案：2
8．在△ABC中，若B＝，b＝a，则C＝________．
解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得＝＝＝2a，所以sin A＝，所以A＝或π.
因为b＝a＞a，所以B＞A，即A＜，
所以A＝，所以C＝π－A－B＝π－－＝π.
答案：π
9．(2019·浙江温州月考)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝，求a，b及cos B.
解：因为A＝30°，C＝45°，c＝，
所以由正弦定理，得a＝＝＝1.
又B＝180°－(30°＋45°)＝105°，
所以cos B＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝，
b＝＝＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°)
＝.
10．如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长．

解：在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，＝，
可得BC＝11，
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB
＝11×tan 30°＝11.
[B　能力提升]
11．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为(　　)
A．60° B．75°
C．90° D．115°
解析：选B.不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有＝＝，即＝，整理，得(3－)sin A＝(3＋)cos A．所以tan A＝2＋，所以A＝75°，故选B.
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋bsin C－a－c＝0，则角B＝________．
解析：由正弦定理知，
sin Bcos C＋sin Bsin C－sin A－sin C＝0.(*)
因为sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
代入(*)式得sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0.
因为sin C＞0，所以sin B－cos B－1＝0，
所以2sin＝1，即sin＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
答案：
13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝，若a2＋c2＝4ac，则＝________．
解析：因为＝＝4，B＝，
所以b2＝5ac.由正弦定理得sin2B＝5sin Asin C＝，
所以sin Asin C＝，所以＝＝.
答案：
14．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值．
解：(1)由acos C＋c＝b，
得sin Acos C＋sin C＝sin B.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin C＝cos Asin C.
因为sin C≠0，所以cos A＝.
因为0<A<π，所以A＝.
(2)由正弦定理，得sin B＝＝.
所以B＝或.
①当B＝时，由A＝，得C＝，
所以c＝2；
②当B＝时，由A＝，得C＝，
所以c＝a＝1.综上可得c＝1或2.
[C　拓展探究]
15．在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C.
(1)试确定△ABC的形状；
(2)求的取值范围．
解：(1)在△ABC中，设其外接圆半径为R，
根据正弦定理得，
sin A＝，sin B＝，sin C＝，
代入＝，
得＝，
所以b2－a2＝ab.①
因为cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C，
所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，
所以sin Asin B＝sin2C.
由正弦定理，得·＝，
所以ab＝c2.②
把②代入①得，b2－a2＝c2，
即a2＋c2＝b2.
所以△ABC是直角三角形．
(2)由(1)知B＝，
所以A＋C＝，
所以C＝－A.
所以sin C＝sin＝cos A.
根据正弦定理，得
＝＝sin A＋cos A＝sin.
因为ac<ab＝c2，
所以a<c，
所以0＜A＜，
所以＜A＋＜.
所以＜sin<1，
所以1＜sin<，
即的取值范围是(1， )．

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