2022年北京市东城区初三一模数学试卷(含答桉).docx

北京市东城区 2022-2022 学年度初三年级综合练习〔一〕
数学试卷 2022.5
考生须知
学校姓名准考证号
1． 本试卷共 4 页，共五道大题，25 个小题，总分值 120 分．考试时间 120 分钟．
2． 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号．
3． 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4． 考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：〔此题共32分，每题4分〕
在以下各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．
1．－3 的绝对值是
1 1
A．-3 B．3 C．− D．
3 3
2. 据北京市统计局统计信息网显示，2022 年，我市全年接待旅游总人数 170000000人次，比上年增长
14.5%，将 170 000 000 用科学记数法表示为
A．1.7×108
B．0.17×109
C．17×107
D． 1.7 ×107
3．圆锥侧面展开图可能是以下列图中的
A． B． C． D． 4．布袋中装有 1 个红球，2 个白球，3 个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球
是白. 球. 的概率是
A．1
3
B．1
6
C．1
2
D．5
6
5．假设一个正多边形的一个外角是 60°，那么这个正多边形的边数是
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，在 3ⅹ3 的正方形的网格中标出了∠1 ，那么 tan ∠1 的值为
A． 3 13
13
C． 3
2
B． 2 13

1
13
D．2
3
7．某人要去夏威夷旅游，统计了该城市一周中午的温度〔华氏温度标准〕如下列图，
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
66
78
75
69
78
77
70
如果用m代表这组数据的中位数， f 代表众数， a代表平均数，那么
A. m< a <f
B. a< f <m
C. m< f <a
D. a < m<f
8．方程 x2 + 3x−1 = 0 的根可视为函数 y= x+ 3 的图象与函数 y= 1 的图象交点的横坐标，那么用此方法可
x
0
推断出方程 x3 + 2x−1 = 0 的实根 x 所在的范围是
A．−1 < x0 < 0
B．0 < x0 < 1
C．1 < x0 < 2
D．2 < x0 < 3
二、填空题：〔此题共16分，每题4分〕
x+ 3
9．使二次根式
有意义的x的取值范围是．10．假设⊙O的半径为5厘米，圆心O到弦AB的
距离为3厘米，那么弦长AB为厘米．
11.在实数范围内分解因式：a3 −ab2 =．
12.如图，P为边长为2的正三角形中任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别做三边的垂线，垂足分别为D、E、F，那么PD+PE+PF=；阴影局部的面积为.
三、解答题：〔此题共30分，每题5分〕
13. 计算： ( 1 )−2 + (π +1)0 − 2 sin 60° +
2
12 ．
⎧3x−1 > −4
⎩
14. 解不等式组 ⎨2x< x+ 2 ，并把它的解集表示在数轴上．
-3 -2 -1 O 1 2 3
E
15.如图， ∆ABC与∆ADE均为等腰直角三角形， ∠BAC = ∠EAD= 90° ，求证： C
∆BAE ≅ ∆CAD....
A D
B
16． x(x−1) − (x2 − y) = −3 ，求 x2 + y2 − 2xy的值．
17．列方程或方程组解应用题：.
A、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 30kg，A 型机器人搬运 900kg 与 B 型机器人搬运 600kg 所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料
18．：二次函数 y= ax2 + bx+ c (a≠ 0) 中的 x，y满足下表：
x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
0
−3
−4
−3
m
…
〔1〕m的值为；
〔2〕假设A( p，y1) ，B( p+1，y2) 两点都在该函数的图象上，且p<0，试比较y1与y2的大小....
四、解答题：〔此题共20分，每题5分〕
19．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，
D
E
A
4
E 为 DC 中点，tanC=
3
．求 AE 的长度．
B C
20．如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE= 60°，∠C= 30°．
A
O
B
〔1〕判断直线 CD是否为⊙O的切线，并说明理由；
3
〔2〕假设 CD=
3 ，求BC的长．
E D C
21．某中学体育俱乐部的老师对学生的体能进行摸底测试，考试工程有跳绳、仰卧起坐等，体育老师随机从 全校 3600 名学生中抽取统计了 100 名学生 60 秒跳绳的成绩，列出的频数分布直方图如下〔每个分组包括左端点，不包括右端点〕：
〔1〕求 60 秒跳绳的成绩在 140—160 次的人数；
〔2〕假设将此直方图转化为扇形统计图，求〔1〕中人数所在扇形统计图中圆心角的度数；
〔3〕请你估计一下全校大概有多少名学生 60 秒跳绳的次数在 100 次以上
频数
38
26
14
8
4

1 3 5 7 图 1
22． 人们经常利用图形的规律来计算一些数的和. 如在边长为 1 的网格图 1 中，从左下角开始，相邻的黑折线围成的面积分别是 1，3，5，7，9，11，13，15，17⋯⋯，它们有下面的规律：
1+3=22 ；
1+3+5=32 ；
1+3+5+7=42 ；
1+3+5+7+9=52 ；……
9
〔1〕请你按照上述规律，计算 1+3+5+7+9+11+13 的值，并在图 1 中画出能表示该算式的图形；
〔2〕请你按照上述规律，计算第n条黑折线与第n−1条黑折线所围成的图形面积；
〔3〕请你在边长为 1 的网格图 2 中画出以下算式所表示的图形.
1+8=32 ；
1+8+16=52 ；
1+8+16+24=72 ；
1+8+16+24+32=92 .
图 2

五、解答题：〔此题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分〕
23. 抛物线 C1： y= x2− 2x的图象如下列图，把 C1的图象沿 y轴翻折，得到抛物线 C2的图象，抛物
线 C1与抛物线 C2的图象合称图象 C3．
〔1〕求抛物线 C1的顶点 A 坐标，并画出抛物线 C2的图象；
〔2〕假设直线 y= kx+ b与抛物线 y= ax2 + bx+ c(a≠ 0) 有且只有一个
y C1
交点时,称直线与抛物线相切. 假设直线 y= x+ b与抛物线 C1相切，
o x
1
求b的值； A
〔3〕结合图象答复，当直线 y= x+ b与图象 C3有两个交点时， b的 取值范围．
3
24．如图，在平面直角坐标系中，A〔2
〔1〕求B1点的坐标；
，0〕，B〔2
，2〕.把矩形OABC逆时针旋转30°得到矩形OA1B1C1.
3
〔2〕求过点〔2，0〕且平分矩形OA1B1C1面积的直线l方程；
〔3〕设〔2〕中直线l交y轴于点P，直接写出∆PC1O与∆PB1A1的面积和的值及∆POA1与∆PB1C1的面
积差的值.
y y
B1
C1
C
B
A1
O
A
B1
C1
C
B
A1
O
A
备用图
x x
25．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 M，正方形 MNPQ 与正方形 ABCD 全等，射线 MN
与 MQ 不过 A、B、C、D 四点且分别交 ABCD 的边于 E、F 两点.
〔1〕求证：ME=MF；
〔2〕假设将原题中的正方形改为矩形，且BC = 2AB= 4 ，其他条件不变，探索线段 ME 与线段 MF 的数量关系.
M
F
E
C
N
A D
M
A D
Q
B B C
P
北京市东城区 2022-2022 学年度初三年级综合练习〔一〕
数学参考答案2022.5
一、选择题：〔此题共32分，每题4分〕
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
A
B
C
D
B
二、填空题：〔此题共16分，每题4分〕
9. x≥ −3 ，10. 8， 11.
a(a−b)(a+b)， 12..
， 3.
3
2
三、解答题：〔此题共30分，每题5分〕
( )
13.解:原式＝ 1 −2 + (π +1)0 − 2 sin 60° + 12
2
3
3
= 4 +1−2× +2
2
…………………………………………4 分
3
3
=5− +2
3
= 5+ . ………………………………………………………………5 分
⎧3x−1> −4
⎩
14.解： ⎨2x< x+ 2
⇒ ⎧x> −1
⎨x< 2
⎩

⇒ −1 < x< 2 .
∴原不等式组的解集是−1<x<2. ……………………………3分在数轴上表示为：
……………………………………5 分
15.证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB= AC， AE = AD， ∠BAC = ∠EAD= 90� ....······························································3 分
∴∠BAC+ ∠CAE = ∠EAD+ ∠CAE....
即 ∠BAE = ∠CAD.... ·················································································································· 4 分在△BAE与△CAD中，
⎧AB=AC, E
⎨
⎪∠BAE=∠CAD, C
⎩
⎪AE = AD.
A D
∴△BAE≌△CAD.... ……………5分 B
16．解：∵ x(x−1) − (x2 − y) = −3 ，∴x2 − x− x2 + y= −3 ．………………………2 分
∴x− y= 3. ……………………………………3 分
∴x2 + y2 − 2xy= (x− y)2 = 32 = 9 ． ……………………………………5 分
17．解：设 B 型机器人每小时搬运 xkg 化工原料，那么 A 型机器人每小时搬运(x+ 30) kg 化工原料.
∵ A 型机器人搬运 900kg 与 B 型机器人搬运 600kg 所用时间相等，
900
∴
x+30
= 600 . …………………2 分
x
解此分式方程得： x= 60 .
检验：当 x= 60 时， x(x+ 30) ≠ 0 ，所以 x= 60 是分式方程的解.... …………………4 分
当 x= 60 时， x+ 30 = 90 .
答：A 型机器人每小时搬运90 kg 化工原料，B 型机器人每小时搬运60 kg 化工原料.
………………………………………………………………………………………………5 分
18．解：〔1〕m=0.………2分
〔2〕∵ p< 0 ，∴ p< p+ 1 < 1，
1 2
又因为抛物开口向上，对称轴为x=1，∴y>y. …………5分四、解答题：〔此题共20分，每题5分〕
19．解：过点E作BC 的垂线交BC于点F，交AD的延长线于点M. ………1分
在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 DC 的中点，
∴∠M=∠MFC，DE=CE.
在△MDE 和△FCE 中，
∠M=∠MFC，
∠DEM=∠CEF，
DE=CE.
∴△MDE≌△FCE .

A D M
E
B C
F
∴EF = ME，DM=CF. ………………3 分
3
∵AD=2，BC=5，∴DM=CF= .
2
在 Rt△FCE 中，tanC= 4
3
= EF ，
CF
∴EF = ME =2. ………4 分
2 2 + ( 2 + 3
2
在 Rt△AME 中，AE=
) 2=
65. …5 分
2
20.解：〔1〕CD是⊙O的切线．……………………1分证明：连接 OD．
∵∠ADE=60°，∠C=30°，∴∠A=30°．
∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=30°．
∴∠ODE=∠ODA+∠ADE=30°+60°=90°． ∴OD⊥CD．
∴CD是⊙O的切线．……………………………3分
3
〔2〕在Rt△ODC中，∠ODC=90°，∠C=30°，CD=3 ．
3
∵tanC=OD ， ∴OD=CD·tanC=3 ×
CD
∴OC=2OD=6．
3 =3．
3
∵OB=OD=3，∴BC=OC-OB=6-3=3．…………………………………………5 分
21.解：〔1〕60秒跳绳的成绩在140—160次的人数为：
100−38−26−14−8−4=10〔人〕．…………………1分
〔2〕〔1〕中人数所在扇形统计图中圆心角的度数为：
10
100
× 360° = 36° ．…………………4 分
〔3〕估计全校 60 秒跳绳的次数在 100 次以上的学生人数为：
38 +14 +10 + 4
100
×3600=2376〔名〕．………………5分
22．〔1〕1+3+5+7+9+11+13=72．…………………1分算式表示的意义如图〔1〕．…………………2分
〔2〕第n条黑折线与第n−1条黑折线所围成的图形面积为
2n−1. …………………3 分
〔3〕算式表示的意义如图〔2〕、〔3〕等.…………………5分
1 3 5 7 911 13
〔1〕 〔2〕 〔3〕
五、解答题：〔此题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分〕
23．解：〔1〕顶点坐标A〔1，-1〕.…………………1分
C2 y C1
o x
A1
……………………………………………………………………………………2 分
⎧y= x+ b (1)
⎩
〔2〕⎨y= x2 − 2x
(2)
把〔1〕式代入〔2〕整理得： x2 − 3x− b= 0 .
9
∆ = 9 + 4b= 0，b= −. …………………4 分
4
⎧y= x+ b (1)
⎩
〔3〕⎨y= x2 + 2x
(2)
把〔1〕式代入〔2〕整理得： x2 + x−b= 0 .
1
∆ = 1+ 4b= 0， b= −. …………………6 分
4
∴当直线 y= x+ b与图象 C3有两个交点时， b的取值范围为：
9 1
− < b< −. …………………7 分
4 4
B1
C1
C
B
A1
O
M
E
A
F
24.解：〔1〕由可得：OA=2 3, AB=2,∠A=90°，y
∴∠BOA=∠B1OA1=30°,OB=OB1=4.
又∵∠AOA1为旋转角，
∴∠AOA1=30°.
∴∠B1OA=60°.…………………1分x
过点B1作B1E⊥OA于点E，
3
在Rt∆B1OE中，∠B1OE=60°,OB1=4，
∴OE= 2,
B1E=2 .
∴B1(2, 23) .…………………2分
〔2〕设F为A1C1与OB1的交点，可求得F(1, 3).…………………4分
3
设直线l的方程为y=kx+b，把点〔2，0〕、〔1，
〕代入可得：

⎧⎪0=2k+b,
⎨
⎧⎪k=−3,
解得： ⎨
⎩⎪3=k+b
⎪⎩b=2 3.

∴直线l的方程为 y= −
3x+ 2
. …………………5 分
3
3
3
〔3〕2 ， 2 . …………………7 分
25．〔1〕证明：过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H.
∴∠MGE=∠MHF=900. AD
∵M 为正方形对角线 AC、BD 的交点，∴MG=MH.
M
2
H
1
又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ= 900 ，
Q
∴∠1=∠2. B G C
在△MGE 和△MHF 中
N
11 北京中考数学指导
P
∠1=∠2，
MG=MH，
∠MGE=∠MHF.
∴△MGE≌△MHF.
∴ME=MF. ………………3 分
〔2〕解：①当 MN 交 BC 于点 E，MQ 交 CD 于点 F 时. 过点 M 作 MG⊥BC 于点 G，MH⊥CD 于点 H.
∴∠MGE=∠MHF= 900 .
M
2
1
B
E G
H F
C
Q
N
∵M为矩形对角线AC、BD的交点， A D
∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ= 900 .
∴∠1=∠2.
在△MGE 和△MHF 中，
∠1=∠2
P
∠MGE=∠MHF
∴△MGE∽△MHF.
∴ ME = MG....
MF MH
∵M 为矩形对角线 AB、AC 的交点，∴MB=MD=MC
又∵MG⊥BC，MH⊥CD，∴点 G、H 分别是 BC、DC 的中点.
∵BC = 2AB= 4 ，
∴ MG = 1 AB, MH = 1BC....
2 2
∴ ME = 1.... ………………4 分
MF 2
A E G
N
1
M

2
B
F H
②当 MN 的延长线交 AB 于点 E，MQ 交 BC 于点 F 时.
D
过点 M 作 MG⊥AB 于点 G，MH⊥BC 于点 H.
∴∠MGE=∠MHF=900. C
∵M 为矩形对角线 AC、BD 的交点，
∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=900. .
P
∴∠1=∠2. Q
在△MGE 和△MHF 中，
∠1=∠2，
∠MGE=∠MHF.
∴△MGE∽△MHF .
∴ ME = MG....
MF MH
∵M 为矩形对角线 AC、BD 的交点，∴MB=MA=MC.
又∵MG⊥AB，MH⊥BC，∴点 G、H 分别是 AB、BC 的中点.
∵BC = 2AB= 4 ，∴MG = 1 BC, MH = 1 AB....
2 2
∴ ME = 2.... ………………5 分
MF
③当 MN、MQ 两边都交边 BC 于 E、F 时. 过点 M 作 MH⊥BC 于点 H.
A
M
2 3
B
1
4
E
H F
Q
∴∠MHE=∠MHF=∠NMQ=900 .
D
∴∠1=∠3，∠2=∠4.
∴△MEH∽△FEM，FMH∽△FEM .
ME MH FM MH C
∴ = ， = .
FE FM FE EM
∵M为正方形对角线AC、BD的交点， N
∴点 M 为 AC 的中点.
又∵MH⊥BC，∴点M、H分别是AC、BC的中点. P
∵BC = 2AB= 4 ，∴AB=2.... ∴MH=1....
∴1 = FM
FM 1
=
=
，
EM = EM....
ME MH⋅EF EF MF MH⋅EF EF
1
∴
ME2
+ 1
MF2
=FM2+EM2 EF2

= 1. ………………6 分
E Q D
M
G
C
H F
④当MN交BC边于E点，MQ交AD于点F 时. A
延长 FM 交 BC 于点 G.
易证△MFD≌△MGB. ∴MF=MG. B
同理由③得
1
MG2
+ 1
ME2
=1. P
1
∴
ME2
+ 1
MF2
=1. ………………7分 N
= =
+
ME 1 ME 1 1
综上所述：ME 与MF的数量关系是 或 2或
= 1. …8 分
MF 2 MF
ME2
MF2