2022考前冲刺数学第一部分专题四推理证明的解题技巧.docx

专题四 推理证明的解题技巧
本节主要考查的识点有：归纳推理、类比推理两种合情推理和演绎推理；直接证明与间接证明；算法的含义、几种根本的算法语句、程序框图．推理渗透在每个高考试题中，证明是推理的一种形式，有的问题需要很强的推理论证能力和技巧．推理问题常常以探索性命题的方式出现在高考题中；〔3〕常见的论证方法有：综合法、分析法及反证法等．

〔2〕类比的关健是能把两个系统之间的某些一致性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的模糊认识说清楚，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题．
〔3〕综合法的特点是：以“〞看“可知〞，逐步推向“未知〞，实际上是寻找使问题成立的必要条件，是一个由因导果的过程；分析法的特点是：从“未知〞看“需知〞逐步靠拢“〞，即寻找使问题成立的充分条件，是一个执果索因的过程．
〔4〕一般来说：分析法有两种证明途径：①由命题结论出发，寻找结论成立的充分条件，逐步推导下去；②由命题结论出发，寻找结论成立的充要条件，逐步推导下去．
〔5〕反证法在高考中的要求不高，但这种“正难那么反〞的思维方式值得重视，解决问题时要注意从多方面考虑，提高解决问题的灵活性．

题型一：合情推理
例1〔1〕假设∆ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，那么∆ABC的面积S＝r (a+b+c) 类比到空间，假设四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1、S2 、S3 、S4，那么四面体的体积＝．
〔2〕在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形,
那么第个三角形数为( ).
A.B.
C. D.
【特别提醒】〔1〕类比推理是指两类对象具有一些类似特征，由其中一类的某些特征推出另一类对象的某些特征；〔2〕这是一种归纳推理方法，要善于发现其中的数字间的特征才能找到规律，得到一般形式.
题型二：演绎推理
例2.如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，.
求证：〔1〕∥；
〔2〕.
题型三：直接证明
例3 求证：
证法1：〔综合法〕，当且仅当时等号成立，
当且仅当时等号成立， 即
证法2：〔分析法〕 要证，只要证 即证
，即证 即
由得，
所以原不等式成立

〔1〕用综合法证明时难找到突破口，解题受阻；〔2〕分析法是寻找使不等式成立的充分条件，最后要充分说明推出的结论为什么成立.
题型四：间接证明
例4：函数y=ax+(a＞1).
〔1〕证明：函数f(x)在〔-1,+∞)上为增函数；
〔2〕用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
〔2〕方法一假设存在x0＜0 (x0≠-1)满足f(x0)=0, 那么a=-. ∵a＞1,∴0＜a＜1,
∴0＜-＜1,得＜x0＜2，与假设x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.
方法二假设存在x0＜0 (x0≠-1)满足f(x0)=0, ①假设-1＜x0＜0，那么＜-2,a＜1,
∴f(x0)＜-1,与f(x0)=0矛盾.
②假设x0＜-1,那么＞0,a＞0, ∴f(x0)＞0,与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.
【特别提醒】用反证法证明把握三点〔1〕必须先否认结论，即肯定结论的反面；〔2〕必须从否认结论进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证，〔3〕导致的矛盾可能多种多样，但推导出的矛盾必须是明显的.

2. 函数.
〔１〕求函数的单调区间；
〔2〕试证明：对任意，不等式恒成立．
图
3.如下列图，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.
〔1〕求证：CC1⊥MN；
〔2〕在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.

侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.
答案及其解析
令得
显然是上方程的解
令，，那么

∴是方程的唯一解
∵当时，当时
∵∴
即对，不等式恒成立．
3.【解析】〔1〕∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN.
又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.
〔2〕在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S=S+S－2SScos.其∴PM2·CC=PN2·CC+MN2·CC-2〔PN·CC1〕·〔MN·CC1〕cos∠MNP，