2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(辽宁卷详解).docx

2022·辽宁卷(文科数学)
1．[2022·辽宁卷] 全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，那么集合∁U(A∪B)＝(　　)
A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}
1．D[解析]由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝x|0<x<1}．
2．[2022·辽宁卷] 设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，那么z＝(　　)
A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i
2．A[解析]由(z－2i)(2－i)＝5，得z－2i＝＝2＋i，故z＝2＋3i.
3．、[2022·辽宁卷] a＝2－，b＝log2，c＝log，那么(　　)
A．a＞b＞cB．a＞c＞b
C．c＞b＞aD．c＞a＞b
3．D[解析]因为0<a＝2－<1，b＝log2<0，
c＝log>log＝1，所以c>a>b.
4．[2022·辽宁卷] m，n表示两条不同直线，α表示平面．以下说法正确的选项是(　　)
A．假设m∥α，n∥α，那么m∥n
B．假设m⊥α，n⊂α，那么m⊥n
C．假设m⊥α，m⊥n，那么n∥α
D．假设m∥α，m⊥n，那么n⊥α
4．B[解析]由题可知，假设m∥α，n∥α，那么m与n平行、相交或异面，所以A错误；假设m⊥α，n⊂α，那么m⊥n，故B正确；假设m⊥α，m⊥n，那么n∥α或n⊂α，故C错误；假设m∥α，m⊥n，那么n∥α或n⊥α或n与α相交，故D错误．
5．、[2022·辽宁卷] 设a，b，c是非零向量，命题p：假设a·b＝0，b·c＝0，那么a·c＝0；命题q：假设a∥b，b∥c，那么a∥c.那么以下命题中真命题是(　　)
A．p∨qB．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
5．A[解析]由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．
图1­1
6．[2022·辽宁卷]假设将一个质点随机投入如图1­1所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，那么质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)
A.B.
C.D.
6．B[解析]由题意AB＝2，BC＝1，可知长方形ABCD的面积S＝21＝2，以AB为直径的半圆的面积S1＝π12＝.故质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝＝.
7．、[2022·辽宁卷] 某几何体三视图如图1­2所示，那么该几何体的体积为(　　)
图1­2
A．8－B．8－
C．8－πD．8－2π
7．C[解析]根据三视图可知，该几何体是正方体切去两个体积相等的圆柱的四分之一后余下的局部，故该几何体体积V＝23－π122＝8－π.
8．[2022·辽宁卷] 点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，那么直线AF的斜率为(　　)
A．－B．－1
C．－D．－
8．C[解析]因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝
－，且点A(－2，3)在准线上，故＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.
9．[2022·辽宁卷] 设等差数列{an}的公差为d，假设数列{2a1an}为递减数列，那么(　　)
A．d＞0B．d＜0
C．a1d＞0D．a1d＜0
9．D[解析]令bn＝2a1an，因为数列{2a1an}为递减数列，所以 ＝＝2a1(an＋1－an)＝2a1d<1，所以a1d<0.
10．[2022·辽宁卷] f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝那么不等式
f(x－1)≤的解集为(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
10．A[解析]由题可知，当x∈时，函数f(x)单调递减，由cosπx≤，得≤x≤；当x∈时，函数f(x)单调递增，由2x－1≤，得<x≤.故当x≥0时，由f(x)≤，得≤x≤.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)≤的解解集为∪，所以不等式f(x－1)≤的解满足－≤x－1≤－或≤x－1≤，解得x∈∪.
11．[2022·辽宁卷] 将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
11．B[解析]将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，得到y＝3sin的图像，函数单调递增，那么－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，当k＝0时，可知函数在区间上单调递增．
12．、[2022·辽宁卷] 当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，那么实数a的取值范围是(　　)
A．[－5，－3] B.
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
12．C[解析]当－2≤x<0时，不等式可转化为a≤，令f(x)＝(－2≤x<0)，那么
f′(x)＝＝，故函数f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a≤fmin(x)＝f(－1)＝＝－2.
当x＝0时，不等式恒成立．
当0<x≤1时，a≥，
令g(x)＝(0<x≤1)，
那么g′(x)＝，故函数g(x)在(0，1]上单调递增，此时有a≥gmax(x)＝g(1)＝＝－6.
综上，－6≤a≤－2.
13．[2022·辽宁卷] 执行如图1­3所示的程序框图，假设输入n＝3，那么输出T＝________．
13．20
图1­3
[解析]由题意可知，第一步，i＝1，S＝1，T＝1；第二步，i＝2，S＝3，T＝4；第三步，i＝3，S＝6，T＝10；第四步，i＝4，S＝10，T＝20.
14．[2022·辽宁卷] x，y满足约束条件那么目标函数z＝3x＋4y的最大值为________．
14．18[解析]不等式组表示的平面区域如图阴影局部所示，由z＝3x＋4y得y＝－x＋，当直线经过点C时，z取得最大值．由得故C点坐标为(2，3)，这时z＝32＋43＝18.
15．[2022·辽宁卷] 椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．假设M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，那么|AN|＋|BN|＝________．
15．12[解析]设MN的中点为G，那么点G在椭圆C上，设点M关于C的焦点F1的对称点为A，点M关于C的焦点F2的对称点为B，那么有|GF1|＝·|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
16．[2022·辽宁卷] 对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值为________．
16．－1[解析]因为4a2－2ab＋b2－c＝0，所以(2a＋b)2－c＝6ab＝32ab≤3，所以(2a＋b)2≤4c，当且仅当b＝2a，c＝4a2时，|2a＋b|取得最大值．故＋＋＝＋＝－1，其最小值为－1.
17．、[2022·辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.·＝2，cosB＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
17．解：(1)由·＝2，得c·acosB＝2，
又cosB＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB，
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋22＝13.
联立得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sinB＝＝＝.
由正弦定理，得sinC＝sinB＝＝.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝＝
＝.
于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝
＋＝.
18．、[2022·辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异〞；
(2)在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：χ2＝，
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
18．解：(1)将22列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝＝≈4.762.
由于4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异〞．
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的根本领件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，
其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1，2，bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1，2，3.
Ω由10个根本领件组成，且这些根本领件的出现是等可能的．
用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品〞这一事件，那么A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．
事件A由7个根本领件组成，因而P(A)＝.
19．、[2022·辽宁卷] 如图1­4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
图1­4
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D­BCG的体积．
附：锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．
19．解：(1)证明：由得△ABC≌△DBC，
因此AC＝DC.
又G为AD的中点，所以CG⊥AD，
同理BG⊥AD.又BG∩CG＝G，所以AD⊥平面BGC.
又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB延长线于点O.
由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.
又G为AD的中点，所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半．
在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝，所以
V三棱锥D­BCG＝V三棱锥G­BCD＝·S△DBC·h＝·BD·BC·sin120°·＝.
20．、、[2022·辽宁卷] 圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图1­5所示)．
图1­5
(1)求点P的坐标；
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y＝x＋交于A，B两点，假设△PAB的面积为2，求C的标准方程．
20．解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，那么切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，，其围成的三角形的面积S＝··＝.由x＋y＝4≥2x0y0知当且仅当x0＝y0＝时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)．
(2)设C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由点P在C上知＋＝1，并由得b2x2＋4x＋6－2b2＝0.
又x1，x2是方程的根，所以
由y1＝x1＋，y2＝x2＋，得
|AB|＝|x1－x2|＝·.
由点P到直线l的距离为及S△PAB＝|AB|＝2，得|AB|＝，即b4－9b2＋18＝0，
解得b2＝6或3，因此b2＝6，a2＝3(舍)或b2＝3，a2＝6，从而所求C的方程为＋＝1.
21．、[2022·辽宁卷] 函数f(x)＝π(x－cosx)－2sinx－2，g(x)＝(x－π)＋－1.证明：
(1)存在唯一x0∈，使f(x0)＝0；
(2)存在唯一x1∈，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1＞π.
21．证明：(1)当x∈时，f′(x)＝π＋πsinx－2cosx＞0，所以f(x)在区间上为增函数．又f(0)＝－π－2＜0，f＝－4＞0，所以存在唯一x0∈，使f(x0)＝0.
(2)当x∈时，化简得g(x)＝(π－x)·＋－1.
令t＝π－x那么t∈.记u(t)＝g(π－t)＝
－－t＋1，那么u′(t)＝.
由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)＜0；当t∈时，u′(t)＞0.所以在上u(t)为增函数，由u＝0知，当t∈时，u(t)＜0，所以u(t)在上无零点．
在(0，x0)上u(t)为减函数，
由u(0)＝1及u(x0)＜0知存在唯一t0∈(0，x0)，使u(t0)＝0.
于是存在唯一t0∈，使u(t0)＝0.
设x1＝π－t0∈，那么g(x1)＝g(π－t0)＝u(t0)＝0.因此存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.
由于x1＝π－t0，t0＜x0，所以x0＋x1＞π.
22．[2022·辽宁卷] 选修4­1：几何证明选讲
图1­6
如图1­6，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)假设AC＝BD，求证：AB＝ED.
22．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.
又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，
从而∠BDA＝∠PFA.
因为AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，
所以∠BDA＝90°，故AB为圆的直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，所以∠DAB＝∠CBA.
又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.
因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．
所以ED为直径．又由(1)知AB为圆的直径，所以ED＝AB.
23．[2022·辽宁卷] 选修4­4：坐标系与参数方程
将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
23．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，经变换为C上的点(x，y)，依题意，得由x＋y＝1得x2＋＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.
故C的参数方程为(t为参数)．
(2)由解得或
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，那么线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率k＝，于是所求直线方程为y－1＝，即2x－4y＝－3，
化为极坐标方程，得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，
即ρ＝.
24．[2022·辽宁卷] 选修4­5：不等式选讲
设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
24．解：(1)f(x)＝
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，
故1≤x≤；
当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，
故0≤x＜1.
所以f(x)≤1的解集M＝.
(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16≤4，
解得－≤x≤，
因此N＝，
故M∩N＝.
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是
x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝
x(1－x)＝－≤.