2022-2022版数学新学案北师大版选修2-2练习：第三章-导数应用-3习题课-Word版含解析.docx

习题课——导数的综合应用
课后训练案巩固提升
A组
1.函数f(x)=x3-3x2+1的递减区间是(　　)

A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(-∞,0) D.(0,2)
解析:由f'(x)=3x2-6x<0,得0<x<2.
故函数f(x)=x3-3x2+1的递减区间为(0,2).
答案:D
2.函数f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上(　　)
A.无最值 B.有极值
C.有最大值 D.有最小值
解析:∵f'(x)=2+sin x>0恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增加的.故函数f(x)在(-∞,+∞)上无极值,也无最值.
答案:A
3.对一切实数x,不等式x4+ax2+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-2,2] B.[0,2]
C.[-2,+∞) D.[-4,+∞)
解析:当x=0时,1≥0成立,当x≠0时,x2>0,∴不等式x4+ax2+1≥0恒成立,转化为a≥-1-x4x2max.
令t=x2(t>0),f(t)=-1-t2t=-t-1t,
∴f'(t)=-1+1t2.
当f'(t)>0时,0<t<1,当f'(t)<0时,t>1,∴当t=1时,f(t)max=-2,即-1-x4x2max=-2.∴a≥-2.
答案:C
4.已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad等于(　　)
A.2 B.1
C.-1 D.-2
解析:∵a,b,c,d成等比数列,∴ad=bc.
又∵(b,c)是函数y=3x-x3的极大值点,
∴c=3b-b3,且0=3-3b2.
∴b=1,c=2,或b=-1,c=-2(舍去).∴ad=2.
答案:A
5.函数f(x)=13x3-x2+a,函数g(x)=x2-3x,它们的定义域均为[1,+∞),并且函数f(x)的图像始终在函数g(x)图像的上方,则a的取值范围是(　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.-43,+∞ D.-∞,-43
解析:设h(x)=13x3-x2+a-x2+3x,则h'(x)=x2-4x+3=(x-3)·(x-1),所以当x∈(1,3)时,h(x)是减少的;当x∈(3,+∞)时,h(x)是增加的.当x=3时,函数h(x)取得最小值.
因为f(x)的图像始终在g(x)的图像上方,则有h(x)min>0,即h(3)=a>0,所以a的取值范围是(0,+∞).
答案:A
6.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a=　　　　. 
解析:f'(x)=ax+2bx+1,由题意得a+2b+1=0,a2+4b+1=0,
解得a=-23.
答案:-23
7.若函数f(x)=-12x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减少的,则b的取值范围是　　　　. 
解析:∵函数f(x)在(-1,+∞)上是减少的,
∴f'(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立.
∵f'(x)=-x+bx+2,∴-x+bx+2≤0.
∵b≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立,
∴b≤-1.
答案:(-∞,-1]
8.设函数f(x)=aln x-bx2,a,b∈R.若函数f(x)在x=1处与直线y=-12相切.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)在1e,e上的最大值.
解(1)f'(x)=ax-2bx,∵函数f(x)在x=1处与直线y=-12相切,
∴f'(1)=a-2b=0,f(1)=-b=-12,解得a=1,b=12.
(2)∵f(x)=ln x-12x2,
∴f'(x)=1x-x=1-x2x.
当1e≤x≤e时,令f'(x)>0,得1e≤x<1;
令f'(x)<0,得1<x≤e,∴f(x)在1e,1上是增加的,在[1,e]上是减少的.
∴f(x)max=f(1)=-12.
9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a,b的值.
(2)求函数f(x)的单调区间.
解(1)∵函数f(x)的图像过点P(1,2),
∴f(1)=2,即a+b=1.①
又函数图像在点P处的切线斜率为8,
∴f'(1)=8.
又f'(x)=3x2+2ax+b,∴2a+b=5,②
解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.
(2)由(1)得f'(x)=3x2+8x-3,令f'(x)>0,可得x<-3或x>13,令f'(x)<0,可得-3<x<13,
∴函数f(x)的递增区间为(-∞,-3)和13,+∞,递减区间为-3,13.
10.导学号88184041设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围;
(3)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围.
解(1)∵f'(x)=3x2-6,令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=2,∴当x<-2或x>2时,f'(x)>0;当-2<x<2时,f'(x)<0.
∴f(x)的递增区间为(-∞,-2)和(2,+∞);
f(x)的递减区间为(-2,2).
当x=-2时,f(x)有极大值,为5+42,
当x=2时,f(x)有极小值,为5-42.
(2)由(1)知函数y=f(x)的图像大致形状如图所示.

当5-42<a<5+42时,直线y=a与y=f(x)的图像有三个不同交点,
即方程f(x)=a有三个不同的实根.
(3)当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1),
即(x-1)(x2+x-5)≥k(x-1)(x∈(1,+∞)).
∵x>1,∴k≤x2+x-5在(1,+∞)上恒成立.
令g(x)=x2+x-5,
∵g'(x)=2x+1>0(x>1),
∴g(x)在(1,+∞)上是增加的.
∴g(x)>g(1)=-3.
∴k的取值范围是(-∞,-3].
B组
1.函数f(x)的定义域为R,f(-2)=2 017,对任意x∈R,都有f'(x)<2x成立,则不等式f(x)>x2+2 013的解集为(　　)
A.(-2,2) B.(-2,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-∞,+∞)
解析:令F(x)=f(x)-x2-2 013,则F'(x)=f'(x)-2x<0,∴F(x)在R上是减少的.
又F(-2)=f(-2)-4-2 013=2 017-2 017=0,
∴当x<-2时,F(x)>F(-2)=0.
∴不等式f(x)>x2+2 013的解集为(-∞,-2).
答案:C
2.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.
(1)若f(x)的递减区间是(-1,1),则a的取值集合是　　　　. 
(2)若f(x)在区间(-1,1)上是减少的,则a的取值集合是　　　　　　　. 
解析:f'(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).
(1)∵f(x)的递减区间为(-1,1),
∴-1和1是方程f'(x)=0的两根.
∴3-2a3=1.∴a=0,即a的取值集合为{0}.
(2)∵f(x)在区间(-1,1)上是减少的,∴f'(x)<0在(-1,1)上恒成立.
又二次函数y=f'(x)的图像开口向上,一根为-1,必有3-2a3≥1,∴a≤0,即a的取值集合为{a|a≤0}.
答案:(1){0}　(2){a|a≤0}
3.已知函数f(x)=x-2ln x-ax+1,g(x)=ex(2ln x-x).
(1)若函数f(x)在定义域上是增加的,求a的取值范围.
(2)求g(x)的最大值.
解(1)由题意得x>0,f'(x)=1-2x+ax2,
∵函数f(x)在定义域上是增加的,
∴f'(x)≥0,即a≥2x-x2=-(x-1)2+1.
∵-(x-1)2+1≤1(当x=1时,取等号)
∴a的取值范围是[1,+∞).
(2)g'(x)=ex2x-1+2lnx-x,
由(1)得a=2时,f(x)=x-2ln x-2x+1,
∵f(x)在定义域上是增加的,又f(1)=0,
∴当x∈(0,1)时,f(x)<0,当x∈(1,+∞)时f(x)>0.
∴当x∈(0,1)时,g'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.
∴当x=1时,g(x)取得最大值g(1)=-e.
4.导学号88184042已知函数f(x)=x3+bx2+cx+1在区间(-∞,-2]上是增加的,在区间[-2,2]上是减少的,且b≥0.
(1)求f(x)的表达式;
(2)设0<m≤2,若对任意的x',x″∈[m-2,m],不等式|f(x')-f(x″)|≤16m恒成立,求实数m的最小值.
分析:(1)先由条件得f'(-2)=0,再由范围控制求得b.
(2)关键是|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min,进而转化为求函数在[m-2,m]上的最值即可.
解(1)∵f(x)=x3+bx2+cx+1,
∴f'(x)=3x2+2bx+c.
∵f(x)在区间(-∞,-2]上是增加的,在区间[-2,2]上是减少的,∴方程f'(x)=3x2+2bx+c=0有两个不等实根x1,x2,且x1=-2,x2≥2.
∵x1+x2=-2b3,x1x2=c3,
∴x2=-2b3+2.
∴-2b3+2≥2.∴b≤0.
∵已知b≥0,∴b=0.
∴x2=2,c=-12.
∴f(x)=x3-12x+1.
(2)对任意的x',x″∈[m-2,m],不等式|f(x')-f(x″)|≤16m恒成立,等价于在区间[m-2,m]上,[f(x)]max-[f(x)]min≤16m.
f(x)=x3-12x+1,f'(x)=3x2-12.
由f'(x)=3x2-12<0,解得-2<x<2.
∴f(x)的递减区间为[-2,2].
∵0<m≤2,∴[m-2,m]⊆[-2,2].
∴f(x)在区间[m-2,m]上是减少的,
[f(x)]max=f(m-2)=(m-2)3-12(m-2)+1,
[f(x)]min=f(m)=m3-12m+1,
[f(x)]max-[f(x)]min=[(m-2)3-12(m-2)+1]-(m3-12m+1)=-6m2+12m+16.
∵[f(x)]max-[f(x)]min≤16m,
∴-6m2+12m+16≤16m,3m2+2m-8≥0,解得m≤-2,或m≥43.
∵0<m≤2,∴mmin=43.