2022年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题(四川卷详解).docx

2022·四川卷(理科数学)
1．[2022·四川卷] 集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，那么A∩B＝(　　)
A．{－1，0，1，2}B．{－2，－1，0，1}
C．{0，1}D．{－1，0}
1．A[解析]由题意可知，集合A＝{x|－1≤x≤2}，其中的整数有－1，0，1，2，故A∩B＝{－1，0，1，2}，应选A.
2．[2022·四川卷] 在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)
A．30B．20 C．15D．10
2．C[解析]x(1＋x)6的展开式中x3项的系数与(1＋x)6的展开式中x2项的系数相同，故其系数为C＝15.
3．[2022·四川卷] 为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin2x的图像上所有的点(　　)
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
3．A[解析]因为y＝sin(2x＋1)＝sin2，所以为得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需要将y＝sin2x的图像向左平行移动个单位长度．
4．[2022·四川卷] 假设a>b>0，c<d<0，那么一定有(　　)
A.>B.<
C.>D.<
4．D[解析]因为c＜d＜0，所以<＜0，即－>－＞0，与a＞b＞0对应相乘得，－>－＞0，所以<.应选D.
5．，[2022·四川卷] 执行如图1­1所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为(　　)
图1­1
A．0B．1 C．2D．3
5．C[解析]题中程序输出的是在的条件下S＝2x＋y的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x＝1，y＝0时，S＝2x＋y取得最大值2，2>1，应选C.
6．[2022·四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有(　　)
A．192种B．216种
C．240种D．288种
6．B[解析]当甲在最左端时，有A＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有AAA＝424＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．应选B.
7．[2022·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，那么m＝(　　)
A．－2B．－1
C．1D．2
7．2[解析]c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知＝，即＝，即5m＋8＝，解得m＝2.
图1­2
8．[2022·四川卷] 如图1­2，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，那么sinα的取值范围是(　　)
A.B.
C.D.
8．B[解析]连接A1O，OP和PA1，不难知∠POA1就是直线OP与平面A1BD所成的角(或其补角)设正方体棱长为2，那么A1O＝.
(1)当P点与C点重合时，PO＝，A1P＝2，且cosα＝＝－，此时α＝∠A1OP为钝角，sinα＝＝；
(2)当P点与C1点重合时，PO＝A1O＝，A1P＝2，且cosα＝＝，此时α＝∠A1OP为锐角，sinα＝＝；
(3)在α从钝角到锐角逐渐变化的过程中，CC1上一定存在一点P，使得α＝∠A1OP＝90°.又因为＜，故sinα的取值范围是，应选B.
9．[2022·四川卷] f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1，1)．现有以下命题：
①f(－x)＝－f(x)；②f＝2f(x)；
③|f(x)|≥2|x|.
其中的所有正确命题的序号是(　　)
A．①②③B．②③C．①③D．①②
9．A[解析]f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)
＝ln＝－ln＝－
＝－f(x)，故①正确；当x∈(－1，1)时，∈(－1，1)，且f＝ln－ln＝ln＝ln＝ln＝2ln＝2[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝2f(x)，故②正确；
由①知，f(x)为奇函数，所以|f(x)|为偶函数，那么只需判断当x∈[0，1)时，f(x)与2x的大小关系即可．
记g(x)＝f(x)－2x，0≤x＜1，
即g(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x，0≤x<1，
g′(x)＝＋－2＝，0≤x＜1.
当0≤x＜1时，g′(x)≥0，
即g(x)在[0，1)上为增函数，且g(0)＝0，所以g(x)≥0，
即f(x)－2x≥0，x∈[0，1)，于是|f(x)|≥2|x|正确．
综上可知，①②③都为真命题，应选A.
10．，[2022·四川卷] F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，那么△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)
A．2B．3 C.D.
10．B[解析]由题意可知，F.设A(y，y1)，B(y，y2)，∴·＝y1y2＋yy＝2，
解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.
当y≠y时，AB所在直线方程为y－y1＝(x－y)＝(x－y)，
令y＝0，得x＝－y1y2＝2，即直线AB过定点C(2，0)．
于是S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝2|y1|＋2|y2|＋|y1|＝(9|y1|＋8|y2|)≥2＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y＝y时，取y1＝，y2＝－，那么AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝22＋＝，而>3，应选B.
11．[2022·四川卷] 复数＝________．
11．－2i[解析]＝＝－2i.
12．[2022·四川卷] 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝那么f＝________．
12．1[解析]由题意可知，f＝f＝f＝－4＋2＝1.
13．，[2022·四川卷] 如图1­3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，那么河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)
图1­3
13．60[解析]过A点向地面作垂线，记垂足为D，那么在Rt△ADB中，∠ABD＝67°，AD＝46 m，∴AB＝＝＝50(m)，
在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝67°－30°＝37°，AB＝50 m，
由正弦定理得，BC＝＝60 (m)，
故河流的宽度BC约为60 m.
14．，[2022·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，那么|PA|·|PB|的最大值是________．
14．5[解析]由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，那么其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.
∴|PA||PB|≤＝5，
当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立．
15．，[2022·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，那么“f(x)∈A〞的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b〞；
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；
③假设函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，那么f(x)＋g(x)∉B；
④假设函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，那么f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④[解析]假设f(x)∈A，那么f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．
取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．
当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．
对于f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝(x＞－2)．
易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确．
16．，，，[2022·四川卷] 函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)假设α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．
16．解：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sinαcos＋cosαsin＝(cos2α－sin2α)，
即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．
当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，
得α＝＋2kπ，k∈Z，
此时，cosα－sinα＝－.
当sinα＋cosα≠0时，(cosα－sinα)2＝.
由α是第二象限角，得cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－.
综上所述，cosα－sinα＝－或－.
17．，，，[2022·四川卷] 一款击鼓小游戏的规那么如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐那么扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，假设干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
17．解：(1)X可能的取值为10，20，100，－200.
根据题意，有
P(X＝10)＝C＝，
P(X＝20)＝C＝，
P(X＝100)＝C＝，
P(X＝－200)＝C＝.
所以X的分布列为：
X
10
20
100
－200
P

(2)设“第i盘游戏没有出现音乐〞为事件Ai(i＝1，2，3)，那么
P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐〞的概率为1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
(3)由(1)知，X的数学期望为EX＝10＋20＋100－200＝－.
这说明，获得分数X的均值为负．
因此，屡次游戏之后分数减少的可能性更大．
18．，，，[2022·四川卷] 三棱锥A­BCD及其侧视图、俯视图如图1­4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
(1)证明：P是线段BC的中点；
(2)求二面角A­NP­M的余弦值．
图1­4
18．解：(1)如下列图，取BD的中点O，连接AO，CO.
由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，
所以AO⊥BD，OC⊥BD.
因为AO，OC⊂平面AOC，且AO∩OC＝O，
所以BD⊥平面AOC.
又因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC.
取BO的中点H，连接NH，PH.
又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MN∥BD，NH∥AO，
因为AO⊥BD，所以NH⊥BD.
因为MN⊥NP，所以NP⊥BD.
因为NH，NP⊂平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.
又因为HP⊂平面NHP，所以BD⊥HP.
又OC⊥BD，HP⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，所以HP∥OC.
因为H为BO的中点，所以P为BC的中点．
(2)方法一：如下列图，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.
由(1)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP.
因为MN⊥NP，所以∠MNQ为二面角A­NP­M的一个平面角．
由(1)知，△ABD，△BCD为边长为2的正三角形，所以AO＝OC＝.
由俯视图可知，AO⊥平面BCD.
因为OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC，因此在等腰直角△AOC中，AC＝.
作BR⊥AC于R
因为在△ABC中，AB＝BC，所以R为AC的中点，
所以BR＝＝.
因为在平面ABC内，NQ⊥AC，BR⊥AC，
所以NQ∥BR.
又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，
所以NQ＝＝.
同理，可得MQ＝.
故△MNQ为等腰三角形，
所以在等腰△MNQ中，
cos∠MNQ＝＝＝.
故二面角A­NP­M的余弦值是.
方法二：由俯视图及(1)可知，AO⊥平面BCD.
因为OC，OB⊂平面BCD，所以AO⊥OC，AO⊥OB.
又OC⊥OB，所以直线OA，OB，OC两两垂直．
如下列图，以O为坐标原点，以OB，OC，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O­xyz.
那么A(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)．
因为M，N分别为线段AD，AB的中点，
又由(1)知，P为线段BC的中点，
所以M，N，P，于是AB＝(1，0，－)，BC＝(－1，，0)，MN＝(1，0，0)，NP＝.
设平面ABC的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，
由得即

从而
取z1＝1，那么x1＝，y1＝1，所以n1＝(，1，1)．
设平面MNP的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，由，
得
即
从而
取z2＝1，那么y2＝1，x2＝0，所以n2＝(0，1，1)．
设二面角A­NP­M的大小为θ，那么cosθ＝＝＝.
故二面角A­NP­M的余弦值是.
19．，[2022·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．
(1)假设a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；
(2)假设a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.
19．解：(1)由得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，所以
2a8＝42a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2，
所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.
(2)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，
其在x轴上的截距为a2－.
由题意有a2－＝2－，解得a2＝2.
所以d＝a2－a1＝1.
从而an＝n，bn＝2n，
所以数列{}的通项公式为＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋，
2Tn＝＋＋＋…＋，
因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.
所以，Tn＝.
20．，，[2022·四川卷] 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
②当最小时，求点T的坐标．
20．解：(1)由可得
解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，
那么直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
设M为PQ的中点，那么M点的坐标为.
所以直线OM的斜率kOM＝－，
又直线OT的斜率kOT＝－，
所以点M在直线OT上，
因此OT平分线段PQ.
②由①可得，
|TF|＝，
|PQ|＝
＝
＝
＝.
所以＝＝
≥＝.
当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．
故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
21．，[2022·四川卷] 函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)假设f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．
21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.
所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当<a<时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，
于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当<a<时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；
当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.
(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，
那么由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．
那么g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.
故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以<a<.
此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.
由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，
那么g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，
解得e－2<a<1.
当e－2<a<1时，g(x)在区间[0，1]内有最小值g(ln(2a))．
假设g(ln(2a))≥0，那么g(x)≥0(x∈[0，1])，
从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0.
又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.
由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．
所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)<f(1)＝0，
故f(x)在(x1，x2)内有零点．
综上可知，a的取值范围是(e－2，1)．