2022-2022学年高中数学人教A版必修2学案：1.1.1-棱柱、棱锥、棱台的结构特征-Word版含解析.doc

1.1.1　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

知识导图

学法指导
1.通过观察和感知实物模型，从整体上认识柱、锥、台、球的结构特征．
2．利用柱、锥、台之间的联系来加强记忆，如棱柱、棱锥、棱台为一类，圆柱、圆锥、圆台为一类；或分成柱体、锥体、台体三类来分别认识，只有对比才能把握实质与区别，只有联系才能理解共性与个性．
3．与平面几何体的有关概念、图形和性质进行适当类比，初步学会用类比的思想分析问题和解决问题．
高考导航
多面体和旋转体作为将要在第二章学习的线面位置关系的载体，其结构特征是必考内容，需要重点掌握，题型以客观题为主，分值5分.

知识点一　空间几何体
1．空间几何体的定义
空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫作空间几何体．
2．空间几何体的分类

多面体
旋转体
定义
由若干个平面多边形围成的几何体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体
图形

相关
概念
面：围成多面体的各个多边形；
棱：相邻两个面的公共边；
顶点：棱与棱的公共点
轴：形成旋转体所绕的定直线

任意一个几何体都是由点、线、面构成的. 点、线、面是构成几何体的基本元素．
我们还可以从运动的观点来理解空间基本图形之间的关系．在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．同样，一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．即点动成线，线动成面，面动成体．

多面体与旋转体的异同
相同点：两者都是封闭的几何体，包括表面及其内部的所有点．
不同点：多面体的表面是平面多边形，旋转体的侧面是曲面，底面为圆．
知识点二　多面体

多面体
定义
图形及表示
相关概念
棱
柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫作棱柱

如图可记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′
底面(底)：两个互相平行的面；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：侧面与底面的公共顶点
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫作棱锥

如图可记作：棱锥S－ABCD
底面(底)：多边形面；
侧面：有公共顶点的各个三角形面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：各侧面的公共顶点
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台

如图可记作：棱台：ABCD－A′B′C′D′
上底面：原棱锥的截面；
下底面：原棱锥的底面；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
对于多面体概念的理解，注意以下两个方面
(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．
(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱柱的侧面都是平行四边形．(　　)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．(　　)
(3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．下面图形中，为棱锥的是(　　)

A．①③　　B．①③④
C．①②④ D．①②
解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③
不是棱锥，④是棱锥．故选C.
答案：C
3．下列图形中，是棱台的是(　　)

解析：由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.
答案：C
4．一个棱柱至少有______个面，顶点最少的一个棱台有______条侧棱．
解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有五个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有三条侧棱．
答案：5　3

类型一　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1　(1)下列命题中正确的是________．(填序号)
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面；
③三棱锥的任何一个面都可看作底面；
④棱台各侧棱的延长线交于一点．
(2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．
①这是一个六面体.
②这是一个四棱台.
③这是一个四棱柱.
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到．
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．

【解析】　(1)结合有关多面体的定义及性质判断．对于①，还可能是棱台；对于②，只要看一个正六棱柱模型即知是错的；对于③，显然是正确的；④显然符合定义．故填③④.

(2)①正确．因为有六个面，属于六面体的范围．②错误．因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．③正确．如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱．
④⑤都正确．如图所示．
【答案】　(1)③④　(2)①③④⑤
(1)棱柱的概念⇒实物体⇒棱柱的特征．
(2)棱锥、棱台的判断⇒实物体⇒棱锥、棱台的特征．

方法归纳
在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义判断，这就要求熟悉各种空间几何体的概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断．
跟踪训练1　(1)棱台不具备的特点是(　　)
A．两底面相似　B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
(2)给出下列几个命题，其中错误的命题是(　　)
A．棱柱的侧面都是平行四边形
B．棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点
C．多面体至少有四个面
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
解析：(1)由棱台的定义及特征知，A、B、D是棱台的特点，故选C.(2)根据各种几何体的概念与结构特征判断命题的真假．A、B均为真命题；对于C，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故C也是真命题；对于D，只有当截面与底面平行时才对．
答案：(1)C　(2)D
利用棱柱、棱锥、棱台的定义来判断它们的结构特征．

类型二　简单几何体的判定
例2　

如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．
【解析】　(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．
(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．
截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.
1．利用棱柱定义来判断．
2．棱柱的分类以底面图形的形状来分类．

方法归纳
解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数．

跟踪训练2　如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体有几个面、几个顶点、几条棱？
解析：这个几何体有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．

观察图形计算出面、顶点、棱的个数，四边形ABCD是否是几何体的一个面易错.

[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下面的几何体中是棱柱的有(　　)

A．3个　B．4个
C．5个 D．6个
解析：棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.
答案：C
2．下列关于棱锥、棱台的说法，其中不正确的是(　　)
A．棱台的侧面一定不会是平行四边形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
解析：

选项A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；选项B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；选项C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；选项D错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
答案：D
3．下列实物不能近似看成多面体的是(　　)
A．钻石 B．粉笔盒
C．篮球 D．金字塔
解析：钻石、粉笔盒、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．篮球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．
答案：C
4．下列三种叙述，正确的有(　　)
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：本题考查棱台的结构特征，①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.

答案：A
5．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是(　　)
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．
答案：4　8
7．下列几个命题：
①棱柱的底面一定是平行四边形；
②棱锥的底面一定是三角形；
③棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱．
其中正确的是________．(填序号)
解析：①棱柱的底面可以为任意多边形．②棱锥的底面可以为四边形、五边形等．
答案：③
8．下列说法正确的有________．
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；
④多面体至少有四个面．
解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．④显然正确．因而正确的有①③④.
答案：①③④
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解析：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
10.

如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
解析：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)
[能力提升](20分钟，40分)
11．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是(　　)

A．南 B．北
C．西 D．下
解析：将所给图形还原为正方体，并将已知面“上”、“东”分别指向上面、东面，则标记“△”的为北面．
答案：B
12．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱．
底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．
底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体．
侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体．
底面是矩形的直平行六面体叫作长方体．
棱长都相等的长方体叫作正方体．
请根据上述定义，回答下面的问题(填“一定”、“不一定”“一定不”)：
(1)直四棱柱________是长方体；
(2)正四棱柱________是正方体．
解析：根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体．
答案：(1)不一定　(2)不一定
13．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
解析：画三棱台一定要利用三棱锥．

(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′－AB″C″，另一个多面体是B′C′BCC″B″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′－ABC，B′－A′BC，C′－A′B′C.

14．如图所示，长方体的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？
解析：依题意，长方体ABCD－A1B1C1D1
的表面可有如图所示的三种展开图．

展开后，A，C1两点间的距离分别为：＝ (cm)，＝4 (cm)，＝3 (cm)，三者比较得 cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程．