高中数学人教版(A版)选择性必修-第二册(2019)-归纳-《等差数列与等比数列》归纳总结-公开课.docx

《等差数列与等比数列》知识清单

等差数列
等比数列
概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 都等于同一个 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,通常用字母d表示.
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 等于同一个 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示(q≠0)．
等差(比)中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时,A叫做a与b的 ,且A= ．
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，且G2＝ 或G＝ .
递推公式
an＋1－an=d
=q
通项公式an
an=a1＋(n－1)dam－an＝ d,
即d＝.
an＝a1qn-1 an＝amqn-m,当n－m为大于1的奇数时q＝；当n－m为正偶数时，q＝±
由递推公式推导通项公式
[累加法]由an＋1－an=d得
an－an－1=d,an－1－an－2=d,…,a3－a2=d,a2－a1=d,将这n－1个式子相加得:(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a3－a2)+(a2－a1)=(n－1)d,则an－a1=(n－1)d
即an=a1＋(n－1)d.
[累乘法]由=q得
=q, =q,…,=q,=q,将这n－1个式子相乘得·…··=qn-1,得=qn-1即an＝a1qn-1.
数列的单调性
单调性：d＞0时,{an}为 数列；d＜0时,{an}
为 数列；d＝0时,{an}为 数列．
①当a1＞0， 或a1＜0， 时，等比数列{an}是递增数列；②当a1＞0， 或a1＜0， 时，等比数列{an}是递减数列；③当 时，它是一个常数列；④当 时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
数列的性质(一)
(1)在等差数列中,按序等距离取出若干项也构成一个等差数列,即an,an＋m,an＋2m,…为等差数列,公差为md.
(2)在等差数列中,若m＋n＝s＋t,则有am＋an＝as＋ ；若2k＝m＋n,则有 ak＝am＋an(m,n,s,t∈N*)．
(3)若{an},{bn}均为等差数列,且公差分别为d1,d2,则数列{pan},{an＋q},{λan±μbn}也为 数列,且公差分别为 , , .
(1)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即an，an＋m，an＋2m…仍为等比数列，公比为 ．
(2)在等比数列中，若m＋n＝s＋t，则am·an＝as·at；
若2k＝m＋n，则a＝am·an(m，n，s，t，k∈N*)．
(2)若{an}，{bn}均为等比数列，且公比为q1，q2，则数列，{p·an}(p≠0)，{an·bn}，仍为等比数列且公比为 ， ， ， .
前n项和公式Sn
等差数列前n项和公式Sn＝ ＝ .其推导方法是倒序相加法．
等比数列{an}中，Sn＝ 求和公式的推导方法是：错位相减法，为解题的方便，有时可将求和公式变形为Sn＝Aqn－A(q≠1)，其中A＝ ，且q≠0，q≠1.
由通项公式的推导Sn
[倒序相加法]Sn=a1＋a2+…+an-1＋an,---① Sn=an＋an-1+…+a2＋a1,---②,则①+②得, 2Sn=(a1＋an)+ (a2＋an-1)+…+(an＋a1)=n(a1＋an),即Sn=
[错位相减法]当q≠1时Sn=a1＋a2+…+an-1＋an,---①, qSn=a2＋a3+…+an＋an+1,---②,则①－②得(1－q)Sn= a1－an+1,得Sn= = .
数列的性质(二)
(4)等差数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…为等差数列,公差为n2d.
(5)若等差数列的有n项,当n为偶数时,则有S偶－S奇＝nd,则＝.若n为奇数,则＝
(6){an}为等差数列,Sn为前n项和,则S2n－1＝(2n－1)an；{bn}为等差数列Tn为前n项和,则T2n－1＝(2n－1)bn,
＝.
(4)等比数列前n项和为Sn(≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成等比数列，且公比为 ．

证明数列是等差(比)数列的方法
等差数列的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*,n≥2)⇔{an}是等差数列；
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k,b是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A,B是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．

等比数列的判定方法
(1)定义法：an＋1＝anq且a1≠0(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝qn－＝Aqn－A⇔{an}是等比数列．
求数列的最大(小)项的方法
判断数列单调性的2种方法
(1)作差比较法：比较an＋1－an与0的大小．
(2)作商比较法：比较与1的大小，注意an的符号．
求数列最大项或最小项的方法
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；
(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
数列求和法
数列求和方法
(1)等差数列、等比数列前n项和公式．
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{an}前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法．
(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．