2022春期期中考试高二数学试题及答案(理).docx

2022春期期中考试高二数学〔理〕
一.选择题：
1.复数的实部与虚部的和等于〔C〕
A． B． C． D．
解析：
2.汽车以(单位：)作变速直线运动时，在第至第间的内经过的位移是( C )
A. B. C. D.
解析：
3.以下命题错误的选项是(B)．
A．三角形中至少有一个内角不小于60°；
B．对任意的，函数至少存在一个极值点.
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点；
D．在锐角三角形中，任意一个角的正弦大于另两个角的余弦；
解析：，当，即时，是单调增加的，不存在极值点，故B错误．
4．函数，那么的值为〔D 〕
A．B．1C．eD．0
解析：
5．假设曲线在点处的切线与直线互相垂直，那么实数〔A〕
A．－2 B．2C． 1 D．－1
解析：，所以，，得
6.如图，一个树形图依据以下规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.第12行的实心圆点的个数为〔B〕.
A. 88 B. 89 C.90 D.91
解析：第行实心圆点有个，空心圆点有个，由树形图的生长规律可得，
∴〔即斐波那契数列〕，可得数列为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…，
即
7. 设是函数的导函数，的图象如下列图，那么的图象最有可能的是〔C〕
8．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。甲：我不会证明。乙：丙会证明。丙：丁会证明。丁：我不会证明。根据以上条件，可以判定会证明此题的人是〔A〕
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
解析：假设丙说了真话，那么甲必是假话，矛盾；假设丁说了真话，那么甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意；以此类推。易得出答案：A
9.定义在上的函数既有极大值又有极小值，那么实数的取值范围是〔D〕
A．B．C． D．
解析：，由题意得：，解得：
10.假设为纯虚数，其中，那么等于〔B〕
A．B．C．1 D．1或
解析：由为纯虚数，得，所以
11.：函数，、为其图像上任意两点，那么直线的斜率的最小值为〔B〕
A.B.C.D.
解析：，而，易得，在上单调减少，在上单调增加，故
12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.那么有〔D〕
A．B．
C．D．
解析：由得，，即，亦即函数在上是单调增加的。故
二.填空题：
13. ____________.
解析：
14. ：，那么=_________.
解析：,所以，得
15.假设函数，那么_______．
解析：，那么，所以，；
故，那么有，得，
16.平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为，外接圆面积为，那么推广到空间可以得到类似结论；正四面体的内切球体积为，外接球的体积为，那么.
解析：把正四面体放置在棱长为1的正方体中，易知正四面体的棱长为高为，内切球半径，外接球半径，那么
三.解答题：17题，12分。22题，10分。答题卡上的分值有误，请以题卷和评分标准为准。
17.〔本小题总分值12分〕
用数学归纳法证明：对于任意的，
证明：〔1〕当时，左边==右边，命题成立；……………………………………2分
〔2〕假设当〔〕命题成立，即；…………4分
当时
左边=…………………………6分
=………………8分
即，当时，命题成立。………………………………………………11分
综上所述，对于任意的，………………………12分
18.〔本小题总分值12分〕
函数，其中．
〔1〕求证：函数在区间上是单调函数；
〔2〕求函数的极小值。
〔1〕证明：．………………………………2分
因为且，所以．
所以函数在区间上是增函数．…………4分
〔2〕解：由题意，
那么.
令，得 , …………6分
当时，, 那么函数在区间上是单调递增函数；
当时，, 那么函数在区间上是单调递减函数；
当时，, 那么函数在区间上是单调递增函数；………9分
所以，函数的极小值点为，………10分
故函数的极小值是………12分
19.〔本小题总分值12分〕
用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大最大体积是多少
解析：设长方体的宽为xm，那么长为2xm，高.……2分
故长方体的体积为……………………5分
从而
令，解得x=0〔舍去〕或x=1，因此x=1.……………………………………7分
当0＜x＜1时，；当1＜x＜时，，
故在x=1处V〔x〕取得极大值，并且这个极大值就是V〔x〕的最大值.…………………………10分
从而最大体积V＝3〔m3〕，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3m3 .…………12分
20. 〔本小题总分值12分〕
，
〔1〕假设函数在上为单调函数，求实数的取值范围；
〔2〕假设当时，对任意恒成立，求实数的取值范围.
解：〔1〕定义域为，，……………………2分
因为在上为单调函数，那么方程在上无实根。………4分
故，那么……………………………………………………6分
〔2〕，那么，对一切恒成立.……7分
设，那么，
当单调递减，
当单调递增. …………10分
在上，有唯一极小值，即为最小值.
所以，因为对任意恒成成立，
故……………………………………………12分
21.〔本小题总分值12分〕
函数且在处的切线的斜率为.
〔1〕求的值，并讨论在上的单调性；
〔2〕设假设对任意,总存在使得成立，求的取值范围.
解：(1〕函数且在处的切线的斜率为，
解得：; ……………2分
此时，，当时，，当时，
，函数在上单调递减，在上单调递增. ………………6分
(2〕当时，单调递增，
那么只需在上恒成立即可，……………………8分
①当时，在上恒成立，即在上单调递增，又
在上恒成立，故时成立.
②当时，假设，那么此时单调递减，
故当时不成立. ……………………11分
综上……………………12分
22.【从下面两小题中任选其一题，假设选择做两题只按第一题给分】〔本小题总分值10分〕
(1)：为互不相等的实数，且
求证：
解析：根据条件可得，……………………2分
又因为为互不相等的实数，那么有…………………………5分
同理可得，…………………………………………7分
所以…………………………………………10分
〔2〕：，，求证：
，，，