2022-2022版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章-圆锥曲线与方程-3.3.2-Word版含解析.docx

3.2　双曲线的简单性质
课后训练案巩固提升
A组
1.已知双曲线x2a2-y25=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于(　　)

A.31414 B.324 C.32 D.43
解析:∵c=3,a2+5=9,∴a=2.故e=ca=32.
答案:C
2.设双曲线x2a2-y29=1(a>0)的渐近线方程3x±2y=0,则a的值为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:双曲线x2a2-y29=1的渐近线方程为3x±ay=0,与已知方程比较系数得a=2.
答案:C
3.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为(　　)
A.6 B.5 C.62 D.52
解析:ba=24=12=c2-a2a2=e2-1,∴e=52.
答案:D
4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(　　)
A.x25-y24=1 B.x24-y25=1
C.x23-y26=1 D.x26-y23=1
解析:圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bx±ay=0,根据已知得3ba2+b2=2,即3b3=2,解得b=2,则a2=5,故所求的双曲线方程是x25-y24=1.故选A.
答案:A
5.已知双曲线x22-y2b=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(3,y0)在该双曲线上,则PF1·PF2=(　　)
A.-12 B.-2 C.0 D.4
解析:∵y=x为渐近线方程,则b=2,即双曲线方程为x2-y2=2.当x=3时,y02=1.又双曲线的半焦距为2,∴PF1·PF2=(-2-3,-y0)·(2-3,-y0)=-1+y02=-1+1=0.故选C.
答案:C
6.导学号90074078设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A.3x±4y=0 B.3x±5y=0
C.4x±3y=0 D.5x±4y=0
解析:如图,

由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在△PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=12|PF1|.
又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+2c,
即|PM|=a+c.
∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.
又c2=a2+b2,∴ba=43,
∴渐近线方程为y=±43x,即4x±3y=0.
答案:C
7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5∶4,则双曲线的标准方程是　　　　　. 
解析:双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为5∶4,即c∶b=5∶4.
又c2=a2+b2,解得c=5,b=4,
所以双曲线的标准方程是x29-y216=1.
答案:x29-y216=1
8.若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是　　　　　. 
解析:由题意,得c=10=a2+b2,ba=3,由此解得b=3,a=1,故所求双曲线的方程是x2-y29=1.
答案:x2-y29=1
9.已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为2,焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为　　　　　;渐近线方程为　　　　　. 
解析:椭圆x225+y29=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),
∴双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0),在双曲线x2a2-y2b2=1中,c=4,e=2,∴a=2.∴b=23.∴渐近线方程为3x±y=0.
答案:(±4,0)　3x±y=0
10.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)虚轴长为12,离心率为54;
(2)两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±32x;
(3)求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程.
解(1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1或y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
由题意,知2b=12,ca=54,且c2=a2+b2,
∴b=6,c=10,a=8.
∴双曲线的标准方程为x264-y236=1或y264-x236=1.
(2)设以y=±32x为渐近线的双曲线方程为x24-y29=λ(λ≠0).
当λ>0时,a2=4λ,∴2a=24λ=6.∴λ=94.
当λ<0时,a2=-9λ,
∴2a=2-9λ=6.∴λ=-1.
∴双曲线的方程为x29-y2814=1或y29-x24=1.
(3)设与双曲线x22-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为x22-y2=k(k≠0).
将点M(2,-2)的坐标代入,得k=222-(-2)2=-2.
∴双曲线的标准方程为y22-x24=1.
B组
1.已知0<θ<π4,则双曲线C1:x2sin2θ-y2cos2θ=1与C2:y2cos2θ-x2sin2θ=1的(　　)
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
解析:对于θ∈0,π4,sin2θ+cos2θ=1,因而两条双曲线的焦距相等,故选D.
答案:D
2.过双曲线M:x2-y2b2=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是(　　)
A.10 B.5 C.103 D.52
解析:这里的a=1,c=b2+1,故关键是求出b2,即可利用定义求解.
易知A(-1,0),则直线l的方程为y=x+1,与两条渐近线y=-bx和y=bx的交点分别为B-1b+1,bb+1,C1b-1,bb-1.
又|AB|=|BC|,解得b2=9,则c=10,故有e=ca=101=10.
答案:A
3.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点B,则双曲线的离心率等于　　　　　. 
解析:因为以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,所以F1是圆心,半径|MF1|=|F1B|=a+c.由左焦点F1(-c,0),知点M(-c,a+c),将点M的坐标代入双曲线方程得(-c)2a2-(a+c)2b2=1,从而a2(a+c)2=b4,开方得a(a+c)=b2,可得c2-ac-2a2=0,即e2-e-2=0,解得e=2或e=-1(舍去).
答案:2
4.设双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.求双曲线C的离心率e的取值范围.
解由C与l相交于两个不同的点,故知方程组x2a2-y2=1,x+y=1有两个不同的实数解.
消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.
∴1-a2≠0,4a4+8a2(1-a2)>0,解得a∈(0,1)∪(1,2),
双曲线的离心率为e=ca=c2a2=a2+b2a2=1a2+1,
∵a∈(0,1)∪(1,2),∴e∈62,2∪(2,+∞),即离心率取值范围为62,2∪(2,+∞).
5.导学号90074079过双曲线x23-y26=1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.
(1)求|AB|;
(2)求△AOB的面积;
(3)求证:|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.
(1)解由双曲线的方程得a=3,b=6,∴c=a2+b2=3,F1(-3,0),F2(3,0),直线AB的方程为y=33(x-3).
设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=33(x-3),x23-y26=1得5x2+6x-27=0,
∴x1+x2=-65,x1x2=-275,
∴|AB|=1+k2|x1-x2|
=1+332·(x1+x2)2-4x1x2
=43×3625+1085=1635.
(2)解直线AB的方程变形为x-3y-3=0.
∴原点O到直线AB的距离为d=|-3|12+(-3)2=32.
∴S△AOB=12|AB|·d=12×1635×32=1235.
(3)证明由题意知,双曲线的渐近线为y=±2x,而直线AB的斜率为33<2,故点A,B不可能同在右支上,假设点A在双曲线左支上,点B在双曲线右支上,由双曲线的定义得
|AF2|-|AF1|=23,|BF1|-|BF2|=23,
∴|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|,即|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.
同理,若点A在双曲线右支上,点B在双曲线左支上,同样成立.