黑龙江省佳木斯二中2021_2021学年高一数学上学期期末试题含解析.doc

2015-2016学年黑龙江省佳木斯二中高一（上）期末数学试卷

一.选择题：本大题共11小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|x2﹣2x=0}，B={x|x2+2x=0}，则A∪B=（　　）
A．{0} B．{0，2} C．{0，﹣2} D．{2，0，﹣2}

2．已知角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα=﹣，则b的值等于（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．5

3．已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0） D．（4，3）

4．如果一扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，则扇形的面积为（　　）
A．40πcm2 B．40cm2 C．80πcm2 D．80cm2

5．函数的定义域为（　　）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，3）∪（3，+∞） D．（2，4）∪（4，+∞）

6．函数g（x）=2x+5x的零点所在的一个区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（﹣1，0） D．（﹣2，﹣1）

7．下列各式的值为的是（　　）
A． B．
C．1﹣2sin275° D．sin15°cos15°

8．已知且α是锐角，tanβ=﹣3，且β为钝角，则α+β的值为（　　）
A． B． C． D．

9．已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m=（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2

10．要得到函数y=sin（3x﹣2）的图象，只要将函数y=sin3x的图象（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

11．函数y=cos2x+3cosx+2的最小值为（　　）
A．2 B．0 C．1 D．6

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．与2016°终边相同的最小正角是　　　　　　．

14．，则=　　　　　　．

15．若幂函数f（x）的图象经过（4，2），则f（9）=　　　　　　．

16．向量=， =，，若⊥，则角α=　　　　　　．

三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．求值：
①cos36°cos72°+tan15°tan30°+tan15°+tan30°
②．

18．已知向量，满足，||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，
（Ⅰ）求与的夹角θ；
（Ⅱ）求|+|．

19．已知﹣＜x＜0，则sinx+cosx=．
（I）求sinx﹣cosx的值；
（Ⅱ）求的值．

20．已知：全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={x|x2﹣a＜0}
（1）求∁UA；
（2）若A∪B=A，求实数a的范围．

21．，，且，，求cos（α+β）．

22．已知向量=（2cos2x，1），=，且函数f（x）=•
（Ⅰ）求f（x）解析式
（Ⅱ）若x∈时，f（x）最大值为2，求m的值，并指出f（x）的单调区间．

2015-2016学年黑龙江省佳木斯二中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题：本大题共11小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|x2﹣2x=0}，B={x|x2+2x=0}，则A∪B=（　　）
A．{0} B．{0，2} C．{0，﹣2} D．{2，0，﹣2}
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】求出A与B中方程的解确定出A与B，找出两集合的并集即可．
【解答】解：由A中方程变形得：x（x﹣2）=0，
解得：x=0或x=2，即A={0，2}，
由B中方程变形得：x（x+2）=0，
解得：x=0或x=﹣2，即B={﹣2，0}，
则A∪B={﹣2，0，2}，
故选：D．
【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

2．已知角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα=﹣，则b的值等于（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．5
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】三角函数的求值．
【分析】根据三角函数的定义建立方程关系即可．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα=﹣，
∴cosα==﹣，
则b＞0，
平方得，
即b2=9，解得b=3或b=﹣3（舍），
故选：A
【点评】本题主要考查三角函数的定义的应用，注意求出的b为正值．

3．已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0） D．（4，3）
【考点】平面向量的坐标运算；向量的减法及其几何意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（3，1），
∴﹣=（2，﹣1）
故选：B．
【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．

4．如果一扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，则扇形的面积为（　　）
A．40πcm2 B．40cm2 C．80πcm2 D．80cm2
【考点】扇形面积公式．
【专题】三角函数的求值．
【分析】将角度转化为弧度，再利用扇形的面积公式，即可得出结论．
【解答】解：扇形的圆心角为72°==
∵半径等于20cm，
∴扇形的面积为=80πcm2，
故选C．
【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

5．函数的定义域为（　　）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，3）∪（3，+∞） D．（2，4）∪（4，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．
【解答】解：要使原函数有意义，则，
解得：2＜x＜3，或x＞3
所以原函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．
故选C．
【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．

6．函数g（x）=2x+5x的零点所在的一个区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（﹣1，0） D．（﹣2，﹣1）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】判断函数的单调性，根据函数零点的判断条件即可得到结论．
【解答】解：函数g（x）单调递增，
∵g（﹣1）=2﹣1﹣5=，g（0）=1＞0，
∴g（﹣1）g（0）＜0，
即函数g（x）在（﹣1，0）内存在唯一的零点，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，根据函数零点存在的条件是解决本题的关键．

7．下列各式的值为的是（　　）
A． B．
C．1﹣2sin275° D．sin15°cos15°
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】利用二倍角公式及特殊角的三角函数值化简求值即可得解．
【解答】解：A，原式=cos=，不符合；
B，原式=tan（22.5°×2）=tan45°=1，不符合；
C，原式=cos150°=﹣cos30°=﹣，不符合；
D，原式=sin30°==，符合．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二倍角公式及特殊角的三角函数值的应用，考查了计算能力，属于基础题．

8．已知且α是锐角，tanβ=﹣3，且β为钝角，则α+β的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】求出α的正切函数值，利用两角和的正切函数化简求解即可．
【解答】解：且α是锐角，可得cosα=，tanα=；
又tanβ=﹣3，且β为钝角，故α+β∈（）．
tan（α+β）===﹣1．
α+β的值为：．
故选：D．
【点评】本题考查两角和的正切函数，考查计算能力．

9．已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m=（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】先求出=（1，m﹣1），再由（+）∥，能求出m．
【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），
∴=（1，m﹣1），
∵（+）∥，
∴，
解得m=﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算法则的合理运用．

10．要得到函数y=sin（3x﹣2）的图象，只要将函数y=sin3x的图象（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】因为，根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．
【解答】解：因为，
所以只需将函数y=sin3x的图象向右平移个单位，即可得到y=sin（3x﹣2）的图象，
故选D．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于基础题．

11．函数y=cos2x+3cosx+2的最小值为（　　）
A．2 B．0 C．1 D．6
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】令cosx=t，t∈[﹣1，1]，则y=t2+3t+2，根据区间[﹣1，1]是函数y的递增区间，求出函数的最小值．
【解答】解：令cosx=t，t∈[﹣1，1]，则y=t2+3t+2，
对称轴，故区间[﹣1，1]是函数y的递增区间，
∴当t=﹣1时，ymin=0；
故选B
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，注意换元过程中变量范围的改变，这是解题的易错点，属于中档题．

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．与2016°终边相同的最小正角是　216°　．
【考点】终边相同的角．
【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值．
【分析】说明216°与2016°终边相同，再说明在[0°，360°）上，只有216°与2016°终边相同．
【解答】解：∵2016°=5×360°+216°，
∴216°与2016°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，
∴在[0°，360°）上，只有216°与2016°终边相同，
∴与2016°终边相同的最小正角是 216°，
故答案为：216°．
【点评】本题考查终边相同的角的概念，终边相同的两个角相差360°的整数倍．

14．，则=　﹣4　．
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：∵，∴1+2sinβcosβ=，∴sinβcosβ=﹣，
∴tanβ+==﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．

15．若幂函数f（x）的图象经过（4，2），则f（9）=　3　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】设幂函数f（x）=xa，由幂函数f（x）的图象经过（4，2），解得f（x）=x，由此能求出f（9）．
【解答】解：设幂函数f（x）=xa，
∵幂函数f（x）的图象经过（4，2），
∴4a=2，解得a=，
∴f（x）=x，
∴f（9）==3．
故答案为：3．
【点评】本题考查幂函数的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

16．向量=， =，，若⊥，则角α=　　．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题；函数思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】根据向量的垂直得到，sin2α=1，再根据角的范围，即可求出．
【解答】解：∵向量=， =，⊥，
∴=sinαcosα﹣=0，
即sin2α=1，
∵，
∴2α∈（0，π），
∴2α=，
∴α=，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的垂直和向量的数量积的运算，以及三角函数的求值，属于中档题．

三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．求值：
①cos36°cos72°+tan15°tan30°+tan15°+tan30°
②．
【考点】三角函数的化简求值；对数的运算性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；三角函数的求值．
【分析】①利用倍角公式、和差公式即可得出；
②利用指数与对数的运算性质即可得出．
【解答】解：①cos36°cos72°+tan15°tan30°+tan15°+tan30°
=cos36°sin18°+tan15°tan30°+tan（15°+30°）（1﹣tan15°tan30°）
=+tan45°
=+1
=+1
=+1
=．
②．
=+log24﹣
=+2﹣2
=．
【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．已知向量，满足，||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，
（Ⅰ）求与的夹角θ；
（Ⅱ）求|+|．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】（Ⅰ）根据平面向量的运算性质，求出•的值，代入夹角的余弦公式，求出即可；（Ⅱ）根据平面向量的运算性质展开计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵（2﹣3）•（2+）=61，
∴4||2﹣4•﹣3||2=61；
又||=4，||=3，
∴64﹣4•﹣27=61，∴ •=﹣6，
∴cos θ===﹣，
又0≤θ≤π，∴θ=．
（Ⅱ）∵|+|2=||2+2•+||2=16+2（﹣6）+9=13，
∴|+|=．
【点评】本题考查了平面向量的运算性质，理解并牢记公式是解题的关键，本题是一道基础题．

19．已知﹣＜x＜0，则sinx+cosx=．
（I）求sinx﹣cosx的值；
（Ⅱ）求的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】（Ⅰ）运用同角的平方关系，注意角的范围，即可得到所求值；
（Ⅱ）运用二倍角的正弦和余弦公式以及同角的平方关系、商数关系，化简代入，即可得到所求值．
【解答】解：（Ⅰ）sinx+cosx=，
则有（sinx+cosx）2=，
即有1+2sinxcosx=，即2sinxcosx=﹣＜0，
由﹣＜x＜0，则sinx＜0，cosx＞0，
则sinx﹣cosx=﹣=﹣
=﹣=﹣；
（Ⅱ）=
==sinxcosx（2﹣sinx﹣cosx）
=﹣×（2﹣）=﹣．
【点评】本题考查同角基本关系式和二倍角公式的运用：化简和求值，考查蕴算能力，属于中档题．

20．已知：全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={x|x2﹣a＜0}
（1）求∁UA；
（2）若A∪B=A，求实数a的范围．
【考点】并集及其运算；补集及其运算．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】（1）求出f（x）的定义域，确定出A，由全集U=R，求出A的补集即可；
（2）根据A与B的并集为A得到B为A的子集，分a小于等于0与a大于0两种情况考虑，即可确定出a的范围．
【解答】解：（1）∵，
∴﹣2＜x＜3，即A=（﹣2，3），
∵全集U=R，
∴CUA=（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）；
（2）当a≤0时，B=∅，满足A∪B=A；
当a＞0时，B=（﹣，），
∵A∪B=A，∴B⊆A，
∴，
∴0＜a≤4，
综上所述：实数a的范围是a≤4．
【点评】此题考查了交、并集及其运算，以及集合间的包含关系，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

21．，，且，，求cos（α+β）．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式求得cos（）=cos[（α﹣）﹣（﹣β）]的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（α+β）的值．
【解答】解：∵＜0，＞0，且，，∴α﹣为钝角，sin（α﹣）==，
﹣β为锐角，cos（﹣β）==，
求cos（）=cos[（α﹣）﹣（﹣β）]=cos（α﹣）cos（﹣β）+sin（α﹣）sin（﹣β）=﹣•+=，
∴cos（α+β）=2﹣1=﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，二倍角的余弦公式，属于中档题．

22．已知向量=（2cos2x，1），=，且函数f（x）=•
（Ⅰ）求f（x）解析式
（Ⅱ）若x∈时，f（x）最大值为2，求m的值，并指出f（x）的单调区间．
【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．
【专题】方程思想；分析法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
【分析】（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式和两角和的正弦公式，化简即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由x的范围，可得2x+的范围，可得最大值，即可得到m=﹣1；再由正弦函数的单调区间，解不等式即可得到所求区间．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=•=2cos2x+sin2x+m
=sin2x+cos2x+m+1=2sin（2x+）+m+1；
（Ⅱ）由x∈，可得2x+∈[，]，
当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值，且为m+3，
由题意可得m+3=2，解得m=﹣1；
则f（x）=2sin（2x+），
由2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，解得kπ﹣＜x＜kπ+；
由2kπ+＜2x+＜2kπ+，解得kπ+＜x＜kπ+．
则f（x）的增区间为（kπ﹣，kπ+）；
减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z．
【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示，三角函数的恒等变换公式的运用，考查正弦函数的值域和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．

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