高优指导2021高考数学一轮复习滚动测试卷5理含解析北师大版.doc

滚动测试卷五(第一~十二章)
(时间:120分钟　满分:150分)
　滚动测试卷第17页　 
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2015南昌二模)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|log2(x+1)<1},则A∩B等于(　　)

A.(-∞,0) B.(2,+∞)
C.(0,1) D.(-1,0)
答案:D
解析:由x2-2x>0得x>2或x<0,由log2(x+1)<1得0<x+1<2,即-1<x<1,所以A∩B=(-1,0),故选D.
2.(2015湖北,理2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(　　)
A.134石 B.169石
C.338石 D.1 365石
答案:B
解析:由条件知254粒内夹谷28粒,可估计米内夹谷的概率为,所以1 534石米中夹谷约为×1 534≈169(石).
3.(2015石家庄一模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(　　)

A.64 B.72 C.112 D.80
答案:B
解析:由三视图可得该几何体是组合体,其下方是棱长为4的正方体,上方是底面为三边分别为4,2,2的三角形,高为3的三棱锥,则其体积为V=43+×42×3=72,故选B.
4.(2015石家庄一模)下列说法中,不正确的是(　　)
A.已知a,b,m∈R,命题“若am2<bm2,则a<b”为真命题
B.命题“存在x0∈R,-x0>0”的否定是“任意x∈R,x2-x≤0”
C.“x>3”是“x>2”的充分不必要条件
D.命题“p或q”为真命题,则命题p和q均为真命题
答案:D
解析:若am2<bm2,必有m2>0,则a<b,所以A正确;含有量词的命题的否定方法是调整量词,否定结论,所以B正确;因为x>3必有x>2,但x>2未必有x>3,所以C正确;命题“p或q”为真命题,只需命题p,q有一个为真命题即可,所以D错误,故选D.
5.设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为6,则z的最小值为(　　)
A.-3 B.-2 C.-1 D.0
答案:A
解析:

作出实数x,y满足的平面区域如图中的阴影部分所示,由图可知当目标函数z=x+y经过点A(k,k)时,z取得最大值,即zmax=k+k=6,解得k=3.当目标函数z=x+y经过点B(-2k,k)时,z取得最小值,所以zmin=-2×3+3=-3,故选A.
6.两名学生一起去一家单位应聘,面试前单位负责人对他们说:“我们要从面试的人中招聘3人,你们俩同时被招聘进来的概率是”,根据这位负责人的话,可以推断出参加面试的人数为(　　)
A.21 B.35 C.42 D.70
答案:A
解析:设参加面试的人数为n,依题意有,即n2-n-420=(n+20)(n-21)=0,解得n=21或n=-20(舍去).
7.若O是△ABC所在平面内一点,且满足||=|-2|,则△ABC一定是(　　)
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
答案:B
解析:根据题意有||=||,即||=||,从而得到,所以三角形为直角三角形,故选B.
8.(2015河北保定一模)已知函数f(x+2)是R上的偶函数,当x>2时,f(x)=x2+1,则当x<2时,f(x)=(　　)
A.x2+1 B.x2-8x+5
C.x2+4x+5 D.x2-8x+17〚导学号92950989〛
答案:D
解析:因为函数f(x+2)是R上的偶函数,所以函数f(x)关于x=2对称,所以f(x)=f(4-x).
又因为当x>2时,f(x)=x2+1,
则当x<2时,-x>-2,4-x>2,
所以f(x)=f(4-x)=(4-x)2+1=x2-8x+17,
所以当x<2时,f(x)=x2-8x+17,故选D.
9.(2016届河南偃师高中月考)设函数f(x)=ex-e-x-2x,下列结论正确的是(　　)
A.f(2x)min=f(0)
B.f(2x)max=f(0)
C.f(2x)在(-∞,+∞)上递减,无极值
D.f(2x)在(-∞,+∞)上递增,无极值
答案:D
解析:因f'(2x)=2e2x+2e-2x-4≥4-4=0,
所以f(2x)在(-∞,+∞)上递增,无极值.
10.(2015贵阳监测)若任取x,y∈[0,1],则点P(x,y)满足y≤的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案:D
解析:如图,∵阴影部分的面积
S=dx=,∴所求概率P=.

11.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过点C,则以C为圆心,半径为的圆的方程为(　　)
A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0
C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0
答案:C
解析:把直线方程化为(-x-y+1)+a(x+1)=0,
令∴直线过定点C(-1,2).
∴圆C的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,化为一般式为x2+y2+2x-4y=0.
12.(2016届河南偃师高中月考)已知数列{an}为等差数列,若<-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使得Sn>0的n的最大值为(　　)
A.11 B.19 C.20 D.21〚导学号92950990〛
答案:B
解析:由<-1可得<0,由它们的前n项和Sn有最大值,可得数列公差d<0,
∴a10>0,a10+a11<0,a11<0,∴a1+a19=2a10>0,a1+a20=a10+a11<0,使得Sn>0的n的最大值为n=19.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2015四川,理11)在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是　　　　　(用数字填写答案). 
答案:-40
解析:(2x-1)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-rx5-r.
根据题意,得5-r=2,解得r=3.
所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.
14.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为　　　　　. 
答案:1
解析:∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)
=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ
=sin[(x+φ)-φ]=sin x.
∴f(x)max=1.
15.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为　　　　　. 
答案:0.8
解析:∵X服从正态分布N(1,σ2),∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同,均为0.4.∴X在(0,2)内取值的概率为0.4+0.4=0.8.
16.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2+4c2=8,sin B+2sin C=6bsin Asin C,则△ABC的面积取最大值时,有a2=　　　　　　　.〚导学号92950991〛 
答案:5-
解析:由sin B+2sin C=6bsin A·sin C,得b+2c=6bcsin A,即sin A=,
所以S△ABC=bcsin A=,当且仅当b=2c,即b=2,c=1时等号成立,此时sin A=,则cos A=,所以a2=b2+c2-2bccos A=5-4×=5-.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+).
(1)求证:数列是等比数列,并求数列{an}的通项公式an;
(2)若数列{bn}满足bn=(3n-1)··an,数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλ<Tn+对一切n∈N+恒成立,求λ的取值范围.
(1)证明:由已知得=3,
所以数列是等比数列,an=.
(2)解:bn=,由错位相减得Tn=4-.
代入得(-1)nλ<4-,易证4-为单调递增,
当n是偶数时λ<4-1=3;
当n是奇数时-λ<4-2=2,λ>-2.
所以-2<λ<3.
18.(12分)(2015山东,理19)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).
在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;
(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.
解:(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;
(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为=84,
随机变量X的取值为:0,-1,1,
因此P(X=0)=,P(X=-1)=,
P(X=1)=1-.
所以X的分布列为
X
0
-1
1
P

则EX=0×+(-1)×+1×.
19.(12分)(2015河北石家庄高三质检一)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AD=1,E,F分别为PD,AC的中点.

(1)求证:EF∥平面PAB;
(2)求直线EF与平面ABE所成角的大小.
解:(1)证明:分别取PA和AB中点M,N,连接MN,ME,NF,
则NF􀱀AD,ME􀱀AD,所以NF􀱀ME,
所以四边形MEFN为平行四边形.
所以EF∥MN,又EF⊈平面PAB,MN⫋平面PAB,
所以EF∥平面PAB.
(2)因为底面ABCD为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,
所以AP,AB,AD两两垂直.
如图,以A为坐标原点,分别以为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系A-xyz,

则P(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E,F,
所以=(1,0,0).
设平面ABE的法向量为n=(a,b,c),
则n·=0,n·=0,
即令b=1,则c=-1.
所以n=(0,1,-1)为平面ABE的一个法向量.
设直线EF与平面ABE所成角为α,
于是sin α=|cos<,n>|=.
所以直线EF与平面ABE所成角为.〚导学号92950992〛
20.(12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.
解:(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)=,P(B)=.
∵事件A与B相互独立,
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A )=P(A)·P()=P(A)·[1-P(B)]=
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,
则P(C)=,
∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为
P(X=0)=P()=,
P(X=1)=P(A )+P(B )+P(C)
=,
P(X=2)=P(AB )+P(A C)+P(BC)
=,
P(X=3)=P(ABC)=,
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P

∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×.
21.(12分)(2015河北保定二模)

如图,已知☉M:(x-4)2+y2=1和抛物线C:y2=2px(p>0,其焦点为F),且,过抛物线C上一点H(x0,y0)(y0≥1)作两条直线分别与☉M相切于A,B两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)求直线AB在y轴上的截距的最小值.
解:(1)由题意知☉M的圆心M的坐标为(4,0),
抛物线C的焦点为.
由,得圆心M到抛物线C的焦点的距离为,即4-,解得p=.
从而抛物线C的方程为y2=x.
(2)由(1)知,设点H(,y0),
则HM的中点.以HM为直径的圆为.①
☉M:(x-4)2+y2=1.②
①-②得:直线AB的方程为(4-)x-y0y+4-15=0.
令x=0,得直线AB在y轴上的截距为d==4y0-(y0≥1).
函数f(y0)=4y0-在[1,+∞)上单调递增,
∴直线AB在y轴上的截距的最小值为4×1-=-11.〚导学号92950993〛
22.(12分)已知函数f(x)=ln x-x2+x.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若对于任意的x>0,不等式f(x)≤x2+ax-1的恒成立,求整数a的最小值.
解:(1)f'(x)=-2x+1=(x>0),
由f'(x)<0,得2x2-x-1>0,又x>0,所以x>1.
所以f(x)的单调减区间为(1,+∞).
(2)令g(x)=f(x)-
=ln x-ax2+(1-a)x+1,
所以g'(x)=-ax+(1-a)=.
当a≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上是递增函数,
又因为g(1)=ln 1-a×12+(1-a)+1=-a+2>0,
所以关于x的不等式f(x)≤x2+ax-1不能恒成立.
当a>0时,g'(x)==-,
令g'(x)=0,得x=.
所以当x∈时,g'(x)>0;
当x∈时,g'(x)<0,
因此函数g(x)在x∈是增函数,在x∈是减函数.
故函数g(x)的最大值为g=lna×+(1-a)×+1=-ln a.
令h(a)=-ln a,
因为h(1)=>0,h(2)=-ln 2<0,
又因为h(a)在a∈(0,+∞)上是减函数.
所以当a≥2时,h(a)<0.
所以整数a的最小值为2.〚导学号92950994〛

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