2013年辽宁高考理科数学卷.pdf

数学试卷 第 1 页（共 6 页）数学试卷 第 2 页（共 6 页）数学试卷 第 3 页（共 6 页）绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第卷 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数1=i1z的模为 ()A.12 B.22 C.2 D.2 2.已知集合4=0log1|Axx,|=2Bx x,则=AB ()A.(0,1)B.(0,2 C.(1,2)D.(1,2 3.已知点(1,3)A,1(4,)B-,则与向量AB同方向的单位向量为 ()A.34(,)55 B.43(,)55 C.3 4(,)5 5 D.4 3(,)5 5 4.下面是关于公差0d 的等差数列na的四个命题：1p：数列na是递增数列；2p：数列nna是递增数列；3p：数列nan是递增数列；4p：数列3nand是递增数列.其中的真命题为 ()A.12p p,B.34pp,C.23pp,D.14p p,5.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为：20,40),40,60),60,80),80,100.若低于 60 分的人数是 15,则该班的学生人数是()A.45 B.50 C.55 D.60 6.在ABC中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若sincossincos=12acbBCBA,且ab,则B ()A.6 B.3 C.23 D.56 7.使1(3)()nnxx xN的展开式中含有常数项的最小的 n 为 ()A.4 B.5 C.6 D.7 8.执行如图所示的程序框图,若输入10n,则输出S ()A.511 B.1011 C.3655 D.7255 9.已知点(0,0)O,()0,Ab,3(),B a a.若OAB为直角三角形,则必有 ()A.3=b a B.31baa C.331()()0babaa D.331|0babaa 10.已知直三棱柱111ABCABC的6个顶点都在球O的球面上.若=3AB,=4AC,ABAC,112=AA,则球 O 的半径为 ()A.3 172 B.2 10 C.132 D.3 10 11.已 知 函 数22()22)f xxaxa,22(2)28g xxaxa.设1()H x max()()f x g x,2mi()(n(,)Hxf x g x（,max p q表示p,q中的较大值,min,p q表示 p,q 中的较小值）.记1()H x的最小值为 A,2()Hx的最大值为 B,则AB ()A.16 B.16 C.2216aa D.2216aa 12.设函数()f x满足2()2()exx fxxf xx,2(2)e8f,则0 x 时,()f x ()A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值-在-此-卷-上-答-题-无-效-姓名_ 准考证号_ 数学试卷 第 4 页（共 6 页）数学试卷 第 5 页（共 6 页）数学试卷 第 6 页（共 6 页）第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题第 24 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .14.已知等比数列na是递增数列,nS是na的前 n 项和.若1a,3a是方程2540 xx的两个根,则6S .15.已知椭圆22221=()0 xyaCbab:的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|=10AB,|=6AF,4os5cABF,则 C的离心率=e .16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）设向量 a(3sin)=,sinxx,b(,=coss)inxx,20,x.（）若|a|=|b|,求 x 的值；（）设函数()f x ab,求()f x的最大值.18.（本小题满分 12 分）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.（）求证：平面PAC平面PBC；（）若=2AB,=1AC,=1PA,求二面角CPBA的余弦值.19.（本小题满分 12 分）现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答.（）求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；（）已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分 12 分）如图,抛物线214C xy:,222()0C xpy p:.点00(,)M xy在抛物线2C上,过 M 作1C的切线,切点为 A,B（M 为原点 O 时,A,B 重合于 O）.当0=12x时,切线MA的斜率为12.（）求 p 的值；（）当 M 在2C上运动时,求线段AB中点 N 的轨迹方程（A,B 重合于 O 时,中点为O）.21.（本小题满分 12 分）已知函数2()1e()xf xx,312 cos2()xg xaxxx.当0,1x时,（）求证：)1(11xf xx；（）若()()f xg x恒成立,求实数 a 的取值范围.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图,AB为O直径,直线CD与O相切于 E,AD垂直CD于 D,BC垂直CD于 C,EF垂直AB于 F,连接AE,BE.证明：（）=FEBCEB；（）2=EFAD BC.23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C,直线2C的极坐标方程分别为=4sin,cos()=2 24.（）求1C与2C交点的极坐标；（）设 P 为1C的圆心,Q 为1C与2C交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为33,12xtabyt（tR为参数）,求 a,b 的值.24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数|(|)f xxa,其中1a.（）当2a 时,求不等式()4|4f xx 的解集；（）已知关于 x 的不等式|()22()|2fxaf x 的解集为2|1xx,求 a 的值.