【北京市东城区】2017届高三下学期二模考试(理)数学试题-答案.pdf

-1-/11 北京市东城区北京市东城区 2017 届高三下学期二模考试届高三下学期二模考试（理）（理）数学数学试卷试卷 答答 案案 1A 2B 3C 4B 5D 6A 7C 8C 9(1,2)101 1114 122；31 1321 14(1,)；4,2)(2,4)(15解（）因为()3sin2cos22666fa,31222a 故得：1a （）由题意：2()3sin(2),tan,3af xax其中 函数的周期T,且712122,所以当12x 时,函数()f x取得最大值,即22max()()3sin()3126f xfaa,sin()16,2,.tan3,3.33akka Z 因此()f x的最大值为2 3 16解：设iA表示事件“小明 8 月 11 日起第i日连续两天游览主题公园”(i1,2,9)根据题意,1()9iP A,且事件iA与jA互斥 -2-/11 （）设 B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则47BAA 所以47472()()()()9P BP AAP AP A（）由题意,可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,4784781(0)()()()()3P XP AAAP AP AP A,356935694(1)()()()()()9P XP AAAAP AP AP AP A,12122(2)()()()9P XP AAP AP A 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 13 49 29 故X的期望1428()0123999E X （）从 8 月 16 日开始连续三天游览舒适度的方差最大 17证明：（）,CDNMNFN取中点连结、因为,N MCD BCMNBD分别为中点 所以,BDBDEMNBDEMNBDE又平面且平面所以平面,因为/,2,EFAB ABEFEFCD EFDN所以 所以四边形EFND为平行四边形所以FNED 又EDBDEFNBDE平面且平面,所以FNBDE平面,又,FNMNNMFNBDE所以平面平面 又,FMMFNFMBDE平面所以平面 解：（）,ADOEO BO取中点连结 因为,EAEDEOAD所以 因为平面,ADEABCDEOABCD EOBO平面所以平面 因为,60,ADABDABADB 所以为等边三角形 因为,OADADBO为中点 所以 因为,4,EO BO AOAB 两两垂直 设 以,OOA OB OEx y z为原点为轴,如图建立空间直角坐标系Oxyz -3-/11 由题意得,2,0,0A(),(0,2 3,0)B,(4,2 3,0)C,2,0,0D(-),(0,0,2 3)E,(1,3,2 3)F (3,3,2 3)CF,(2,0,2 3)CE,(3,2 3,2 3)BE 设平面BDE的法向量为n,x y z(),则00n BEn DE,即030yzxz,令11zy,则,3x 所以(3,1,1)n 设直线CFBDE与平面成角为,10sin|cos,n|10CF,所以直线CFADE与平面所成角的正弦值为1010（）设GCF是上一点,且CGCF,10,因此点(34,32 3,2 3)G(34,3,2 3)BG 由0BG DE,解得49 所以在棱CFGBGDE上存在点 使得,此时49CGCF -4-/11 18解：（）当20exaf xx时,(),22e,13exf xxxf ()()()=又1ef(),曲线()(1,(1)yf xf在点处的切线方程为：e3e(1)3e2e0yxxy,即（）“对任意的0,20,2tsf sg t存在使得()()成立”,等价于“在区间0,2,f xg x上()的最大值大于或等于()的最大值”2215()1()24g xxxx,0,221g xg()在上的最大值为()22exxfxxaxaxa e()()()=2e22xxaxa()e2xxxa()(),令0,2,f xxxa()得或 当0,0,aa 即 时 0020 2f xf x()在，上恒成立,()在，上为单调递增函数,2124ef xfa()的最大值为()(),由22141,e4eaa()得 当02,20aa 即 时,当00,xaf xf x(,)时,()()为单调递减函数,当(,2)()0,()xafxf x 时,为单调递增函数 21()(0)(2)(4)f xfafae 的最大值为或,-5-/11 由1,1;(4)aaa 得由211e,得2e4a-又20,21aa 当22aa-,即-时,0020 2f xf x()在，上恒成立,()在，上为单调递减函数,0f xfa()的最大值为(),由1,1aa 得,又因为2,2aa-所以-综上所述,实数a的值范围是2|14x aae或 19解：（）由题意得22 3b,则3b,2221,4,2cabca则则,椭圆C的方程为22143xy；（）证明：“”“BEFMFEFMFB点 关于直线的对称点在直线上 等价于平分”设直线202,4,2,2AMyk xkNk Ek的方程为()(),则()()设点00,M x y(),由22(2)143yk xxy,整理得2222431616120kxk xk(),由韦达定理可知2021612234kxk,则2028634kxk,00212234kyk xk(),当01,1,2MFxxk 轴时此时 则3 1,2M(),2,2N(),2,1E()此时,点11EBFMyxyx 在的角平分线所在的直线或,即EFMFB平分 当12k 时,直线MF的斜率为0204114MFykkxk,所以直线244140MFkxkyk的方程为()所以点E到直线MF的距离 22222222|82(41)4|42(41)|2(41)|41|16(4 2 1)(41)kkkkkkkkkdkkkk2kBE 即点BEFMF关于直线的对称点在直线上,-6-/11 综上可知：点BEFMF关于直线的对称点在直线上 20解：（）由于(1,0,1,0,1)A,(0,1,1,1,0)B,由定义1(,B)|niiid Aab,可得,4d A B()（）反证法：若结论不成立,即存在一个含 5 维T向量序列,123,nA A AA,使得1(1,1,1,1,1)(0,0,0,0,0,0)mAA,因为向量1(1,1,1,1,1)A 的每一个分量变为 0,都需要奇数次变化,不妨设1ii i1,2,3,4,5121An的第()个分量 变化了-次之后变成 0,所以将1A中所有分量 1 变为 0 共需要:1234(21)(21)(21)(21)nnnn521n（-）2123452nnnnn（）1次,此数为奇数 又因为1,*iid A Am mN(),说明iA中的分量有 2 个数值发生改变,进而变化到1,21iAm所以共需要改变数值(-)次,此数为偶数,所以矛盾 所以该序列中不存在 5 维 T 向量0,0,0,0,0()（）存 在 正 整 数j使 得12(0,0,0)jA 个,jA为12维T向 量 序 列 中 的 项,此 时m=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 -7-/11 解解 析析 1解：集合2|4 022|Ax xxx-,则2|2RAx xx-或 故选：A 2解：对于 A 非奇非偶函数,不正确；对于 B,计算,正确,对于 C,非奇非偶函数,不正确；对于 D,偶函数,不正确,故选：B 3解：作出xy，满足1000 xyxyy 表示的平面区域,得到如图的三角形及其内部,由100 xyxy,解得 A1 1(,)2 2,设2zF xyxy（，）,将直线2lzxy：进行平移,当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值 zF最大值1 1(,)2 2=12 故选：C 4解：“|abab”“,a b共线”,反之不成立,例如0ab a,b是非零向量,则“a,b共线”是“|abab”的必要不充分条件 故选：B 5解：设递增的等比数列 na的公比为q,15172aa,244a a 15a a,解得112a,58a 解得2q,则6S 61(21)6322 12 故选：D 6解：模拟程序的运行,可得 -8-/11 5124nvxi，满足条件 i0,执行循环体,v=3,i=3 满足条件0i,执行循环体,72vi，满足条件0i,执行循环体,151vi，满足条件0i,执行循环体,310vi，满足条件0i,执行循环体,631vi，不满足条件0i,退出循环,输出63v的值为 由于 25+24+23+22+2+1=63 故选：A 7解：由题意可知：对于ABPAB、，当 位于，图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部是曲线,由此即可排除 A、B,对于 D,其图象变化不会是对称的,由此排除 D,故选 C 8解：若12iiabin，,则ABBA，同时不成立,故选 C 9解：复数221iii（）在复平面内所对应的点的坐标为（1,2）故答案为：(12)，10解：直线=2acos（a0）化为直角坐标方程：310 xy 圆2 cos0aa（）即22cos0aa（）,可 得 直 角 坐 标 方 程：222xyax,配 方 为：222xaya（）可得圆心(0)aa，半径 直线310cossin 与圆20acosa（）相切,|1|2a 0aa，,解得1a 故答案为：1 11解：根据题意,分 2 种情况讨论：选择 1 门 B 类课程,需要选择 A 类课程 3 门,则 B 类课程有122C 种选法,A 类课程有344C 种选法,此时有2 48种选择方法；选择 2 门 B 类课程,需要选择 A 类课程 2 门,则 B 类课程有221C 种选法,A 类课程有246C 种选法,此时有 16=6 种选择方法；-9-/11 则一共有 8+6=14 种不同的选法；故答案为：14 12解：CBD中,由余弦定理,可得,1142 1 224BD ,ABD中,利用正弦定理,可得2sin452 32sin105AD,三角形 ABD 的面积为112(2 32)3122,故答案为 2,31 13解：抛物线24yx的焦点F的坐标为（1,0）直线lF过,倾斜角为60,即斜率3ktan,直线l的方程为：y 3(1)x,即313xy,23134xyyx,解得：2 33yx,2 3313yx,由点(32 3)AxA在 轴上方，则，,则22(3)(2 3)21OA,则21OA,故答案为：21 14 解：|1|,(0,2()|x 3|,(2,4|x 5|,(4,)xxf xxx,作出()f x的函数图象如图所示：-10-/11 由图象可知当1()af xa时，只有 1 解 关于()()xf xTf x的方程有且仅有 3 个不同的实根,将f xT（）的图象向左或向右平移个单位后与原图象有 3 个交点,24T,即4224TT 或 故答案为：(1)4,2)(2 4)，(，15（）根据()26fa，即可求的值；（）利用辅助角公式基本公式将函数化为yAsinx（）的形式,结合三角函数的图象和性质,()f x在 7,12 12上单调递减,可得最大值 16设iA表示事件“小明 8 月 11 日起第 i 日连续两天游览主题公园”(129)i ，根据题意1()9iP A,且事件iA与jA互斥（）设 B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则47BAA利用互斥事件的概率计算公式即可得出 （）由题意,可知X的所有可能取值为 0,1,2,结合图象,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出（）从 8 月 16 日开始连续三天游览舒适度的方差最大 17（）CDNMNFNEFND取中点，连结、，推导出四边形为平行四边形从而/FN/EDFNBDEMFNBDEFMBDE进而平面，由此能证明平面平面，从而平面（）ADOEOBOOOA OBOExyz取中点，连结，以 为原点，为，轴，建 立 空 间 直 角 坐 标O xyzCFADE系-，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值（）设G C F是上一点,且CGCF,10，利用向量法能求出在棱CFG上存在点使得BGDE,此时49CGCF 18（）当202afxxxex时，（）（-）,由此能求出曲线yf x（）在点（1(1)f，)处的切线方程 （）“对任意的0 20 2tsf sg t，存在，使得（）（）成立”,等价于“在区间0 2f xg x，上，（）的最大值大于或等于（）的最大值”求出0 2g x（）在，上的最大值为-11-/11 21202gfxex xxafxxxa（）（）（）（），令（），得，或由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a的值范围 19（）由题意可知222314bcabc，,即可求得椭圆方程；（）由“点”“”BEFMFEFMFBAM关于直线的对称点在直线上 等价于平分设直线的方程,代入椭圆方程,由 韦 达 定 理 求 得MMFxk点坐标，分类讨论，当轴时，求得的 值,即 可 求 得11NEEBFMyxyx 和 点坐标，求得点 在的角平分线所在的直线或,则EFMFB平分,当12k 时,即可求得直线MF的斜率及方程,利用点到直线的距离公式,求得2222|82(41)4|16(41)kkkkdBEkk,则点BEFMF关于直线的对称点在直线上 20（）由于1010101110AB（，），（，）,由定义1(,B)|niiid Aab,求d AB（，）的值（）利用反证法进行证明即可；（）根据存在正整数j使得12(0,0,0)jA 个,12jATm为 维 向量序列中的项，求出所有的