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数列知识点及常用结论
一、等差数列
(1)等差数列得基本公式
①通项公式: (从第1项开始为等差)
(从第m项开始为等差)

②前项与公式:
(2)证明等差数列得法方
①定义法:对任意得n,都有(d为常数)为等差数列
②等差中项法:(n)为等差数列
③通项公式法:=pn+q (p,q为常数且p≠0) 为等差数列
即:通项公式位n得一次函数,公差,首项
④前项与公式法: (p, q为常数) 为等差数列
即:关于n得不含常数项得二次函数
(3)常用结论
①若数列,为等差数列,则数列,,,
(k, b为非零常数)均为等差数列、
②若m+n=p+q (m,n,p,q),则=、
特别得,当n+m=2k时,得=
③在等差数列中,每隔k(k)项取出一项,按原来得顺序排列,所得得数列仍为等差数列,且公差为(k+1)d(例如:,,,仍为公差为3d得等差数列)
④若数列为等差数列,则记,,,则,,仍成等差数列,且公差为d
⑤若为等差数列得前n项与,则数列也为等差数列、
⑥ 此性质对任何一种数列都适用
⑦求最值得方法:
I: 若>0,公差d<0,则当时,则有最大值,且最大;
若<0,公差d>0,则当时,则有最小值,且最小;
II:求前项与得对称轴,再求出距离对称轴最近得正整数,
当 时,为最值,就是最大或最小,通过得开口来判断。
二、等比数列
(1)等比数列得基本公式
①通项公式: (从第1项开始为等比)
(从第m项开始为等差)
②前项与公式:,
(2)证明等比数列得法方
①定义法:对任意得n,都有(q0) 为等比数列
②等比中项法:(0)为等比数列
③通项公式法:为等比数列
(3)常用结论
①若数列,为等比数列,则数列,,,,
(k为非零常数) 均为等比数列、
②若m+n=p+q (m, n, p, q),则=、
特别得,当n+m=2k时,得=
③在等比数列中,每隔k(k)项取出一项,按原来得顺序排列,所得得数列仍为等比数列,且公比为 (例如:,,,仍为公比得等比数列)
④若数列为等差数列,则记
,,,
则,,仍成等比数列,且公差为
三、求任意数列通项公式得方法
(1)累加法:若满足an+1=an+f(n)利用累加法求:

例题:若,且,求:
练习题:若数列满足,且
(2)累乘法:若满足利用累乘法求:

例题:在数列{an}中,,求:、
练习题:在数列{an}中,且,求: (提示:)
(3)递推公式中既有,又有,用逐差法
特别注意:该公式对一切数列都成立。
(4)若满足,则两边加:,在提公因式P,构造出一个等比数列,再出求:
例题:已知数列,满足:,且,求:
习题1:已知数列满足:且,求:
习题2:已知数列满足:,且,求:
(5)若满足,则两边同时除以:,构造出一个等差数列,
再求出:
例题:已知满足:,求:
解:,既有:
所以:就是首项为:,公差得等差数列
所以:
习题1:已知且,求:
习题2:已知且,求:
(六)待定系数法:若满足以下关系:
都可用待定系数法转变成一个等比数列来:
温馨提示:提,对待定系数
例题1:已知数列满足,求数列得通项公式、
解:,与原式对应得,

所以:就是首项,公比得等比数列
既有:
例题2:已知数列满足,求数列得通项公式、
解:,
与原式对应得:

所以:就是首项为:,公比得等比数列
既有:
(七)颠倒法:若满足:,用颠倒法;

所以:,所以:就是以首项为:,公差得等差数列
例题1:已知,且,求:
例题2:已知,且,求:
(八)倒数换元法:若数列满足:,则颠倒变成
然后再用两边加:或者待定系数法既可求出,再颠倒就可得到:
例题:若数列满足:,且,求:
解:,两边加:1得:
,
所以:就是首项为:,公比:得等比数列;
既有:
若用待定系数法:
与原式子对应得,然后得方法同上;
习题:已知且,求:
四、求前n项与Sn得方法
(1)错位相减求与
主要适用于等差数列与等比数列乘积得数列得前n项与;或者就是等差与等比得商得前n项与;(就是商得时候,适当转变一下就变成了乘积形式)。既:设为等差数列,为等比数列,求:或得前n项与常用此方法(都转变为乘积形式)
例题1:已知数列,数列得前项与,求数列得前项与
例题2:求数列得得前项与
习题1:求:
习题2:设数列,求得前n项与
(2)裂项相消求与
适用于得形式,变形为:
例题:求数列得前n项与
习题1:求数列得前n项与
习题2:求数列得前n项与、
(3)、分组法求与:有些数列就是与可以分成几部分分开求,在进行加减;
例题:求得前与？
习题1:已知就是一个递增得等差数列且,前n项与为
数列得前n项与为,求数列得前n项与
(3)、倒序求与:若 ,则得前前n项与用倒序求与
【角标之与为,可以为一个常数,能用倒序求与得,一定就是可求得】
例题1:若数列,求得前前n项与
习题2:若数列,求得前前n项与