数列通项公式方法大全.doc

1,数列通项公式得十种求法:
(1)公式法(构造公式法)
例1 已知数列满足,,求数列得通项公式。
解:两边除以,得,则,故数列就是以为首项,以为公差得等差数列,由等差数列得通项公式,得,所以数列得通项公式为。
评注:本题解题得关键就是把递推关系式转化为,说明数列就是等差数列,再直接利用等差数列得通项公式求出,进而求出数列得通项公式。
(2)累加法
例2 已知数列满足,求数列得通项公式。
解:由得则

所以数列得通项公式为。
评注:本题解题得关键就是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列得通项公式。
变式:已知数列满足,求数列得通项公式。
(3)累乘法
例3已知数列满足,求数列得通项公式。
解:因为,所以,则,故
所以数列得通项公式为
评注:本题解题得关键就是把递推关系转化为,进而求出,即得数列得通项公式。
变式:已知数列满足,求得通项公式。
(4)待定系数法
例4已知数列满足,求数列得通项公式。
解:设 ④
将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入④式得 ⑤
由及⑤式得,则,则数列就是以为首项,以2为公比得等比数列,则,故。
评注:本题解题得关键就是把递推关系式转化为,从而可知数列就是等比数列,进而求出数列得通项公式,最后再求出数列得通项公式。
变式:
①已知数列满足,求数列得通项公式。
②已知数列满足,求数列得通项公式。
(5)对数变换法
例5已知数列满足,,求数列得通项公式。
解:因为,所以。在式两边取常用对数得 ⑩
设
将⑩式代入式,得,两边消去并整理,得,则
,故
代入式,得
由及式,
得,
则,
所以数列就是以为首项,以5为公比得等比数列,则,因此
则。
评注:本题解题得关键就是通过对数变换把递推关系式转化为,从而可知数列就是等比数列,进而求出数列得通项公式,最后再求出数列得通项公式。
(6)数学归纳法
例6已知数列满足,求数列得通项公式。
解:由及,得

由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。
(1)当时,,所以等式成立。
(2)假设当时等式成立,即,则当时,

由此可知,当时等式也成立。
根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。
评注:本题解题得关键就是通过首项与递推关系式先求出数列得前n项,进而猜出数列得通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。
(7)换元法
例7已知数列满足,求数列得通项公式。
解:令,则
故,代入得

即
因为,故
则,即,
可化为,
所以就是以为首项,以为公比得等比数列,因此,则,即,得
。
评注:本题解题得关键就是通过将得换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列得通项公式,最后再求出数列得通项公式。
(8)不动点法
例8已知数列满足,求数列得通项公式。
解:令,得,则就是函数得两个不动点。因为
。所以数列就是以为首项,以为公比得等比数列,故,则。
评注:本题解题得关键就是先求出函数得不动点,即方程得两个根,进而可推出,从而可知数列为等比数列,再求出数列得通项公式,最后求出数列得通项公式。
例9已知数列满足,求数列得通项公式。
解:令,得,则就是函数得不动点。
因为,所以
。
评注:本题解题得关键就是通过将得换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列得通项公式,最后再求出数列得通项公式。
课后习题:
1.数列得一个通项公式就是( )
A、 B、 C、 D、
2.已知等差数列得通项公式为 , 则它得公差为( )
A 、2 B 、3 C、 D、
3.在等比数列中, 则( )
A、 B、 C、 D、
4.若等比数列得前项与为,且,,则
5.已知数列通项公式,则该数列得最小得一个数就是
6.在数列{an}中,且,则数列得前99项与等于 .
7.已知就是等差数列,其中,公差。
(1)求数列得通项公式;
(2)数列从哪一项开始小于0？
(3)求数列前项与得最大值,并求出对应得值.
8.已知数列得前项与为,
(1)求、、得值;
(2)求通项公式。
9.等差数列中,前三项分别为,前项与为,且。
(1)、求与得值;
(2)、求=;