高等数学三矩阵理论.pptx

1 1 矩阵及其运算矩阵及其运算一、矩阵的定义一、矩阵的定义例例1 设某物质有m个产地，n个销地，如果以 aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量，则这类物质的调运方案，可用一个数表表示如下：1.实际例子实际例子销地销量产地12j n记记例例2 解线性方程组代替：代替：r1r2r3r1r2r3（2）（3）（1）（2）（3）（1）由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)mn，通常用大写字母A，B，C，表示，m行n列的矩阵A也记为Amn，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。2.定义定义注意：注意：(1)只有一行的矩阵 A1n=(a1 a2 an)称为行矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵(2)两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称A、B是同型的。(3)若 A=(aij)mn,B=(bij)mn是同型的，且 aij=bij(i=1,2,m;j=1,2,n)则称A与B相等，记作AB。(4)元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O，不同型的零矩阵是不相等的。二、矩阵的运算二、矩阵的运算设 A=(aij)mn,B=(bij)mn则矩阵 C=(cij)mn=(aij+bij)mn称为矩阵A与B的和，记作 C=A+B1.矩阵的加法(1)定义定义设 A，B，C，O 都是 mn 矩阵(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=O+A=A(2)性质性质2.矩阵的减法(1)负矩阵设 A=(aij)mn,则称(aij)mn 为A的负矩阵，简记A显然A+(A)=O,(A)=A(2)减法：设 A=(aij)mn ,B=(bij)mnAB=A+(B)=(aij bij)mn记为 A，即设是常数，A=(aij)mn，则矩阵(aij)mn 称为数 与矩阵A的乘积，3.数与矩阵的乘法(1)定义设 A、B 为 m n 矩阵，、u为常数(1)(u)A=(u A)=u(A);(2)(A+B)=A+B(3)(+u)A=A+u A(4)1A=A(1)A=A(2)性质性质例例3：设求A2B解：设 A=(aij)ms,B=(bij)sn,其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和(i=1,2,m;j=1,2,n)乘积 CAB是mn矩阵，C=(cij)mn 则A与B的4.矩阵的乘法(1)定义例例4：设矩阵求乘积 AB 和 BA解：注：AB BA 即矩阵乘法不满足交换律例例 5：设试证：(1)AB=0 ；(2)AC=AD证：证：(1)(2)故AC AD比较：比较：(1)在数的乘法中，若ab=0 a=0 或 b=0在矩阵乘法中，若AB=O A=O 或 B=O两个非零矩阵乘积可能为O。(2)在数的乘法中，若ac=ad，且a 0 c=d(消去律成立)在矩阵乘法中，若AC=AD，且A O C=D(消去律不成立)(1)(A B)C=A(B C)(2)A(B+C)=A B+A C(3)(B+C)A=B A+C A(4)(A B)=(A)B=A(B)(其中 为常数)(2)性质性质5.线性方程组的矩阵表示设方程组为可表示为简记为 AXB。A称为由线性方程组的系数矩阵。将矩阵 A mn 的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的 nm 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT 或 A。例如：例如：则6.矩阵的转置(1)定义定义(1)(AT )T=A(2)(A+B)T=A T+B T(3)(A)T A T(4)(A B)T=BT A T(2)性质性质例例6：设求(A B)T。解法一：解法一：(A B)T=B T A T解法二：解法二：三、方阵三、方阵1.定义则：(其中：k,l均为正整数)记AA A=Akk个k个行数与列数相同的 n n 矩阵 A 称为方阵，n 称为它的阶数，简记 An。称为n阶单位矩阵，简记E显然1.单位矩阵002.几类特殊方阵几类特殊方阵2.对角矩阵其中 aij=0,i j00特别：称为数量矩阵00结论：结论：(1)000000(2)k为正整数时00k003.上三角矩阵0其中 aij=0,i j下三角矩阵其中 aij=0,i j04.对称矩阵(1)若方阵A满足 AT=A，即 aji=aij，则称A为对称矩阵。(2)若方阵A满足 AT=A，即 aji=aij，则称A为反对称矩阵。这时 aii=0(i=1,2,n)例例7：设A为任一方阵，证明:A+AT为对称阵，AAT 为反对称阵证：由于故A+AT为对称阵，AAT 为反对称阵(1)方阵 A 对应的行列式记为|A|或 det A 若|A|0，则称方阵 A 是非奇异(非退化)的，否则，称 A 是奇异(退化)的。3、比较方阵与行列式(2)|A|=n|A|(3)|A B|=|A|B|(3)|A B|=|A|B|例如：例如：有而所以|A B|=|A|B|(4)|A m|=|A|m|A 1 A 2 A m|=|A 1|A 2|A m|推广：推广：四、分块矩阵四、分块矩阵如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块，这样的小块称为矩阵A的子块或子矩阵，而A可以看成是以子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵。1.定义定义例如：例如：A11A12A21A22例例8：设 利用分块矩阵求 A+B，AB。解：将A、B分块成 则而故而故考察：AT对于有2.分块矩阵的转置分块矩阵的转置注：注：设矩阵A=(aij)mn 分块为 则若方阵A除主对角线上的子块外，其余子块都为O，且主对角线的子块均为方阵，则称A为准对角矩阵。00(Ai 为方阵，i=1,2,，m)即：即：A3.准对角矩阵准对角矩阵 定义：例如：例如：00为准对角矩阵。准对角矩阵与对角矩阵有类似的性质准对角矩阵与对角矩阵有类似的性质例如：00A00有(Ai 为方阵，i=1,2,，m)2 2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换定义定义 1对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换(1)互换两行 (记作 ri rj);(2)以数 0 乘以某一行 (记作 ri);(3)将第 j 行各元素乘以数后加到第 i 行的对应元素上去(记作 ri+rj)相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将 r 换成 c。二、初等矩阵二、初等矩阵定义定义2由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。(1)ri rjci cj 也得到 P(i,j)第 i 行第 j行(2)ri ci 也得到 P(i()00第 i 行(3)ri+rj cj+ci 也得到 P(i,j()第 i 行第 j 行定理定理1对A施行一次初等行变换，相当于在A的左侧乘以一个相应的初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右侧乘以一个相应的初等矩阵；例如：例如：设A是一个 m n 矩阵(1)Ar1 r2P(1,2)A(2)Ac3 c4A P(3,4)三、矩阵的秩三、矩阵的秩1.k 阶子式定义定义3设 A 为 mn 矩阵，在 A 中任取 k 行 k 列(1 k min(m,n)，由这 k 行，k 列的交叉处的 k2 个元素(按原来的前后顺序)所构成的 k 阶行列式，称为矩阵A的一个 k 阶子式。例如：例如：一个2阶子式例如：例如：一个2阶子式一个3阶子式(1)A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式(2)当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为|A|注：注：2.矩阵的秩矩阵的秩例如：例如：中有一个3阶子式r(A)=3定义定义4 矩阵A的不为0的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)。(显然 r(A)min(m,n)规定：规定：注：注：(1)非奇异矩阵A，有|A|0，A的秩就等于它的阶数，A又称为满秩矩阵。(2)奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。定理2 若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为0，而所有 k+1 阶子式全为0，则 r(A)=k。零矩阵的秩为0，即 r(O)=03.初等变换求矩阵的秩初等变换求矩阵的秩定理4.3 对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变例：例：阶梯形阶梯形r(A)=3A进一步：A称为A的标准形注：若A为n阶满秩方阵，则A的标准形为n阶单位阵E。33逆矩阵逆矩阵一、逆矩阵的定义一、逆矩阵的定义定义定义1AB=BA=E则称 B 为 A 的逆矩阵，并称 A 可逆。设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B使显然A 为B 的逆矩阵，即 A 与B 互为逆矩阵。例如：例如：有所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵。例例1 设 a11 a22 ann 0,0000由于：0000所以例例2 若方阵 A1 A2 Am 均可逆，可证0000定理定理1(唯一性唯一性)若方阵 A 的逆矩阵存在，则唯一，用 A1 表示证：设B、C均是A的逆矩阵，则B所以A的逆矩阵唯一。=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C矩阵称为 A 的伴随矩阵定义定义2:设 A=(aij)nn,Aij 是|A|中元素 aij 的代数余子式(i,j=1,2,n);二、矩阵可逆的条件二、矩阵可逆的条件即：A A*=A*A=|A|E定理定理2 方阵 A 存在逆矩阵|A|且求逆矩阵的第一种方法：求逆矩阵的第一种方法：方阵方阵 A满足满足|A|时，时，例例3 求矩阵的逆矩阵解：故 A 可逆，又 A115，A122，A212，A221则所以比较：比较：(1)在数的乘法中，若ab=0 a=0 或 b=0在矩阵乘法中，若AB=O A=O 或 B=O两个非零矩阵乘积可能为O。(2)在数的乘法中，若ac=ad，且a 0 c=d(消去律成立)在矩阵乘法中，若AC=AD，且A O C=D(消去律不成立)例例4设 A 是可逆阵，证明：(1)若 A X=A Y X=Y(2)若 A B=0 B=0证：A1(A X)=A1(A Y)(A1 A)X=(A1 A)YEX=EYX=Y(1)A X=A Y由所以(2)由 AB=0，有A1(AB)=A1 0所以 B=0(A1 A)B=0(1)若A，B均为n阶方阵，且 A B=E(或 B A=E)，则 BA1证：|A|B|=|E|=1|A|0A1存在，且A1=A1E=A1(AB)=(A1A)B=EB=B设 A B=E 同理可证 B A=E 的情形 三、逆矩阵的性质三、逆矩阵的性质(2)(A1)1=A(3)若A可逆，0 为常数，则(4)若A，B 均为n阶可逆矩阵，则(AB)1=B1A1。特别：特别：当|A|0，有(A m)1=(A1)m(m为正整数)若A1，A2，Am均为n阶可逆矩阵，则(A1 A2 Am)1=Am1 A21 A11推广：推广：证明：因为(AB)(B1A1)=A E A1=E所以 (AB)1=B1A1=A(B B1)A1(5)这是因为|A1|A|=|E|=1四、初等行变换求逆矩阵四、初等行变换求逆矩阵(方法二方法二)1.初等矩阵都是可逆矩阵，且其矩阵仍然是初等矩阵定理定理3 若方阵A可逆，则存在有限个初等矩阵 P1,P2,Pm,使 A=P1 P2 Pm证：因为A可逆，则r(A)=n，标准形为En，A=P1 P2 PmP1 P2 PsEPs+1 Pm=A即存在有限次初等变换使A化为En，有限次初等变换使En化成A，反之，也存在P1，P2，Pm，使故存在有限个初等矩阵表示为：A=P1 P2 PmEAEA1(A E)(E A1)初等行变换例例4设求 A1.解：r22r1r33r1r1 2r3r2 5r3r1+r2r3 r2故对 A 也可通过初等列变换求 A1初等列变换A=P1 P2 Pm注：注：表示为：EAEA1对于n元线性方程组AX=B则XA1B|A|0，A1存在若五、逆矩阵的应用五、逆矩阵的应用1.解线性方程组解线性方程组例例5：解方程组x1+2 x2+3 x3=12 x1+2 x2+x3=13 x1+4 x2+3 x3=3解：方程组简记为X=A1 B由于|A|=2 0,A可逆，故A X=B其中而即 x1=8,x2=9,x3=3.2、解矩阵方程、解矩阵方程例例6：解矩阵方程解：矩阵方程简记为 A X=B 0 A1存在例例7 解矩阵方程 AX+E=A2+X其中：E 为三阶单位矩阵解：由 AX+E=A2+X即 (AE)X=(A E)(A+E)得 AX X=A2 E所以 AE 可逆.故 X=A+E(AE)X=(A E)(A+E)所以 (AE)1(AE)X=(AE)1(A E)(A+E)