高等数学第五版103格林公式及其应用解析.pptx

第三节一、格林公式一、格林公式 平面曲线积分与路径无关的平面曲线积分与路径无关的等价条件等价条件格林公式及其应用 第十章 二、二、牛顿牛顿-莱布尼兹公式：莱布尼兹公式：把一元函数在区间端点的值与其导函数在把一元函数在区间端点的值与其导函数在整个区间上的积分联系起来整个区间上的积分联系起来.本节要介绍的本节要介绍的格林公式格林公式则把二元函数在平则把二元函数在平面区域边界上的曲线积分与其偏导函数在面区域边界上的曲线积分与其偏导函数在整个区域上的二重积分联系起来整个区域上的二重积分联系起来.1.1.平面单连通域：平面单连通域：设设D为平面区域为平面区域,如果如果 D内任一闭曲线所围成的部分都属于内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域,否则称为复连否则称为复连通区域通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD术语：术语：2.2.边界曲线边界曲线L的正向的正向:当观察者沿边界行走当观察者沿边界行走时，区域时，区域D总在他的左边总在他的左边.一、格林公式一、格林公式思考：如果思考：如果L 取负向呢取负向呢?把二元函数在平面区域边界上的曲线积分把二元函数在平面区域边界上的曲线积分与其偏导函数在整个区域上的二重积分联系起来与其偏导函数在整个区域上的二重积分联系起来.意义意义:证明证明:如果如果D既是既是X型又是型又是Y 型，则型，则相加即得格林公式相加即得格林公式皆成立，皆成立，如果如果D不不是是X型或型或Y 型，型，相加即得相加即得如果如果D是复连通域，则是复连通域，则相加即得相加即得（注意此时（注意此时D的边界有两条：外边界和内边界）的边界有两条：外边界和内边界）计算平面区域的面积计算平面区域的面积格林公式的一个小应用：格林公式的一个小应用：例例1 1 解：解：例例2.2.计算计算解：解：L求对坐标的平面闭曲线积分的方法：求对坐标的平面闭曲线积分的方法：(1)利用曲线的方程化为直线积分利用曲线的方程化为直线积分(一元积分一元积分),),(2)利用格林公式化为平面区域积分利用格林公式化为平面区域积分(二重积分二重积分).).如果曲线不是封闭呢？如果曲线不是封闭呢？例例3 3 计算计算其中其中L是是A到到O的上半圆的上半圆(如图如图).).OALL为非闭曲线为非闭曲线,直接计算较繁直接计算较繁.作辅助线作辅助线OA,在闭曲线在闭曲线L+OA上用格林公式上用格林公式.a解：解：所以所以而而OA:y=0,x从从0到到a.所以所以OALa注意格林公式成立的条件注意格林公式成立的条件:解解:xyoLyxo二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与路径无关的条件物理背景物理背景DyxoBA定义定义：如果对于区域：如果对于区域D内的任意两点内的任意两点A,B以及以及D内从点内从点A到点到点B的任意两条曲线，都有的任意两条曲线，都有研究力场所作的功与路径无关研究力场所作的功与路径无关的条件，如重力场。的条件，如重力场。证明证明(1)(2)设设为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线,则则(根据条件根据条件(1)证明证明(2)(3)因曲线积分因曲线积分则则同理可证同理可证因此有因此有在在D内取定点内取定点和任一点和任一点B(x,y),与路径无关与路径无关,构造函数构造函数 证明证明(3)(4)设存在函数设存在函数 u(x,y)使得使得P,Q 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,从而在从而在D内每一点都有内每一点都有证明证明(4)(1)设设C为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,(如图如图),利用利用格林公式格林公式,得得所围区域为所围区域为证毕证毕.或或如果积分与路径无关，可选择特殊的积分路径如果积分与路径无关，可选择特殊的积分路径计算。计算。证明：证明：在整个在整个xoy面内面内,例例6.验证验证是某个函数的全微分是某个函数的全微分,并求并求出这个函数出这个函数.设设则则由定理可知由定理可知,存在函数存在函数 u(x,y)使得使得。证证:解：解：所以曲线积分与路径无关，所以曲线积分与路径无关，故原式故原式 要点要点:第三节 格林公式及其应用 格林公式成立的条件格林公式成立的条件:把二元函数在平面区域边界上的曲线积分把二元函数在平面区域边界上的曲线积分与其偏导函数在整个区域上的二重积分联系起来与其偏导函数在整个区域上的二重积分联系起来.格林公式格林公式:意义意义:如果曲线不闭可增加辅助线使其封闭从而运用如果曲线不闭可增加辅助线使其封闭从而运用格林公式格林公式.平面区域平面区域D的面积的面积:平面曲线积分与路径无关的等价条件平面曲线积分与路径无关的等价条件:在在 D 内与路径无关内与路径无关.在在 D 内有内有对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 C 有有在在 D 内有内有设设 P,Q 在单连通域在单连通域 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则有则有可选择特殊的积分路径计算可选择特殊的积分路径计算.